Integration bzgl. O-U-Prozess

16.08.2007, 13:25	Dual Space	Auf diesen Beitrag antworten »
Integration bzgl. O-U-Prozess Ich bin auf der Suche nach einem Integrationskalkühl für Ornstein-Uhlenbeck-Prozesse, genauer gesagt bräuchte ich eine möglichst scharfe Abschätzung für $\begin{eqnarray} \mathbb{E}\left\| \int_0^T f(t)\dd B(t)\right\|^2, \end{eqnarray}$ wobei B ein Ornstein-Uhlenbeck-Prozess und f ein geeigneter (deterministischer) Integrand ist. Bin bisher noch nicht fündig geworden. Ist euch sowas schon mal begegnet?
20.08.2007, 11:44	Dual Space	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Integration bzgl. O-U-Prozess Also vielleicht sollte ich mal ein wenig mehr ins Detail gehen. Die (stochastische) Integration bzgl. eines Wiener-Prozesses $\begin{eqnarray} W:=\{W(t)\}_{t\in[0,T]} \end{eqnarray}$ ist hinlänglich bekannt. So ist z.B. das stochastische Integral $\begin{eqnarray} \int_0^t f(t)\dd W(t) \end{eqnarray}$ wohldefiniert, genau dann wenn $\begin{eqnarray} f\in L_2([0,T]) \end{eqnarray}$ . Wohl definiert bedeutet dabei, dass die Zufallsgröße $\begin{eqnarray} \eta \end{eqnarray}$ , definiert durch $\begin{eqnarray} \eta(\omega):=\left(\int_0^T f(t)\dd W(t)\right)(\omega) \end{eqnarray}$ wieder normalverteilt mit endlicher Varianz ist. Außerdem bewies Itô die folgende Identität $\begin{eqnarray} \mathbb{E}\left\|\int_0^T f(t)\dd W(t)\right\|^2=\\|f\\|^2_{L_2} \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} f\in L_2([0,T]) \end{eqnarray}$ . OK, das kennen wir also. Nun möchte ich das Integral $\begin{eqnarray} \int_0^T f(t)\dd W(t)e^{-\mu t} \end{eqnarray}$ für festes $\begin{eqnarray} \mu>0 \end{eqnarray}$ betrachten. Natürlich gilt dabei $\begin{eqnarray} \int_0^Tf(t)\dd W(t)e^{-\mu t}=\int_0^T f(t)e^{-\mu t}\dd W(t) - \mu\int_0^T f(t)W(t)e^{-\mu t}\dd t. \end{eqnarray}$ Bei den Abschätzungen bzgl. des zweiten Momentes macht mir dabei das zweite Integral der rechten Seite (auch wegen dem Vorzeichen) zu schaffen. Also hab ich einen neuen Ansatz gesucht und bemerkt, dass man den Integrator, $\begin{eqnarray} e^{-\mu t}W(t) \end{eqnarray}$ , als Ornstein-Uhlenbeck-Prozess mit Gleichgewichtsniveau 0, Steifigkeit $\begin{eqnarray} \mu \end{eqnarray}$ und (nichtkonstanter) Diffusion $\begin{eqnarray} e^{-\mu t} \end{eqnarray}$ auffassen kann. Hat da jemand eine Idee?

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