Offene / Abgeschlossene Menge

16.08.2007, 14:50

Airblader

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Offene / Abgeschlossene Menge

Hi,

ich habe eine Frage (kaum zu glauben Augenzwinkern

Augenzwinkern

):

$\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ sei eine Menge und $\begin{eqnarray*} A \subsetneqq U \end{eqnarray*}$ .

$\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ heißt nun ja abgeschlossen, wenn $\begin{eqnarray*} U \setminus A \end{eqnarray*}$ offen ist.

Das bringt mich allerdings zu einem Problem, wofür ich mal eine Fallunterscheidung machen will:

1. $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ ist offen

Nun, in diesem Fall ist alles klar: Ist $\begin{eqnarray*} U \setminus A \end{eqnarray*}$ offen, so ist $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ abgeschlossen.

1. $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ ist abgeschlossen

Hier ist mein Problem: Wenn $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ an sich (also ihr "eigener äußerer Rand") schon nicht offen ist, dann $\begin{eqnarray*} U \setminus A \end{eqnarray*}$ erst Recht nicht und dann kann $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ nach Def. nicht abgeschlossen sein, obwohl am "Rand" bzw. "Übergang" von $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ die selben Eigenschaften vorliegen (können) wie in Fall 1 verwirrt

verwirrt

Ich hab mal 3 Grafiken gemacht, in denen "weiche" Linien "offen" bedeuten und "harte, eckige" Linien "abgeschlossen":

In Fall 1 sind sowohl U als auch A offen: Keinerlei Probleme.
In Fall 2 ist U offen und A abgeschlossen (da U\A offen ist)
In Fall 3 aber ist U abgeschlossen und A müsste doch auch abgeschlossen sein, doch hier ist U\A nun doch nicht offen, oder?

Als Beispiel: $\begin{eqnarray*} U = [0,3] ~\text{,}~ A = [1,2] \end{eqnarray*}$
Dann ist $\begin{eqnarray*} U \setminus A = [0,3] \setminus [1,2] = [0,1[ ~ \cup ~ ]2,3] \end{eqnarray*}$ und das ist doch nicht offen, oder?

Ich bin mir sicher, dass ich mal wieder (total) falsch denke, aber ich würd gern wissen, an welcher Stelle Big Laugh

Big Laugh

air
Edit: Hups, in den Grafiken steht überall "Fall 1". Naja, die Nummerierung ist:
Fall 1: U offen, A offen
Fall 2: U offen, A abgeschlossen
Fall 3: U abgeschlossen, A "abgeschlossen"

16.08.2007, 15:07

tigerbine

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RE: Offene / Abgeschlossene Menge
Würde ja meinen, dass ist eher Analysis? (*verschoben*)

Such dir mal die Definitionen der Begriffe raus, Air. mit der "Anschauung" vertut man sich hier sehr oft.

Dein Beispiel ist schon "schlecht" gewählt, da die Intervalle [] kompakt sind. Welche Eigenschaften haben sie also?

16.08.2007, 15:12

Dual Space

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RE: Offene / Abgeschlossene Menge
Air, mir ist absolut suspekt, was du mit diesen Skizzen darstellen möchtest. verwirrt

verwirrt

Da es für die Menge A unerheblich ist, ob U offen oder abgeschlossen ist, kannst du den ganzen Spass auch mit $\begin{eqnarray*} \operatorname{int}U \end{eqnarray*}$ (Inneres von U) machen und bist alle Sorgen los. Augenzwinkern

Augenzwinkern

16.08.2007, 15:17

Airblader

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RE: Offene / Abgeschlossene Menge

Zitat:

Original von tigerbine
mit der "Anschauung" vertut man sich hier sehr oft.

An sowas dachte ich auch, aber ich verlasse mich ja nicht rein auf die Anschauung. Um trotzdem mal kurz bei meinem Beispiel zu bleiben:

$\begin{eqnarray*} U \setminus A = [0,1[ ~ \cup ~ ]2,3] \end{eqnarray*}$
ist doch auch nach Def. nicht offen, denn z.B.: $\begin{eqnarray*} x_0 = 3 \in (U \setminus A) \end{eqnarray*}$ , aber - und das verlangt Offenheit - es gilt nicht $\begin{eqnarray*} K_\varepsilon(x_0) \subset (U \setminus A) \end{eqnarray*}$

Zitat:

Dein Beispiel ist schon "schlecht" gewählt, da die Intervalle [] kompakt sind. Welche Eigenschaften haben sie also?

Kompakte Mengen haben einige Eigenschaften und ehrlich gesagt weiß ich auf Anhieb nicht, auf was du rauswillst smile

smile

air
@Dual Space
Das ist nur eine Veranschaulichung (wie sich auch in dem Buch, das ich lese verwendet wird). Aber wie gesagt, nur eine Veranschaulichung (also nicht notwendig)

Aber es ist ja wichtig, ob U\A offen ist oder nicht. Und (ich gehe weiter davon aus, da ich noch nicht weiß, worin das "Schlechte" in meinem Bsp ist) das ist es bei meinem Bsp. ja nicht verwirrt

verwirrt

16.08.2007, 15:18

therisen

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Um dich völlig zu verwirren: Ein metrischer Raum ist sowohl abgeschlossen als auch offen. Siehe http://de.wikipedia.org/wiki/Abgeschlossene_offene_Menge Was sagst du nun?

16.08.2007, 15:20

Airblader

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Zitat:

Original von therisen
Um dich völlig zu verwirren:

Danke

Big Laugh

Zitat:

Ein metrischer Raum ist sowohl abgeschlossen als auch offen.

D.h., dass ich daraus (Hauptsache U ist offen, egal, ob es auch gleichzeitig abgechlossen ist) dennoch U\A ist offen folgern kann?
Wenn ja, wäre ja alles geklärt Augenzwinkern

Augenzwinkern

air

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16.08.2007, 15:24

tigerbine

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RE: Offene / Abgeschlossene Menge
Ich wollte Dir nur sagen, dass Du mit den Definitionen arbeiten sollst. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Bei kompakt bezog ich mich auf abgeschlossen und beschränkt. Augenzwinkern

Augenzwinkern

16.08.2007, 15:25

Airblader

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RE: Offene / Abgeschlossene Menge

Zitat:

Original von tigerbine
Bei kompakt bezog ich mich auf abgeschlossen und beschränkt. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Warum sollten die Eigenschaften das Beispiel "schlecht" machen verwirrt

verwirrt

Abgeschlossenheit ist ja genau das, was ich haben wollte und Beschränktheit stört hier doch nicht, oder? smile

smile

air

16.08.2007, 15:37

therisen

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$\begin{eqnarray*} U\setminus A \end{eqnarray*}$ ist offen genau dann, wenn $\begin{eqnarray*} U\setminus(U\setminus A)=A \end{eqnarray*}$ abgeschlossen ist. Ob $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ abgeschlossen oder offen ist, ist daher irrelevant.

16.08.2007, 15:37

tigerbine

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RE: Offene / Abgeschlossene Menge
Ich habe es auch in Anführungszeichen gesetzt, Air. Also fühl dich mal nicht so auf den Schlips getreten. Augenzwinkern

Augenzwinkern

16.08.2007, 15:49

Airblader

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Zitat:

Original von therisen
$\begin{eqnarray*} U\setminus A \end{eqnarray*}$ ist offen genau dann, wenn $\begin{eqnarray*} U\setminus(U\setminus A)=A \end{eqnarray*}$ abgeschlossen ist. Ob $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ abgeschlossen oder offen ist, ist daher irrelevant.

Mhm. Da hätte ich tatsächlich nur einen Schritt weiterdenken müssen Big Laugh

Big Laugh

Danke

smile

@tigerbine
Ich fühle mich nicht auf den Schlips getreten Augenzwinkern

Augenzwinkern

Ich fühle momentan mehr so etwas wie Hammer

Hammer

Big Laugh

Also dann nochmal Danke an alle smile

smile

air

16.08.2007, 16:18

WebFritzi

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RE: Offene / Abgeschlossene Menge

Zitat:

Original von Airblader
$\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ sei eine Menge und $\begin{eqnarray*} A \subsetneqq U \end{eqnarray*}$ .

$\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ heißt nun ja abgeschlossen, wenn $\begin{eqnarray*} U \setminus A \end{eqnarray*}$ offen ist.

Wenn U einfach nur irgendeine Menge ist, dann kann man gar nicht von offen/abg. reden. Und das zweite stimmt so auch nicht. Wenn U z.B. Teilmenge des R^n ist, dann ist A abg., genau dann, wenn R^n\A offen ist. Aber ich denke mal, U ist bei dir der zugrundeliegende topologische Raum. Das hättest du schreiben müssen.

16.08.2007, 16:22

Airblader

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RE: Offene / Abgeschlossene Menge

Zitat:

Original von WebFritzi
Das hättest du schreiben müssen.

Ja, dass U ein metrischer Raum sein soll (Topologie selbst lassen wir mal noch weg Augenzwinkern

Augenzwinkern

) habe ich vergessen smile

smile

air

16.08.2007, 16:25

Dual Space

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RE: Offene / Abgeschlossene Menge

Zitat:

Original von Airblader
Topologie selbst lassen wir mal noch weg

Ohne ein Topologie von Abgeschlossenheit oder Offenheit zu reden macht aber nicht sonderlich viel Sinn, oder?

16.08.2007, 16:28

WebFritzi

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Er meinte, dass wir im Rahmen von metrischen Räumen bleiben wollen...

16.08.2007, 16:41

Dual Space

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Wie auch immer ... das "Problem" sollte geklärt sein. Augenzwinkern

Augenzwinkern

16.08.2007, 16:47

Airblader

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WebFritzi hat Recht, und ja, ist nun geklärt Augenzwinkern

Augenzwinkern

Danke nochmal smile

smile

air

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