Diskussion: x^0 = 1 | Def. oder Beweis? - Seite 2 |
| 18.08.2007, 19:46 | Airblader | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||||||
Nur (!) mit nat. Zahlen existiert -1 nicht. Man kann aber sagen: "Wenn -1 nicht zu |N gehört, warum suchen wir uns dann nicht einen Körper, in dem -1 existiert?" und *ZACK* sind wir bei . Natürlich muss man Körperaxiome etc. beweisen. Wie beweist man die Richtigkeit eines Beweises? Dadurch, dass der Beweis keinen Fehler enthält (und dieser Beweisbeweis ist genauso "fehleranfällig" wie ein Beweis selbst). Und wie beweise ich, dass der Potenzregelbeweis zirkulär ist? Dadurch, dass man eindeutig sieht, dass ich das verwende, was ich eigentlich beweisen will (zumindest, wenn wir von reden) Nun, okay, ich hätte es vorher sagen dürfen. Ich durfte so ziemlich alles vorher sagen 
Aber ob ich es vorher so gesehen habe ist etwas anderes. Und das ist doch zumindest mal das mit dir erarbeitete Ergebnis. |
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| 18.08.2007, 20:04 | kiste | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||||||
ist ein Körper 
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| 18.08.2007, 20:33 | Airblader | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||||||
Hups
Naja, aber es erfüllt alle Körperaxiome bis auf eins ... 
Das war wohl in der Eile *rausred* ABer die Frage war ja nicht, ob Z Körper ist, sondern ob -1 "existiert". air |
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| 18.08.2007, 22:53 | Soliton | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||||||
Banachalgebren, Alaoglu, Arzela-Ascoli, das hört sich so nach Essen an. *uff*. *Pausemach*
Ich weiß nicht, ob diese Aussage richtig ist. Im Zweifel würde ich allerdings zu "sinnlos" tendieren.
Vielleicht habe ich mich falsch ausgedrückt. Ich wollte nicht sagen, daß Du nichts anders benutzen darfst als natürliche Zahlen, oder daß es nichts anderes gibt. Dann wäre die Frage ja trivial zu verneinen. Ich habe lediglich gesagt: Die einzigen Axiome, die Du voraussetzen darfst, sind die von Peano. Und dann die Frage: Was kannst Du daraus machen? Läßt sich daraus die Existenz von "-1" ableiten?
Tja, man kann so vieles sagen - und hinschreiben. Aber die Frage ist: Bringt das die "-1"zur Existenz? Wir suchen uns einen Körper?? Wo denn? Und wie? Es fehlt die axiomatische Begründung! *ZACK*? Sehe ich nicht. Natürlich kannst Du, wenn Du Z als additive (abelsche) Gruppe erstmal gefunden - oder definiert? - hast, nachrechnen, daß "-1" enthalten ist. Aber bemerkst Du, daß Du hier der gleichen "Zirkularität" anheimfällst, die Du bei "x^0" peinlich vermieden hast? "Wenn wir Z in der üblichen Form haben, dann gibt es eine -1". vs. "Wenn wir Potenzgesetze in der üblichen Form haben, dann gibt es x^0 (und ist außerdem = 1)." Ich will aber die Existenz von "-1" aus den Peano-Axiomen ableiten und nicht daraus, daß ich ihre Existenz implizit schon voraussetze! So wie Du "x^0 = 1" eben nicht als bewiesen ansiehst, wenn man dies schon implizit voraussetzt (sei es durch Anwendung der Potenzregeln oder des Rechnens mit exp oder Polynomen oder ...). Also: Laut Peano existieren die natürlichen Zahlen. Wieso existiert - im gleichen Sinne von "existieren" - "-1"? Meine Vermutung bis jetzt - und zugleich der Grund dafür, daß ich dieses Beispiel bringe - ist, daß es Dir nicht gelingen wird. Jedenfalls nicht, wenn Du die o. g. "Zirkularität" nicht zuläßt. Worauf ich damit hinauswill: Wenn Du so strenge Maßstäbe anlegst wie bei unserem "x^0", dann kannst Du mir nicht einmal in Deinem Sinne "beweisen", daß "-1"existiert. Und damit stehst Du ziemlich nackt da. 
Und jetzt können wieder alle anderen Beispiele kommen und schreien, welche schrecklichen Folgen das doch für sie hätte. Ich bin sicher, weder die Theorie über exp, noch über Polynome verkraften den Verlust der "-1" besser als eine andere Definition von "x^0". Auch wenn diese Beispiele mit Getöse daherkommen - sie werfen nicht mehr Gewicht in die Schale als das Bedauern, das wir schon empfinden, wenn wir x + 1 = 0 nicht lösen können. Womit ich die Analogie zum "x^0" herstellen will. Entweder genügt schon der einfachste "Widerspruch" (dort: zu den Potenzregeln, hier zur Lösbarkeit von "x + 1 = 0") - oder es genügt überhaupt nichts. Der Übung Sinn sollte in meinen Augen sein zu sehen, daß bestimmte Fragen, wenn man nicht gerade Philosophie betreiben will, einfach nicht gestellt werden sollten. Und daß die Frage nach der Zwangsläufigkeit von "x^0 = 1" in die gleiche Klasse fällt wie die Frage nach der Existenz von "-1". Des weiteren, daß ein tröstlicher Ausweg aus dieser Situation ist, sich mit gewissen "Zirkularitäten" anzufreunden - und diese zu akzeptieren. Oder am besten gar nicht darüber nachzudenken.
Das sicherlich. Aber ich sehe schon nicht, wie Du beweisen willst, daß ein Beweis keinen Fehler enthält. Wie würde man das denn im (wie Du ja früher geschrieben hast: unstreitigen) Sinn von "beweisen"machen?
Und wenn ich Dir nun sage, daß ich das eben nicht "sehe"? Daß Du über ein Gleichheitszeichen "Fehler" schreibst, ist ja sehr hilfreich - aber doch nicht mehr als die Abkürzung für längere sprachliche Erklärungen, die wir bislang ausgetauscht haben. Und die Frage, ob dieser "Zirkel", den man Deiner Zeile hier nicht ansieht, so katastrophal ist - naja, darüber kann man sich eben doch streiten. Aber nicht mit mir, weil ich der Ansicht bin, daß jeder das so sehen kann, wie er will (das soll kein Ausdruck meiner Toleranz sein, sonder davon, daß ich beides für richtig halte, je danach, was man von einem "Beweis" in dieser Situation erwarten möchte) - oder nicht darüber nachdenken sollte. Vorsorglich: Ich will nach wie vor nicht den bisherigen Konsens angreifen. Nur nochmals deutlich machen, Daß wir auf einer Ebene uns bewegen, wo gar nichts mehr klar, offensichtlich oder formal beweisbar ist.
Klar, schon ok. Ich wollte nur sagen, daß sich Deine Aussage, die für alle "Definitionen" richtig ist (wenn man das gleiche Verständnis = Definition von Definition benutzt), ja nicht auf die ursprünglich strittige Frage bezieht. |
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| 18.08.2007, 23:19 | Airblader | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||||||
Sorry, aber deine jetzigen Beispiele werden für mich falsch
1.) Ich habe nirgendwo die Existenz von -1 vorausgesetzt, um Z definieren zu können
(im Übrigen wurde Z garantiert "entwickelt", ohne, dass man sagte "Ich brauche ein -1")2.) Habe ich nie gesagt, dass es x^0 nicht gibt. Die Frage war stets: Was ist der Wert davon? 3.) Wozu denn immer Peano? Soweit ich weiß, sind Peanoaxiome nur ein System zur Definition, nicht das Einzige. Und ja, ich denke, dass man aus dem |N-Axiomensystem (auch aus dem von Peano) Z ableiten kann. Schlicht und ergreifend durch . Oder auch siehe hier
Was du zum Beweisbeweis sagst, ist genau, was ich ablegen wollte: Wenn du einen Beweis beweisen willst, dann setzt du voraus, dass Beweise Fehler haben können. Warum sollte ein Beweisbeweis nicht auch Fehler haben können
(nämlich z.B., dass ein Mensch, der ihn sich durchliest, einen Fehler im Beweis übersieht)Dass ich "Fehler" drübergeschrieben habe ist doch vollkommen egal, wenn du auf den Kontext der Gleichung achtest: Es war nur ein Beispiel aus vorheriger Zeit und soll keineswegs eine erneute Diskussion darüber bringen. Zugegenermaßen finde ich, dass du die Meinung "x^0 := 1" nur bekräftigst, aber lediglich dazusagst, dass es nicht zwangsweise sein muss. Aber bleiben wir doch dann in deinem metamathematischen Zusammenhang: Muss überhaupt irgendwas definiert sein? Brauchen wir die Definition von Ableitungen, Mittelwertsätzen, Folgen, Körpern, Mengen, ... ? Muss Mathematik definiert sein? Nein. Jedenfalls - metamathematisch gesehen - ebensowenig, wie x^0 definiert sein muss(!). 
air |
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| 18.08.2007, 23:56 | Soliton | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||||||
Doch, das tust Du, wenn Du sagst: Es soll eine Menge existieren, nennen wir sie Z, in der alle natürlichen Zahlen sind (von denen wissen wir nach Peano, das sie existieren), und in der es außerdem noch andere Objekte (und Strukturen) gibt, die gewissen Regeln unterliegen, u. a., daß es sog. additive Inverse zu jeder natürlichen Zahl gibt. (Im übrigen wurde Z garantiert deshalb "entwickelt" - oder gefunden? -, weil man eine -1 haben wollte. Und eine -2. Und eine -3...) Und in dem Moment, wo das ausgesprochen hast, hast Du schon die -1 ins Lebens gerufen. Weil Du gesagt hast, daß sie existieren soll (denn die Menge, die sie enthalten soll, soll existieren; Du kannst nicht gleichzeitig behaupten, daß es Z gibt, daß aufgrund gewisser Regeln -1 enthalten müßte, und sagen, daß Du an dieser Stelle noch nichts darüber sagst, ob es -1 gibt). Problem dabei: Woher kommt diese Existenz? Doch wohl nicht aus den Peanoaxiomen. Es ist also keine axiomatische Existenz, sondern nur eine definitorische. Wo der Unterschied liegt? Keine Ahnung. Jedenfalls hast Du hier die Existenz nicht aus den Axiomen abgeleitet, sondern nur aus Definition (unter Zuhilfenahme weiterer Regeln) - und das heißt, nicht "bewiesen" im - wie Du meinst - unstreitigen Sinne von "beweisen". Zurück zu x^0: Da sagst Du, daß Du keine Potenzregeln verwenden willst, weil irgendwo in den Regeln schon angelegt sei, daß x^0 = 1 ist. Das findest Du zirkulär. Und ich sage: Wenn Du behauptest, daß es Z gibt, dann ist die Existenz von -1 eben auch schon angelegt. Und wenn Du nicht behauptest, daß es Z gibt, dann gibt es auch die -1 nicht (es sei denn, Du schreibst sie einfach hin, aber das wäre dann Deine persönliche -1, die nur lebt, weil Du es willst, darüber reden wir nicht). Ohne die Behauptung von Z geht also nichts, aber mit der Behauptung von Z ist (über die Existenz von -1) nichts mehr in Deinem Sinne von "beweisen" zu beweisen. Und zurück zum Ausgang: Ohne die Potenzregeln "gibt" es auch x^0 nicht - jedenfalls nicht mehr, als es -1 ohne Z gibt - geschweigedenn einen Wert dafür, es sei denn, Du schreibst es außerhalb der Potenzregeln hin. Aber das wäre dann Dein persönliches x^0, darüber reden wir nicht. Mit den Potenzregeln ist der Wert von x^0 aber schon angelegt. Ohne die Potenzregeln geht also nichts, mit den Potenzregeln bleibt nichts.
Ist nicht entscheidend, kommentiere ich daher nicht mehr.
Ich wollte ein einfaches Beispiel wählen, um die Analogie aufzuzeigen. Wenn man einen anderen Zugang wählt, werden z. B. die reellen Zahlen axiomatisch begründet, dann ist der axiomatische Nachweis der "-1" klar - aber ebenso wenig oder viel wert wie mit den Potenzregeln geführte Nachweis über den Wert von x^0. Ok, ist mir trotzdem nicht gelungen, Dich mitzunehmen.
Weder das eine, noch das andere ist eine axiomatische Ableitung. Behaupte ich. Was Du geschrieben hast, ist nur eine Definition. Ohne ausdrücklich "-1" hinzuschreiben, schreibst Du hin, daß es das gibt. Und das soll ein Beweis sein, der besser ist als: Potenzregeln hinschreiben und dann zeigen, daß x^0 = 1 ist? Ich glaub's nicht, aber ich denke, das kann so stehenbleiben. Ich komme sonst noch mehr ins Faseln, und das hilft nicht. (Übrigens ist mir sehr wohl bekannt und einleuchtend, wie unsere Zahlsysteme konstruiert werden können. Das stelle ich gar nicht in Frage. Ich bin auch kein Konstruktivist. Ich weise nur darauf hin, daß die Frage nach der Existenz genauso dolle ist wie die, um die es hier ging. Man kann stundenlang darüber träumen - und als Philosoph vielleicht sogar darüber promovieren.)
Klar. Ich wollte nur sagen, daß ich schon nicht sehe, wie ein formalisiertes Beweisbeweisverfahren aussehen könnte - ganz zu schweigen, daß man sich anschließend über dessen Fehlerhaftigkeit Gedanken machen müßte...infiniter Regreß. Aber ich sehe eben schon das Verfahren nicht. Das ist alles Erkenntnistheorie, davon habe ich zu wenig Ahnung. Ich sehe nur Probleme.
Weiß ich doch. Forenproblem, wir schreiben aneinander vorbei.
Ich wollte Dir nur verdeutlichen, daß ich z. B. jemand bin, der eben nicht "sieht" wie Du, daß der Beweis falsch ist usw. Und es gibt nichts und niemanden, der diesen Disput (formal) entscheiden kann mit größerer Autorität als schon unsere eigene. Aus meiner Sicht gibt es ja auch nichts zu entscheiden, weil wir beide gleichzeitig recht haben. Oder unrecht.
Was muß nicht zwangsweise sein?
Ein schöneres Ende kann der Metamathematiker und Erkenntnistheoretiker (ich gehöre nicht zu diesen) wohl nicht finden: Alles Sein ist Illusion - und als solche natürlich nicht notwendig. Oder sinnvoll. Gehirne im Tank.
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| 19.08.2007, 00:25 | Airblader | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||||||
Okay, ich muss zugeben, ich hatte dein "-1"-Beispiel zunächst falsch verstanden
Und ja, natürlich wurde Z konstruiert, um diese Zahlen zu finden (bzw. um x + 1 = 0 zu lösen). Aber nur u.a.Ich denke nicht, dass die Konstruktion von Z den einzigen Sinn hat -1 zur Existenz zu bringen. Vielmehr um alle Zahlen die x+a=0 lösen zu finden, aber nicht unbedingt und nur x+1=0
An einer Sache denkst du vllt. zu grundlegend: Kein Z => keine -1 Keine Potenzrechnung => kein x^0 Stimmt. Nichts auszusetzen. Aber das Dasein von x^0 gibt noch keine Auskunft über dessen Wert oder über Beweisbarkeit, Definitionsnötigkeit o.ä. (ja, ein sehr gestückstelts Wort
)Die zirkuläre Sache hast du nun entweder falsch beschrieben oder falsch verstanden. Ich sage: x^0 := 1 ist definiert und es gibt Potenzgesetze, die für den "Fall 0" oder für den Fall m=-n (bei x^{n+m} = x^m*x^n) erst aufgrund dieser Definition erlaubt sind. Nicht, dass es nicht beweisbar ist, weil sich x^0 nicht durch Potenzrechnung ergeben kann
Nun, dass auch Mathematik nicht höchste Perfektion ist ist wiederum metamathematisch und garnicht fraglich. Irgendwo können auch Axiome hinterfragt werden ... aber wozu? Natürlich kann ein Beweis Fehler enthalten. Und der Beweisbeweis auch. Genauso ein Beweisbeweisbeweis. Aber wo soll es enden, wenn man nicht irgendwann akteptiert, dass etwas einfach scheinbar richtig sein muss? (Jedenfalls im Rahmen der jeweiligen Axiomatik, die man dann mal nicht hinterfragen sollte). Wir könnten ja hinterfragen: Wozu überhaupt Mathematik und nicht den ganzen Tag im Schlamm wälzen und Frauen auf den Kopf kloppen
Nicht zwangsweise sein muss imho iyho (also m.M.n in deiner Meinung folgend
), dass man es definiert, denn man kann x^0 auch einfach stehen lassen.Du outest dich nicht als Metamathematiker? Wundert mich nun ein bisschen
Weißt du, ich sehe es so: Auch ich bin ein Freund von Philosophie. Ja, man kann vieles und alles hinterfragen. Doch: Dürfen wir nun keine Mathematik betreiben, nur, weil wir noch nicht wissen, warum es uns eigentlich gibt? Und ob es uns gibt? Na dann ... Prost
Naja, das reicht mal für heute. Gute Nacht 
air |
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| 19.08.2007, 14:57 | Soliton | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||||||
Das habe ich doch auch gar nicht sagen wollen! 
Anyway, mein Punkt war ein anderer und ist ja anscheinend klargeworden.
Tja, jetzt hast Du da aber was verdreht. Die beiden obigen Zeilen, die Du nun ausdrücklich akzeptiert hast, sind der Punkt, den ich machen wollte (es tut mir leid um das ständige Wiederkäuen). In Worten:Ohne Voraussetzung der Existenz von Z gibt es kein -1, und alle weiteren Fragen danach sind sinnlos. Setzt man allerdings Z voraus, dann kann man die Existenz von -1 nicht mehr sinnvoll (in Deinem Sinne) "beweisen". Analogie zu: Ohne Voraussetzung der Potenzrechnung kein x^0, erst recht kein Wert von x^0 - und deshalb ist der Versuch, einen Wert von x^0 zu beweisen, sinnlos, wenn man nicht schon die Potenzrechnung voraussetzt (oder etwas, was darauf beruht und noch komplizierter ist: Polynome, exp...). DAS würde aber in Deinen Augen (und das finde ich eine vertretbare Sichtweise) gerade KEIN Beweis, weil "zirkulär" sein. Und das bedeutet: Die einzige Möglichkeit, sinnvoll nach einem Wert von x^0 zu fragen, hat man nur MIT den Potenzregeln (oder komplizierteren ... s. o.). Da Du DAS aber ausgeschlossen hast (was Dein gutes Recht ist), können wir nicht mehr sinnvoll nach dem Wert von x^0 fragen. Was stark darauf hindeutet, wenn es nicht sogar "beweist": daß x^0 nur eine "Definition" sein kann. - Du hast recht, daß die Frage nach der Existenz eines Objekts etwas anderes sein kann als die Frage nach seinem "Wert" (= Aussehen). Deshalb ist die "-1"-Frage auch nur eine Analogie (aber eben keine Isomorphie) zu Deinem ursprünglichen Problem, aber m. E. eine hinreichende Analogie. Sie veranschaulicht an einem noch einfacheren Objekt, wo eine Grenze vernünftiger Fragestellungen innerhalb der Mathematik liegenkann.
Genau darauf wollte ich von Anfang an hinaus. Bitte vergiß nicht, daß DU die Frage gestellt hast - und wohl ahnend, was kommen würde, Dich quasi vorsorglich dafür entschuldigt hast.
Du kommst auf Ideen...
Wie, nicht definieren, aber einfach hinschreiben? Hm, das wäre metamathematisch gesehen aber keine Mathematik. 
Frechheit.
"Bitte vergiß nicht, daß DU die Frage gestellt hast - und wohl ahnend, was kommen würde, Dich quasi vorsorglich dafür entschuldigt hast.
"Trotz allem bisher Geschriebenen: Ich betreibe auch gerne Mathematik. Und die Frage, ob "-1" wirklich existiert oder nicht - ist mir echt egal.
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| 19.08.2007, 15:05 | Airblader | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||||||
Mhm. Verbirgt sich hinter deiner Aussage im Grunde nur: "x^0 := 1 ist tatsächlich Definition und nicht beweisbar", also genau, was ich anfangs gesagt habe? Denn: Wenn du sagst, ohne Potenzrechnung kein x^0 und auch kein Wert, dann sage ich: Das ist bei allen Definitionen so. Ohne Potenzreihen auch kein Begriff der Potenzreihe, also auch keine Definition. Ohne Körper kein Begriff von Körpern also auch keine Definition. ...
"Wie, nicht definieren, aber einfach hinschreiben?" Ich meinte, dass man x^0 einfach ohne Wert lässt und in Rechnungen dann eben "x^0" stehen hat.
air |
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| 19.08.2007, 16:24 | Soliton | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||||||
[quote]Original von Airblader Mhm. Verbirgt sich hinter deiner Aussage im Grunde nur: "x^0 := 1 ist tatsächlich Definition und nicht beweisbar", also genau, was ich anfangs gesagt habe?[/quote}] Ich fürchte - schon. Ich wollte es allerdings auch begründen. Und vergiß nicht, daß Du zwischenzeitlich geneigt warst, einen "Beweis" - den von tmo - näher zu prüfen und ggf. zu glauben. DAGEGEN MUSSTE ICH DOCH ETWAS UNTERNEHMEN!
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| 19.08.2007, 17:41 | Airblader | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||||||
Also... ich bin der Meinung, es ist Definition. Du sagst etwas dagegen. Langsam beginne ich zu glauben, dass es möglich wäre es evtl. unter gewissen Umständen zu glauben und dann sagst du es ist eine Definition? Schlawiner
Na dann kann ich - es liegt auch keinerlei Gegenstimme vor, bis auf, dass tmo scheinbar neutral dazu steht - doch mal zusammenfassen, dass das Ergebnis bisher ist: air Edit: Im Übrigen habe ich nun eine Antwort von Hr. Behrends erhalten, möchte jedoch erst seine Erlaubnis zur Veröffentlichung abwarten. |
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| 21.08.2007, 12:16 | Airblader | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||||||
Zum "Abschluss" (da sonst ja scheinbar niemand etwas dazu sagen mag) noch die Antwort von Herrn Prof. Dr. Behrends zu tmo's Antwort (ich habe mir erlaubt einzufügen):
Ich denke, dass dies recht gut mit unserem Ergebnis übereinstimmt
air |
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| 21.08.2007, 19:06 | Soliton | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||||||
Yippie.
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| 17.09.2007, 18:44 | KnightMove | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||||||
Ich muss zugeben, dass mir die Lektüre des Threads irgendwann zu mühsam wurde, wenn meine 2 cents schon festgestellt wurden, bitte ich um Entschuldigung: Die Potenzschreibweise ist für jede Halbgruppe sinnvoll, und wenn die Halbgruppe ein neutrales Element hat, so muss jedes als triviale Folgerung der Schreibweise immer das neutrale Element sein. ist eine Gruppe, und 1 ist ihr neutrales Element, also ist stets 1. Amen. |
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| 17.09.2007, 18:54 | AD | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||||||
Richtig. Für . Wo liegt nochmal die Null?
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| 17.09.2007, 20:52 | Soliton | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||||||
Wie Du selbst bereits befürchtet hast, ist das in diesem Thread nichts Neues.
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| 17.09.2007, 22:42 | KnightMove | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||||||
Ich vergaß zu schreiben " ist mit der Multiplikation eine Gruppe..." Den Sinn der rhetorischen Frage verstehe ich nicht?! Wenn es sich auf meine Frage "Null hoch Null" bezieht: Das habe ich hier nicht gemeint. Ich finde, dafür ist ein eigener Thread schon richtig, und habe daher Dual Space um Entsperrung gebeten. Soliton: Aber zumindest Airblader ist ja noch nicht überzeugt, oder? |
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| 17.09.2007, 22:47 | Soliton | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||||||
Die Frage ist doch: wovon?Ich entnehme seinem vorletzten Beitrag, daß er (wie wohl von Anfang an) "x^0 = 1" für eine Definition hält. So wie ich. In diesem Sinne ist er, jedenfalls aus meiner Sicht, nach wie vor vom Richtigen überzeugt. Aber ich will Dich nicht daran hindern, neue Nebelbomben zu zünden und ihn zu verunsichern, bis wieder die Möglichkeit eines "Beweises" am Horizont scheint... 
Ich halte mich da aber raus, ich kann nicht mehr.
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| 17.09.2007, 23:08 | KnightMove | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||||||
Na schön. Ich lese doch noch den ganzen Thread... |
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| 18.09.2007, 11:45 | KnightMove | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||||||
Der Threadstarter ist der Lüge überführt, was gibt es noch zu diskutieren?
Aber ernste Zwischenfrage zur Bündelung der Standpunkte: Wer der Leser dieses Threads würde sagen, dass eine Definition ist, ganz analog zu ? |
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| 18.09.2007, 19:03 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||||||
Für definiere man und weiter induktiv für ganzzahliges Für definiere man weiter für ganzzahliges Dann hat man die Potenz für beliebige ganzzahlige Hochzahlen im üblichen Sinne definiert. Und das war's auch schon. Das sind alles nur Definitionen. Alles. Es folgen die üblichen Potenzgesetze. |
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| 18.09.2007, 21:33 | KnightMove | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||||||
RE: Diskussion: x^0 = 1 | Def. oder Beweis?
Irgendwie komme ich mir komisch vor, eine andere Ansicht zu haben als die Gemeinschaft der Versammelten, die bessere Mathematiker sind als ich, aber ich widerspreche. Die Potenzgesetze sind integraler Bestandteil der Potenzschreibweise. Ohne Potenzgesetze ist die Potenz keine Potenz. Und ist eine triviale Konsequenz daraus und aus der Natur von . Es ist weder eine eigenständige Definition, noch eine Festlegung, noch ein beweiswürdiger Satz. |
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| 18.09.2007, 21:41 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||||||
ist eine Definition und sonst nichts. Oder in Schröderscher Manier: Basta! Dagegen sind die Potenzgesetze, nachdem die Definitionen, wie von mir vorgeführt, gemacht sind, beweisbar. Du mußt Definitionen unterscheiden von Motivationen für Definitionen. Beachte dazu das Hankelsche Permanenzprinzip. |
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| 18.09.2007, 21:50 | KnightMove | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||||||
Ich wage zu behaupten, dass es umgekehrt ist. Die Potenz ist so definiert, dass die Potenzgesetze gelten, und ist eine triviale Konsequenz daraus. Basta? Basta! Eine Potenz ohne Potenzgesetze ist ein Widerspruch in sich. Es gibt sie nicht. |
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| 18.09.2007, 21:52 | AD | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||||||
Offensichtlich hast du noch nichts von Potenzen im Komplexen gehört, sonst würdest du sowas nicht erzählen. |
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| 18.09.2007, 21:56 | KnightMove | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||||||
Ok, Du hast recht... ich habe mich mal wieder unpräzise ausgedrückt: Eine Potenz mit Exponenten in bzw. einer Teilmenge davon ist ohne Potenzgesetze nicht denkbar. Und das gilt unabhängig davon, in welcher Menge (alias Halbgruppe) die Basis liegt. Wenn auch das falsch sein sollte, dann habe ich wirklich ein Verständnisproblem. |
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| 18.09.2007, 21:56 | Dual Space | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||||||
@KnightMove: Zuerst drängelst du, dass ich den anderen Thread wieder aufmache und nun schweigst du dich dort aus und diskutierst dein Thema doch hier. Also ----> Null hoch Null |
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| 18.09.2007, 21:59 | KnightMove | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||||||
Verzeihung: Es geht hier nicht um Null hoch Null, sondern um "(alles andere als Null) hoch Null". |
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| 18.09.2007, 22:01 | Dual Space | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||||||
Ich wollte dir jetzt nicht in den Karren fahren, oder so .... nur falls du das jetzt so auffasst. Ich sehe hier nichts, für das du dich entschuldigen müsstest.
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| 18.09.2007, 22:13 | Airblader | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||||||
Und ich halte, wie Leopold, x^0 = 1 (x ungleich 0) immernoch für eine Definition
Und warum sollten Potenzen ohne Potenzgesetze unsinnig sein? Wäre die Differentialrechnung unsinnig, nur, weil es die Regel (och ?!) nicht gibt? Stellen wir uns einfach mal vor, wir sind in einer lang vergangenen Zeit und haben die Potenz entdeckt. Natürlich noch keine Gesetze. Ist es von vornherein also Unsinn, zu sagen, dass 5³ = 5 * 5 * 5 ist. Nur, weil ich noch nicht sagen kann, dass 5³ = 5² * 5 ist? 
Potenzen machen auch ohne Potenzgesetze Sinn. Es wäre nur nahezu unmöglich, mit Potenzen zu rechnen. air |
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| 18.09.2007, 22:26 | KnightMove | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||||||
Gibt es irgendein Beispiel für Potenzen, sei es heuristisch, in irgendeiner Epoche der Menschheitsgeschichte oder irgendeiner Phantasie entsprungen, für Potenzen, die nicht zumindest die Zahlen in umfassen, oder bei denen für diese Zahlen die Potenzgesetze nicht gelten? (Und nein, die Exponentialfunktion für Matrizen ist kein Beispiel.) |
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| 18.09.2007, 22:36 | Airblader | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||||||
Von nicht-Gültigkeit spreche ich nicht. Es kann auch einfach sein, dass man sie nich nicht formuliert hat. Und dennoch sind Potenzen nicht sinnlos. Das ist der Punkt, den ich klarmachen wollte
air |
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| 18.09.2007, 22:48 | KnightMove | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||||||
Wie dem auch sei: Wenn man bzw. als das akzeptiert, was sie sind, und eine Potenzschreibweise, die sich auf die Multiplikation bezieht, dann ist . Das muss nicht zusätzlich festgelegt werden. Vielleicht ist die Diskussion vergleichbar mit jener, ob 1+1=2 ist. |
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| 18.09.2007, 22:53 | Airblader | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||||||
Ich vermute, dass das, was du als "triviale Konsequenz" bezeichnest, in Wahrheit einfach nur die Tatsache ist, dass x^0 = 1 einfach schön in die Reihe passt, die Gesetze so auch hier gelten und es damit einfach "bequem" und "logisch" ist, x^0 = 1 zu definieren
air |
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| 18.09.2007, 22:58 | KnightMove | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||||||
Falsch. Nach allgemein etablierten mathematischen Begriffen ist eine Gruppe und die Potenzschreibweise eben darauf zu beziehen. Das reicht, um zu erhalten, weil es das neutrale Element der Gruppe ist. Trivial. Nichts zu definieren, nichts zu beweisen. |
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| 19.09.2007, 05:53 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||||||
Ich glaube, wenn du einmal dem Link folgen würdest, statt immer wieder dasselbe in immer wieder den gleichen Worten zu sagen, würde sich manche Diskussion möglicherweise erübrigen. |
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| 19.09.2007, 10:48 | KnightMove | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||||||
Ich hatte das Prinzip schon vorher gekannt, den Artikel beim ersten Hinweis gelesen und habe es jetzt nochmals getan. Jetzt liegt es an Dir zu erklären, worauf Du damit hinaus willst. |
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| 19.09.2007, 17:46 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||||||
Ich will damit sagen, daß ich glaube, daß du Definitionen und Motivationen für Definitionen schlicht verwechselst. |
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| 20.09.2007, 11:35 | KnightMove | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||||||
Und wo konkret habe ich das DMn hier getan? |
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| 20.09.2007, 23:39 | Soliton | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||||||
Das wäre so ein schönes und treffendes Schlußwort. |
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