Kompakte Operatoren |
| 16.08.2007, 12:26 | Soliton | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| Kompakte Operatoren Worauf er kurz zögerte und dann sagte: "Ja, die Null liegt im Spektrum." Stimmt das denn? Im Punktspektrum muß sie jedenfalls nicht liegen, weil es solche kompakte Operatoren gibt, die keine Eigenwerte haben. Dann müßte sie im allgemeinen Spektrum liegen, das ist für einen Operator T i. w. . D. h. solche kompakten Operatoren können nicht bijektiv sein (die Inverse darf also nicht nur nicht stetig sein, sie existiert nicht). Liegt das daran, daß bijektive (beschränkte) Operatoren zwischen Banachräumen stets stetige Inversen haben? |
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| 16.08.2007, 12:47 | WebFritzi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Was ist jetzt deine Frage? Ich blicke bei deinem Wust nicht wirklich durch, was du meinst. |
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| 16.08.2007, 12:50 | Dual Space | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| RE: Kompakte Operatoren Ich vermute die Frage ist:
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| 16.08.2007, 12:57 | WebFritzi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Antwort: ja, im Unendlichdimensionalen stimmt das. |
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| 16.08.2007, 13:11 | Soliton | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| RE: Kompakte Operatoren Danke. Ich wollte nur wissen, ob das daran liegt, daß bijektive (beschränkte) Operatoren zwischen Banachräumen stets stetige Inversen haben. Wäre das nicht so, wäre ja ein bijektiver kompakter Operator mit unstetiger Inverse denkbar, dann läge die 0 nicht im Spektrum. - Mich hatte an der Aussage des Profs irritiert, daß ich "Spektrum" zunächst nur als Menge der Eigenwerte angesehen hatte, und 0 muß bei einem kompakten Operator ja kein Eigenwert sein. Darum hatte ich in meiner ursprünglichen Antwort darauf abgehoben, daß der Operator zwar bijektiv sein könne, aber dann nicht stetig. Ich hatte damals nicht den Grund dafür gesehen, daß ein kompakter Operator nicht einmal bijektiv sein kann (let alone stetige Invertierbarkeit). |
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| 16.08.2007, 13:23 | WebFritzi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Kompakte Operatoren
Wozu machst du dir Gedanken über etwas, was es nicht gibt? Eigentlich schreibt man das Spektrum wie folgt Dabei ist X der zugrundeliegende Raum und L(X) der Raum der stetigen Operatoren in X. Aufgrund des Satzes von der offenen Abbildung kann man (falls X Banachraum ist) die Resolventenmenge auch so schreiben: |
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| 16.08.2007, 13:30 | Soliton | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Kompakte Operatoren
Will ich ja gar nicht. 
Wollte nur sichergehen, daß ich nachträglich das richtige Argument habe. Der "Was wäre wenn"-Teil bezog sich auf meine ursprüngliche Unwissenheit. 
I. ü. danke, alles klar. |
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| 22.08.2007, 01:01 | Soliton | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| RE: Kompakte Operatoren Hi WebFritzi, doch noch nicht alles klar. Eine Nachfrage mit Bezug auf Deine obige Definition: Kann es sein, daß unterhalb eines Banachraums (also z. B. in einem unvollständigen Raum) man in der Resolventenmenge nicht die Beschränktheit von T-s, sondern die ihrer Inverse (auf dem Bild von T-s genommen) fordert? Ich habe es in einem Lehrbuch so gesehen, und ich sehe nicht, daß außerhalb von Banachräumen die Beschränktheit von T-s und ihrer Inversen äquivalent sind. ? |
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| 22.08.2007, 01:28 | WebFritzi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Kompakte Operatoren
Das ist auch in Banachräumen nicht so. Bitte vermeide den Ausdruck "außerhalb". Wo hast du das bloß her? |
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| 22.08.2007, 16:27 | Soliton | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| RE: Kompakte Operatoren Hi WebFritzi, leider selbst ausgedacht. 
Was ich meine: Zwischen Banachräumen habe ich den Satz vom inversen Operator (aus dem von der offenen Abbildung). Der gibt mir, wie Du ja oben andeutest, wenn T beschränkt und wenn T bijektiv ist und die Inverse deshalb global definiert ist, ist, die Stetigkeit der Inversen. Und umgekehrt. In diesem Fall wären also Deine o. g. Definition der Resolventenmenge und die, die ich gefunden habe, äquivalent, d. h. solange T-s bijektiv ist. Was ja wiederum die Charakterisierung ist, die Du selbst oben a. E. angegeben hast. Das sehe ich soweit ein. Wieso aber folgt, selbst wenn X Banachraum ist, nur aus der Injektivität und der Stetigkeit bereits die Bijektivität? Für den Satz von der offenen Abbildung brauche ich doch auch Surjektivität, und selbst nur T(X) ist doch nicht immer Banachraum, wenn T nur injektiv und stetig ist (oder doch?).
Ok, aber, s. o., auf dem Banachraum dann, wenn T-s bijektiv ist. Dies steht aber gerade in Frage. Kann es also sein, daß die Beschränktheit von (T-s)^(-1) in die Definition der Resolventenmenge gehört - und nicht die von T-s? |
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| 22.08.2007, 16:31 | WebFritzi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Kompakte Operatoren
Oh Gott, ja. Ich habe es oben schleunigst verbessert. |
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| 23.08.2007, 00:42 | Soliton | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| RE: Kompakte Operatoren Ok, danke, das beruhigt mich. Ganz verstanden habe ich trotzdem noch nicht:
Wenn in der "allgemeinen" Definition nur die Injektivität von T-s und die Beschränktheit der (zunächst doch u. U. nur auf dem Bild von T-s definierten?) Inversen gefordert wird, wieso folgt daraus - im Banachraum - die Surjektivität? (Oder handelt es sich bei der Darstellung der Resolventenmenge für den Banachraumfall schlicht um eine neue Definition und nicht um eine äquivalente Darstellung der allgemeinen?) Wie gesagt mir ist klar, daß wenn stetiges T-s injektiv und surjektiv ist, daß dann die Inverse schon stetig sein muß. Aber wieso die Inverse überhaupt global (über das Bild von T-s hinaus) exisiteren muß, sehe ich nicht, und wenn das nicht so sein muß, wenn also T-s nicht surjektiv ist, wie kann ich dann den Satz von der offenen Abbildung anwenden, um die Beschränktheit der "Inversen" zu erhalten, wenn dieser Satz doch Surjektivität voraussetzt. (Und den Satz nur auf T(X) anzuwenden, scheitert doch daran, daß dies nicht zwingend vollständig ist, selbst wenn T injektiv und stetig ist; dazu braucht man doch z. B. die Stetigkeit der Inversen, aber die will ich ja gerade erst zeigen.) |
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| 23.08.2007, 02:00 | WebFritzi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
L(X) ist die Menge der stetigen lin. Operatoren von X nach X. |
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| 23.08.2007, 12:21 | Soliton | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Leider weiß ich nicht, worauf ich diesen Hinweis beziehen kann. Es gelingt mir auch mit der Identität von Definitions- und Bildraum weiterhin nicht, zu zeigen, daß T surjektiv sein muß oder T(X) abgeschlossen - womit immerhin T(X) Banachraum und insoweit der Satz von der offenen Abbildung anzuwenden wäre. Immer stoße ich darauf, daß die Inverse stetig sein müßte. - Du bist aber sicher, daß ich nicht die Abgeschlossenheit von T benötige? Wenn T abgeschlossen wäre, wäre die Sache natürlich klar (da T(X) Banachraum). |
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| 23.08.2007, 12:25 | WebFritzi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Kompakte Operatoren
Da steckt schon die Surjektivität von T - s drin. Siehst du sie? |
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| 23.08.2007, 12:47 | Soliton | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| RE: Kompakte Operatoren Nur, damit wir nicht aneinander vorbeireden: Die an dieser Stelle formal hingeschriebene Inverse existiert zunächst nur auf dem Bild von T-s, wegen der Injektivität. Und es ist noch zu zeigen, daß sie auch auf ganz X existiert. Nun möchtest Du, daß ich aus der Identität von Definitons- und Bildraum und der Tatsache, daß T (bzw. T-s) linear ist (und stetig) schließe, daß Injektivität schon reicht? Im Endlichdimensionalen: klar, für alle Abbildungen. Falls dim X = oo, gilt das im allgemeinen bekanntlich nicht: Es gibt injektive Abbildungen von X in sich, die nicht surjektiv sind. Ich soll jetzt aber sehen, daß dies dann (nicht) gilt, wenn die Abbildung zusätzlich linear (und stetig) ist, meinst Du das? |
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| 23.08.2007, 12:50 | Soliton | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| RE: Kompakte Operatoren Hm, gib' mir noch einen Moment, es fließt gerade langsam... |
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| 23.08.2007, 13:05 | Soliton | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| RE: Kompakte Operatoren Äh, also die Inverse ist natürlich surjektiv. Und injektiv. Also bijektiv. Aber weiter... wie ich's drehe und wende: Ich bekomme weder die Linearität besonders ausgenutzt, noch die Stetigkeit. Die Stetigkeit von T gibt mir zwar z. B. die Abgeschlossenheit (bzw.) Offenheit von T^-1, aber dies zu nutzen, müßte ich wissen, ob T(B) auch abgeschlossen ist. Die Stetigkeit von T^-1 wiederum gibt mir zwar die Abgeschlossenheit von T, aber nur bezüglich der Relativtopologie von T(X). D. h. T(X) ist abgeschlossen in T(X), was aber reichlich trivial ist. Ne, sorry, ich bin zu doof. Ich komme nich umhin, "globale" (absolute) Abgeschlossenheit von T von vornherein zu fordern, nicht zu folgern. |
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| 23.08.2007, 15:09 | Soliton_mobile | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| RE: Kompakte Operatoren Ok, wenn man natürlich Tomaten auf den Augen hat...
Wenigstens hatte meine Dummheit einen Nutzen für mich: Ich kann mir jetzt besser merken, was die Resolventenmenge ist. Ich fasse zusammen: Die Resolventenmenge soll von Haus aus die Menge der s sein, für die T-s zumindest bijektiv ist. Es geht ja gerade um die Auflösbarkeit der damit verbundenen Gleichungen. Und schon, daß sagt definitionsgemäß, daß die Inverse von T-s global - auf X - existiert, also T-s bijektiv ist. (Ich war so auf die Stetigkeit fixiert, daß ich die allgemeine Bedeutung für den Definitonsbereich der Inversen übersehen habe.) D. h. in der allgemeinen Definition könnte man sich "T-s injektiv" eigentlich sparen - richtig? Zusätzlich möchte man aber haben, daß auch die Inverse stetig ist. Im allgemeinen Fall muß man das fordern, im Banachraumfall wegen des Satzes von der o. A. nicht mehr, wenn schon die Bijektivität gegeben ist. Richtig? Und auch im allgemeinen Fall kann s höchstens dann in der Resolventenmenge liegen, wenn T-s abgeschlossen ist. |
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| 23.08.2007, 15:10 | Soliton_mobile | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| RE: Kompakte Operatoren P. S. Wenigstens bestanden meine Bedenken oben insoweit zu recht, als man die Surjektivität von T-s natürlich nicht folgern kann, wenn sie nicht schon implizit vorausgesetzt wird. |
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| 23.08.2007, 23:14 | WebFritzi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Kompakte Operatoren
Naja, man sollte es noch dazuschreiben.
Richtig. |
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| 24.08.2007, 00:07 | Soliton_mobile | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Kompakte Operatoren
Das ist dann aber nur Geschmackssache, oder? Andernfalls müßte man ja bitteschön schreiben "T-s injektiv und T-s surjektiv und (T-s)^-1 beschränkt". Wenn sich aber aus "(T-s)^-1 aus L(X)" erkennen läßt, daß T-s surjektiv ist, dann doch wohl nicht minder, daß T-s injektiv ist. Für die unterschiedliche Behandlung gibt es doch keinen guten Grund. Oder doch? (Ich frage deshalb, weil mir natürlich aufgefallen ist, daß es so üblich ist. Ich kann diese Gepflogenheiten aber nicht nachvollziehen.) Mich jedenfalls hat das ja gerade auf die falsche Fährte gesetzt. So wird nämlich der Eindruck erweckt, die Injektivität müsse vorausgesetzt werden, während sich die Surjektivität folgern läßt. Tatsächlich wird beides nur vorausgesetzt. |
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| 24.08.2007, 00:55 | WebFritzi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Kompakte Operatoren
Das sehe ich nicht so. Es muss ja erstmal klargestellt werden, dass (T - s)^{-1} überhaupt existiert, dass also T-s injektiv ist. Wenn das geschehen ist, kann man auch weiteres über die Inverse sagen. So seh ich das. |
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| 24.08.2007, 18:36 | Soliton | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| RE: Kompakte Operatoren Ok, danke. Wenn es aber sonst keinen - tieferliegenden - Grund gibt, dann stelle ich das für mich mal in die Rubrik "Geschmackssache" zu der Frage: Wie ausführlich muß, wie kompakt darf eine Notation sein? Wenn ich "T ist aus L(X) und T^-1 ist aus L(X)" hinschreibe, dann lese ich daraus: Die Inverse existiert (sonst würde ich sie nicht hinschreiben) und ist stetig. Wenn ich's genau nehmen will, dann schreibe ich alle Voraussetzungen hin: "T ist bijektiv und aus L(X) und T^-1 ist stetig" oder "... T^-1 ist aus L(X)". Für das Zwischending habe ich keinen Geschmack. Denn ob ich mir die Surjektivität herauslesen darf/muß aus "T^-1 ist aus L(X)" oder ob ich mir daraus Surjektivität und Injektivität lese, finde ich reichlich einerlei. Auch die Tatsache, daß T injektiv ist, sagt nunmal nichts darüber aus, ob die Inverse überall definiert ist. Aber gut, das langweilt jetzt selbst mich.
Ggf. weiß ich ja, was ich dazu zu sagen habe. Danke jedenfalls für die Klärung meines - übrigens erst durch diese zwar eingebürgerte, aber zwittrige Art der Notation hervorgerufenen - Mißverständnisses.
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