Vertrauensbereich bei unbekannter Wahrscheinlichkeit

16.08.2007, 11:42	HarryKane	Auf diesen Beitrag antworten »
Vertrauensbereich bei unbekannter Wahrscheinlichkeit Ich habe mich gerade durch "Stochastik für Einsteiger" von Norbert Henze durchgearbeitet. Habe jedoch noch ein paar ungeklärte Probleme. 1. Problem: Ich betrachte n Teilchen und am Ende meines Experiments erhalte ich k "Treffer". Ich möchte nun den Vertrauensbereich wissen. Wikipedia schreibt, dass man unter EXCEL oder ähnlichem mit Hilfe der BETAINV Funktion das Konfidenzintervall berechnen kann. Da ich aber nicht alle meine Daten in EXCEL Tabellen exportieren kann (sind einfach zu viele!), sondern die Daten nur in ASCI vorliegen habe muss ich mir ein kleines Tool schreiben das diese Aufgabe übernimmt. Leider habe ich noch nicht herausgefunden wie diese BETAINV Funktion aussieht. Das Stochastikbuch hilft mir da nur bedingt weiter. Es wird eine Näherungsformel für die untere und obere Schranke angegeben (findet man auch in dem Wikipedia Artikel). $\begin{eqnarray} p_o := \frac{k+1/2 + c^2/2 + c\sqrt{k+1/2 -(k+1/2)^2/n + c^2/4}}{n+c^2} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} p_u := \frac{k-1/2 + c^2/2 - c\sqrt{k-1/2 -(k-1/2)^2/n + c^2/4}}{n+c^2} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} c:= \Phi^{-1}(1-\beta) \end{eqnarray}$ Die Abweichung zw. BETAINV und diesen Näherungsformeln sind bei n=100 spürbar (geht aber notfalls noch), würde mich aber freuen wenn ich doch noch mit einer "exakten" Formel rechnen könnte. () Ausserdem ist mir unklar was das $\begin{eqnarray} \Phi^{-1}(1-\beta) \end{eqnarray}$ ist. Das wird in dem Buch nur als kurze Tabelle für die Konfidenzintervalle $\begin{eqnarray} 1-\beta = 0.9, 0.95, 0.975, ... \end{eqnarray}$ angegeben und bei Wikipedia garnicht erklärt (oder ich raffs einfach nicht). ---- : Ich habe jetzt nochmal etwas in dem Buch rumgelesen und dabei ist mir folgende Formel untergekommen: $\begin{eqnarray} \beta = \frac{n!}{(k-1)!(n-k)!}\int_0^p t^{k-1}(1-t)^{n-k}dt \end{eqnarray}$ Dies müsste man im Prinzip nach p umstellen, was aber nicht (so einfach) geht, da das Integral nicht analytisch lösbar ist. Findet man irgendwo ein Tool oder eine Tabelle wo die Konfidenzgrenzen der Binominalverteilung in Abhängigkeit von k und n ausgerechnet wurde? ---- 2. Problem: Eigendlich laufen bei mir die Experimente so ab, dass ich ein Teilchen berechne das nacheinander verschiedene "Treffermöglichenkeiten" durchläuft. Wenn es einen Treffer gab, dann bleibt das Teilchen dort. Danach das nächste usw. - insgesammt n=100. Im Anschluss möchte ich wissen wie groß die einzelnen Trefferwahrscheinlichkeiten sind. Aber aus verfahrenstechnischen Schwierigkeiten kann ich nicht jede einzelne Trefferwahrscheinlichkeit "ansteuern", sondern muss aussen anfangen. So nun zu meiner Frage, wie handhabe ich die kumulative Unsicherheit? Anfangs habe ich mir überlegt, ich reduziere einfach die Grundmenge n auf $\begin{eqnarray} n_s = n - \sum_{i=1}^{s-1}k_i \end{eqnarray}$ und schätze damit die Wahrscheinlichkeit ab und berechne das Vertrauensintervall. Das ist sicherlich zu naiv gedacht. Doch wie berücksichtige ich die Unsicherheiten der vorherigen s-1 Treffer? Gruß, Martin!

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »