Lebesgue vs. Riemann

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Soliton Auf diesen Beitrag antworten »
Lebesgue vs. Riemann
Lebesgue und ich - wirklich keine glückliche Beziehung.

Mal sehen, ob ich das folgende richtig verstanden habe:

1. Auf Kompakta stimmen R- und L-Integrale grundsätzlich überein, wenn die Funktion f. ü. stetig ist; diese Voraussetzung gilt immer, wenn das R-Integral existiert, muß aber gezeigt werden, wenn man vom L-Integral ausgeht.

Stimmen die Integrale auch nur dann überein? Wäre eine L-integrierbare unbeschränkte Funktion nicht f. ü. stetig, könnte dann trotzdem das R-Integral existieren?

2. Ist |f| uneigentlich R-Integrierbar, dann auch L-integrierbar, und die Werte stimmen überein.

Wenn nur f uneigentlich R-Integrierbar ist, kann man das nicht sagen.

Was gilt umgekehrt: Wenn das L-Integral von f etwa auf [0, oo) existiert, ist dann f so auch R-integrierbar?

3. Was ist mit beliebigen Mengen, läßt sich darüber etwas sagen? Oder macht die Frage keinen Sinn, weil das R-Integral ohnehin nur von Kompakta ausgeht (abgesehen vom uneigentlichen Fall)?

Wenn aber eine Funktion f über einer meßbaren Menge A L-integrierbar ist, ist f dann auch R-integrierbar auf einer kompakten Teilmenge von A (wenn es eine solche gibt)?
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Stichwort: Dirichlet-Funktion.
Soliton Auf diesen Beitrag antworten »

Natürlich! Hammer Die Anzahl der Unstetigkeiten sind also die Hürde auf dem Weg von L nach R.

Ok, wie dann (zur Umkehrung von Ziffer 2), wenn das L-Integral von f etwa auf [0, oo) existiert und f f. ü. stetig ist, ist dann f so auch R-integrierbar? Mit einer Ausschöpfung von [0, oo) durch Kompakta, wo Ziffer 1 gilt, könnte ich mir das vorstellen. Ist es aber so?

Und zur Umkehrung von Ziffer 1: Und wäre eine L-integrierbare unbeschränkte Funktion nicht f. ü. stetig auf einem Kompaktum, könnte dann im Einzelfall dort trotzdem das R-Integral existieren?
Soliton Auf diesen Beitrag antworten »

Ich versuche mal, eine der beiden Fragen selbst zu beantworten:

Zitat:
Original von Soliton
Und zur Umkehrung von Ziffer 1: Und wäre eine L-integrierbare unbeschränkte Funktion nicht f. ü. stetig auf einem Kompaktum, könnte dann im Einzelfall dort trotzdem das R-Integral existieren?


Nein, weil R-Integrierbarkeit - wegen der Konstruktion über Treppenfunktionen - zwingend voraussetzt, daß die Anzahl der Unstetigkeiten abzählbar ist. - Stimmt's?
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Weiß ich nicht - ehrlich gesagt...
Soliton Auf diesen Beitrag antworten »

Dann muß ich es erstmal auch nicht wissen. Wink
 
 
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