Vollständige Induktion bei einer Ungleichung

17.08.2007, 01:09

pseudo-nym

Vollständige Induktion bei einer Ungleichung

Guten Morgen,

ich soll

$\begin{eqnarray*} \prod_{k=1}^{n} \frac{2k-1}{2k} \leq \frac{1}{\sqrt{3n+1}} \end{eqnarray*}$

durch vollständige Induktion beweisen, also hab ich bisher den Induktionsanfang

$\begin{eqnarray*} \prod_{k=1}^{1} \frac{2k-1}{2k} & \leq & \frac{1}{\sqrt{3+1}} \\ \frac{1}{2} & \leq & \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

Edith sagt: Wer für n einsetzt, darf kein n stehen lassen

Beim Induktionsschritt fehlt mir allerdings die richtige Eingebung

$\begin{eqnarray*} \prod_{k=1}^{n+1} \frac{2k-1}{2k} = \prod_{k=1}^{n} \left( \frac{2k-1}{2k} \right) \frac{2(n+1)-1}{2(n+1)} \leq \frac{1}{\sqrt{3n+1}} ~~~ \frac{2n+1}{2n+2} \end{eqnarray*}$

Aber wie komme ich jetzt am besten von $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt{3n+1}} ~~~ \frac{2n+1}{2n+2} \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt{3(n+1)+1}} \end{eqnarray*}$ ?

Reicht es nicht eigentlich zu zeigen, dass $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt{3n+1}} ~~~ \frac{2n+1}{2n+2} \leq \frac{1}{\sqrt{3(n+1)+1}} \end{eqnarray*}$ eine Identität (falls man das bei Ungleichungen so sagen kann) für alle $\begin{eqnarray*} n \in \mathrm N \end{eqnarray*}$ ist?

Und gibt es eigentlich ein Identitätszeichen für Ungleichungen?

17.08.2007, 01:24

kiste

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Um $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt{3n+1}} ~~~ \frac{2n+1}{2n+2} \leq \frac{1}{\sqrt{3(n+1)+1}} \end{eqnarray*}$ zu zeigen, reicht es zu zeigen das $\begin{eqnarray*} a_n=\frac{2n+1}{\sqrt{3n+1}} \end{eqnarray*}$ monoton ist. Das kannst du ja(durch Erweiterung auf eine Funktion) durch ableiten machen

19.08.2007, 00:41

pseudo-nym

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K, ich hab die Monotonie von $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt{3n+1}} ~~~ \frac{2n+1}{2n+2} \end{eqnarray*}$ genommen, aber das hat auch funktioniert

Danke! Wink

19.08.2007, 01:17

WebFritzi

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Zitat:

Original von kiste
Um $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt{3n+1}} ~~~ \frac{2n+1}{2n+2} \leq \frac{1}{\sqrt{3(n+1)+1}} \end{eqnarray*}$ zu zeigen, reicht es zu zeigen das $\begin{eqnarray*} a_n=\frac{2n+1}{\sqrt{3n+1}} \end{eqnarray*}$ monoton ist.

Nein, leider nicht. Augenzwinkern

Zitat:

Original von pseudo-nym
K, ich hab die Monotonie von $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt{3n+1}} ~~~ \frac{2n+1}{2n+2} \end{eqnarray*}$ genommen

Das führt hier zum Ziel. Aber ist dir auch klar, warum?

19.08.2007, 03:48

pseudo-nym

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Gestern schien's noch klar, aber jetzt wo ich nochmal drüber nachdenke sehe ich nicht ganz warum monotones Fallen hier gleich die Richtigkeit der Ungleichung impliziert. Die rechte Seite könnte doch eigentlich auch einfach schneller konvergieren, oder nicht?

19.08.2007, 10:52

WebFritzi

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Du hast gezeigt:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt{3n+1}} \frac{2n+1}{2n+2} \le \frac{1}{\sqrt{3n+4}} \frac{2n+3}{2n+4}. \end{eqnarray*}$

Nun frag dich mal, warum die rechte Seite kleiner (oder gleich) als $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt{3n+4}} \end{eqnarray*}$ ist.

21.08.2007, 15:40

pseudo-nym

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$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt{3n+4}} \frac{2n+3}{2n+4} \le \frac{1}{\sqrt{3n+4}} \end{eqnarray*}$ ist klar aber wo hab ich denn gezeigt, dass

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt{3n+1}} \frac{2n+1}{2n+2} \le \frac{1}{\sqrt{3n+4}} \frac{2n+3}{2n+4} \end{eqnarray*}$

geschockt