Integralrechnung (Substitution) - Seite 2

27.02.2005, 11:30

minzel

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gleich mal eine nächste frage:

$\begin{eqnarray*} \int{x*\sqrt{x^2+1}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} t=\sqrt{x^2+1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} t^2=x^2+1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{dt}{dx}=\frac{1}{\sqrt{x^2+1}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} dx = t*dt \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int { x\cdot t\cdot dt} \end{eqnarray*}$

Kann das hier ja gar nicht so leicht umstellen:

$\begin{eqnarray*} t^2=x^2+1 \end{eqnarray*}$

27.02.2005, 11:33

iammrvip

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Nein, warum denn so schwer.

Substituiere:

$\begin{eqnarray*} u = x^2 + 1 \end{eqnarray*}$

27.02.2005, 11:35

minzel

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da stehe ich aber vor dem gleich problem, wie bekomme ich das x^2 zum x ?
der taschenrechner spuckt mir dazu nur wirre formen aus.

PS: wenn ich danach rechne bleibt wieder ein x stehen:

$\begin{eqnarray*} \int{x*\frac{1}{2\cdot x} dt} \end{eqnarray*}$

PS2: klein moment, muß mal rechnen ^^

27.02.2005, 11:36

iammrvip

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Wenn du substituierst, musst du immer auch $\begin{eqnarray*} \mathrm dx \end{eqnarray*}$ ersetzen.

so du substituierst:

$\begin{eqnarray*} u = x^2 + 1 \end{eqnarray*}$

Was denn die Ableitung von u?

/edit: du kannst auch t nehmen, wenn dir das lieber ist

$\begin{eqnarray*} t = x^2 + 1 \end{eqnarray*}$

dann musst du eben t ableiten.

27.02.2005, 11:42

minzel

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komme leider nicht auf das richtige ergebniss:

$\begin{eqnarray*} \int{x \cdot \sqrt{x^2+1}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} t = x^2+1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{dt}{dx}=2x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} dx = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \int{ x \cdot \frac{1}{x} dt } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \int{ 1 dt} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \cdot [ t ] \end{eqnarray*}$

27.02.2005, 11:44

iammrvip

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Wo ist denn $\begin{eqnarray*} \sqrt{} \end{eqnarray*}$ auf einmal hin verwirrt

verwirrt

$\begin{eqnarray*} \int x\sqrt{x^2 + 1}\mathrm dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} t &= x^2 + 1 \\ \mathrm dt &= 2x\mathrm dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int x\sqrt{x^2 + 1}\mathrm dx = \left[\frac{1}{2}\int\sqrt t\mathrm dt\right]_{t = x^2 + 1} \end{eqnarray*}$

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27.02.2005, 11:48

minzel

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wie kommst du auf dx=2x*dt

ich komm da auf: $\begin{eqnarray*} dx=\frac{dt}{2\cdot x} \end{eqnarray*}$

sry: falsch geschaut

27.02.2005, 11:49

iammrvip

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Bitte lies nochmal!

/edit: okay.

27.02.2005, 11:51

minzel

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ja aber dann komme ich auf sowas hier:

$\begin{eqnarray*} \int { x \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x} } \cdot dt \end{eqnarray*}$

wo kann man denn da t einsetzen ?!
t ist ja immernoch x^2+1

27.02.2005, 11:57

iammrvip

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Wie kommst du denn drauf verwirrt

verwirrt

du ersetzt

$\begin{eqnarray*} t = x^2 + 1 \end{eqnarray*}$

also ersetzt du das unter der Wurzel durch t. Dann musst du noch ableiten:

$\begin{eqnarray*} t &= x^2 + 1 \\ \mathrm dx &= \frac{\mathrm dt}{2x} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int x\sqrt t\cdot \frac{\mathrm dt}{2x} &= \int \sqrt t\cdot x\frac{\mathrm dt}{2x} \\ &= \frac{1}{2}\int\sqrt t\mathrm dt \end{eqnarray*}$

27.02.2005, 12:01

minzel

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ach man stimmt,
da will man mal überstürtzt handeln und dann übersieht man einiges, aber muß sagen, wenn mans kann ist es gar nicht so schwer ... *kopfschüttel*

27.02.2005, 12:10

minzel

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weil ich gleich dabei wieder ein neues problem:

$\begin{eqnarray*} \int{ \frac{2x^2}{(1+x^3)^{\frac{1}{3}}} dx} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} t=1+x^3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{dt}{dx}=3x^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} dx = \frac{1}{3x^2} \end{eqnarray*}$

Einsetzen:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{3} \int{ \frac{2x^2}{(\sqrt{t})^{\frac{1}{3}}} } \cdot \frac{1}{x^2} \cdot dt \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{3} \int{ \frac{2}{(\sqrt{t})^{\frac{1}{3}}} } \cdot dt \end{eqnarray*}$

haut das bis hier her hin ?

27.02.2005, 12:10

iammrvip

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Hast du schon was bei der vorherigen raus??

Wieso ist denn bei der neuen Aufgabe ein einmal eine Wurzel über dem t??

27.02.2005, 12:15

minzel

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sorry mein fehler, es soll lauten:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{3} \int{ \frac{2x^2}{(t)^{\frac{1}{3}}} } \cdot \frac{1}{x^2} \cdot dt \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{3} \int{ \frac{2}{(t)^{\frac{1}{3}}} } \cdot dt \end{eqnarray*}$

Die Lösung soll sein:

$\begin{eqnarray*} ((1+x^3)^2)^{1/3}+C \end{eqnarray*}$

ps: weiß nicht wie man hier die dritte wurzel darstellt.

27.02.2005, 12:18

iammrvip

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Dritte Wurzel geht mit

\sqrt[3]{...}

statt 3 kann man jeder andere Zahl n eingeben, die dann die n-te Wurzel darstellt.

/edit: ich meinte die vorherige Aufgabe:

$\begin{eqnarray*} \int x\sqrt{x^2 + 1}\mathrm dx = \frac{1}{3}\sqrt{x^2 + 1}\left(x^2 + 1\right) + C \end{eqnarray*}$

27.02.2005, 12:20

minzel

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ok: also als bessere übersicht, das ergebnis soll sein:

$\begin{eqnarray*} \sqrt[3]{(1+x^3)^2}+C \end{eqnarray*}$

edit: Die vorige aufgabe hab ich fertig ... ?! aso, die lösung zu der vorigen, die ist:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{3} \cdot \sqrt{(x^2+1)^3} \end{eqnarray*}$

27.02.2005, 12:21

iammrvip

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Jaja, schon klar. Ich meinte ja auch die andere Aufgabe. (siehe Beitrag)

Kommst du auf die Lösung mit Substitution von $\begin{eqnarray*} t = 1 + x^3 \end{eqnarray*}$ verwirrt

verwirrt

27.02.2005, 12:28

minzel

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ja, hier nochmal die komplette lösung zu der vorigen:

$\begin{eqnarray*} \int{x \cdot \sqrt{x^2+1}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} t = x^2 + 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} dx = \frac{dt}{2x} \end{eqnarray*}$

Alles einsetzen was man hat:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \int{ x \cdot \sqrt{t} \cdot \frac{1}{x} } \cdot dt \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \int { \sqrt{t} } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \left ( \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} \right ) \cdot [ \sqrt{(t)^3} ] \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{3} \cdot \sqrt{(x^2+1)^3} + C \end{eqnarray*}$ ceR blabla

edit:
Sehe jetzt erst, wieso:

$\begin{eqnarray*} t=1+x^3 \end{eqnarray*}$ ?

27.02.2005, 12:31

iammrvip

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Zitat:

Original von minzel

$\begin{eqnarray*} \int{x \cdot \sqrt{x^2+1}} \end{eqnarray*}$

[...]

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \int { \sqrt{t} } \end{eqnarray*}$

hier noch das $\begin{eqnarray*} \mathrm dt \end{eqnarray*}$ dazu, dann stimmt's Augenzwinkern

Augenzwinkern

.

und beim oberen noch ein $\begin{eqnarray*} \mathrm dx \end{eqnarray*}$

27.02.2005, 12:32

minzel

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jetzt bin ich verwirrt, bei welcher aufgabe sind wie jetzt ^^

lol
dt hier und dt dort, wenns nicht dabei steht ist auch nicht schlimm, ist bestimmt grad kaffee trinken *hihi

edit 3 oder 4 ---

lol, schreib ich dann auch in der prüfung hin, lass ich absichtlich dann weg und schreib ein verweis darauf das das dt beim kaffee trinken ist ^^

27.02.2005, 12:33

iammrvip

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Was du grad hingeschrieben hattest.

27.02.2005, 12:35

minzel

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, ist ja soweit geklärt die vorige aufgabe smile

smile

Siehe mein letzter Beitrag (nommal lesen ^^)

nagut, die andere jetzt geh ich doch mal in ruhe an *g

27.02.2005, 12:37

iammrvip

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Japp, mach das Freude

Freude

.

27.02.2005, 13:28

minzel

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$\begin{eqnarray*} \int{ \frac{2x^2}{\sqrt[3]{1+x^3}} } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} t=1+x^3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} dx = \frac{dt}{3x^2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int { \frac{2x^2}{\sqrt[3]{t}} \cdot \frac{1}{3x^2} \cdot dt} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \left ( 2 \cdot \frac{1}{3} \right ) \cdot \int { \frac{1}{\sqrt[3]{t}} \cdot dt } \end{eqnarray*}$

hm, aber glaube da ist auch irgendwo der wurm drin ... das wäre mein ansatz, aber das integral ist noch ganz schön kompliziert.

27.02.2005, 13:41

etzwane

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Eigentlich nicht, schau mal:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt[3]{t}}=t^{-\frac{1}{3}} \end{eqnarray*}$

27.02.2005, 21:31

minzel

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gut ok, aber einf ehler ist da ja immernoch drin, weil, komme zwar nach der rücksubstitution auf das richtige ergebnis in den eckigen klammern, aber das ist eben schon das richtige ergebniss. davor steht nun noch:

$\begin{eqnarray*} 2*\frac{1}{3} \end{eqnarray*}$

das kürzt sich leider nicht weg, bzw wird zu 1

27.02.2005, 21:34

iammrvip

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Doch das kürzt sich weg.

Was ist denn die Stammfunktion von

$\begin{eqnarray*} t^{-\frac{1}{3}} \end{eqnarray*}$

27.02.2005, 21:48

minzel

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aus kopf würd ich jetzt behaupten:

$\begin{eqnarray*} \frac{t^{\frac{2}{3}}}{\frac{2}{3}} \end{eqnarray*}$

edit: sorry verkehrtrum

edit 2:

Ja also dann würde sich das 1/3 wegkürzen aber davor steht ja noch die 2 oder nicht ?

27.02.2005, 22:03

Calvin

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Das ist alles korrekt. Die 2 kürzt sich doch auch weg. Schau nochmal genau hin.

27.02.2005, 22:07

minzel

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ich bin leider nicht gern der überbringer schlechter nachrichten, aber:

$\begin{eqnarray*} 2*\frac{1}{3}*\frac{2}{3}=\frac{4}{9} \end{eqnarray*}$

,man, was denn das jetzt wieder :S da kürzt sich doch nicht 1/3 und 2 /3 weg

27.02.2005, 22:09

Calvin

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Du hast da aber etwas anderes, nämlich $\begin{eqnarray*} \frac{2\cdot\frac{1}{3}}{\frac{2}{3}}=\frac{2}{3}\cdot \frac{3}{2}=1 \end{eqnarray*}$

27.02.2005, 22:32

minzel

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blick irgendwie grad nicht durch, kannst du das anhand dem mal nachvollziehbar bitte beschreiben:

$\begin{eqnarray*} 2*\frac{1}{3} \cdot \left [ \frac{t^{\frac{2}{3}}}{\frac{2}{3}} \right ] \end{eqnarray*}$

ah ok, ich habs, muß man ja ganz schön aufpassen, dank dir auf alle fälle ganz doll !!!

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