Mehrdimensionale Integrale

17.08.2007, 18:42

beuteltier

Mehrdimensionale Integrale

hallo
ich bin bei der anwendung des satzes von fubini auf eine unklarheit gestoßen, wo ich irgendwie auf'm schlauch steh':
ein ausdruck wie $\begin{eqnarray*} \int_{0}^{x}~f(x)~dx \end{eqnarray*}$ ist ja ungültig - x kann nicht gleichzeitig obere grenze und variable sein...

nehmen wir mal an, ich möchte das integral $\begin{eqnarray*} \int_{B}~xy~dxdy \end{eqnarray*}$ berechnen mit B das "obere rechte viertel" des einheitskreises.
kann ich dann das integral schreiben als $\begin{eqnarray*} \int_{0}^{1}\int_{0}^{\sqrt{1-x^2}}~xy~dydx \end{eqnarray*}$
oder irgendwie ähnlich? was muss ich da beachten, x oben als grenze und als variable unten?! bin grad voll am verzweifeln traurig

17.08.2007, 19:02

sqrt(2)

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Wie du das Doppelintegral geschrieben hast, stimmt es schon. Bedenke, du hast zwei verschachtelte Integrale, und im inneren wird nach y integriert -- x ist also eine Konstante (und keine Integrationsvariable). Erst im äußeren Integral ist x dann Integrationsvariable, aber da kommt auch kein x mehr als Integrationsgrenze vor.

17.08.2007, 19:03

kiste

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naja du musst halt zuerst nach y integrieren. Dann ist das x aus der Grenze auch weg, und du kannst nach x integrieren(genauso hast du ja auch die Parametrisierung deiner Fläche gewählt)

17.08.2007, 20:29

beuteltier

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ah, ok. der satz von fubini kommt hier aber nirgends zum einsatz odeR?

17.08.2007, 20:47

WebFritzi

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Zitat:

Original von beuteltier
ah, ok. der satz von fubini kommt hier aber nirgends zum einsatz odeR?

Doch. Du hast quasi erstmal den Transformationssatz und dann den Satz von Fubini angewandt.

18.08.2007, 13:46

beuteltier

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könntest du das näher erläutern - was ist in dem fall die koordinaten-transformation(-sfunktion) ? ich dachte, das integral würde schon in kartesischen koordinaten "geboren"?

18.08.2007, 23:49

WebFritzi

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Ja nee, ich hab Quatsch geschrieben. Nix Trafosatz. Und den Fubini benutzt du eigentlich auch nicht wirklich.

19.08.2007, 15:28

beuteltier

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dann verstehe ich die bedeutung von fubini nicht ganz.
ich kann obiges problem in polarkoordinaten bringen:
$\begin{eqnarray*} \int_{B}~xy~dxdy = \int_{0}^{1}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}~r sin(t) r cos(t) r~dt dr = \int_{0}^{1}~r^3 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}~sin(t)cos(t)~dt~dr = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}~sin(t)cos(t)~dt * \int_{0}^{1}~r^3~dr \end{eqnarray*}$

wo genau ist da der unterschied zwischen "konstanten aus dem integral rausnehmen" und "fubini anwenden" ?

19.08.2007, 16:57

sqrt(2)

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Zitat:

Original von WebFritzi
Du hast quasi erstmal den Transformationssatz und dann den Satz von Fubini angewandt.

Also bei uns läuft das unter "Kleiner Satz von Fubini".

Zitat:

Original von beuteltier
wo genau ist da der unterschied zwischen "konstanten aus dem integral rausnehmen" und "fubini anwenden" ?

Das eine hat mit dem anderen nichts zu tun. Fubini wendest du an, wenn du das Bereichsintegral in ein Doppelintegral umschreibst. (Hier hast du außerdem zusätzlich den Transformationssatz angewandt.) Das Herausziehen der Konstanten folgt dann ganz normal aus der Linearität des Regelintegrals.

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