Lebesgue vs. Riemann |
16.08.2007, 12:52 | Soliton | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Lebesgue vs. Riemann Mal sehen, ob ich das folgende richtig verstanden habe: 1. Auf Kompakta stimmen R- und L-Integrale grundsätzlich überein, wenn die Funktion f. ü. stetig ist; diese Voraussetzung gilt immer, wenn das R-Integral existiert, muß aber gezeigt werden, wenn man vom L-Integral ausgeht. Stimmen die Integrale auch nur dann überein? Wäre eine L-integrierbare unbeschränkte Funktion nicht f. ü. stetig, könnte dann trotzdem das R-Integral existieren? 2. Ist |f| uneigentlich R-Integrierbar, dann auch L-integrierbar, und die Werte stimmen überein. Wenn nur f uneigentlich R-Integrierbar ist, kann man das nicht sagen. Was gilt umgekehrt: Wenn das L-Integral von f etwa auf [0, oo) existiert, ist dann f so auch R-integrierbar? 3. Was ist mit beliebigen Mengen, läßt sich darüber etwas sagen? Oder macht die Frage keinen Sinn, weil das R-Integral ohnehin nur von Kompakta ausgeht (abgesehen vom uneigentlichen Fall)? Wenn aber eine Funktion f über einer meßbaren Menge A L-integrierbar ist, ist f dann auch R-integrierbar auf einer kompakten Teilmenge von A (wenn es eine solche gibt)? |
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16.08.2007, 13:01 | WebFritzi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Stichwort: Dirichlet-Funktion. |
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16.08.2007, 13:20 | Soliton | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Natürlich! Die Anzahl der Unstetigkeiten sind also die Hürde auf dem Weg von L nach R. Ok, wie dann (zur Umkehrung von Ziffer 2), wenn das L-Integral von f etwa auf [0, oo) existiert und f f. ü. stetig ist, ist dann f so auch R-integrierbar? Mit einer Ausschöpfung von [0, oo) durch Kompakta, wo Ziffer 1 gilt, könnte ich mir das vorstellen. Ist es aber so? Und zur Umkehrung von Ziffer 1: Und wäre eine L-integrierbare unbeschränkte Funktion nicht f. ü. stetig auf einem Kompaktum, könnte dann im Einzelfall dort trotzdem das R-Integral existieren? |
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16.08.2007, 19:41 | Soliton | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ich versuche mal, eine der beiden Fragen selbst zu beantworten:
Nein, weil R-Integrierbarkeit - wegen der Konstruktion über Treppenfunktionen - zwingend voraussetzt, daß die Anzahl der Unstetigkeiten abzählbar ist. - Stimmt's? |
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16.08.2007, 20:12 | WebFritzi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Weiß ich nicht - ehrlich gesagt... |
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17.08.2007, 13:00 | Soliton | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Dann muß ich es erstmal auch nicht wissen. |
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