Algen und exponentielles Wachstum

18.08.2007, 18:53

soda

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Algen und exponentielles Wachstum

Ich habe mich jetzt relativ lange damit beschäftigt auf Webseiten nützliche Informationen zu finden. Muss aber doch hier um Hilfe bitten.

Folgende Aufgabe:
In einem Teich von $\begin{eqnarray*} 800 \rm{m^2} \end{eqnarray*}$ Fläche vermehrt sich eine Algenart exponentiell, indem sich die bedeckte Fläche jede Woche verdreifacht.

a) Wie lautet die Funktionsgleichung A=f(t), wenn A die von den Algen bedeckte Fläche in $\begin{eqnarray*} \rm{m^2} \end{eqnarray*}$ , t die Zeit in Tagen (d) ist, und im Zeitpunkt t=0 d die Fläche $\begin{eqnarray*} A_0=2,4\rm{m^2} \end{eqnarray*}$ beträgt?
b) Zeichne den Grafen der Funktion für $\begin{eqnarray*} 0\rm{d}\leq t \leq 40\rm{d} \end{eqnarray*}$
c) Nach wievielen Tagen ist der ganze Teich mit Algen bedeckt?

Zu a)
Ich verstehe nicht recht wie man die Funktion beschreiben soll, die Fläche ist ja nicht ein Quadrat. "Fläche verdreifacht sich jede Woche", wie finde ich heraus wieviel sich die Fläche in einem Tag vermehrt, mehr fehlen wohl die Grundlagen um die Aufgabe zu lösen.

$\begin{eqnarray*} A_0 \end{eqnarray*}$ = 2,4m
$\begin{eqnarray*} A_7 \end{eqnarray*}$ = 2,4 * 3 = 7,2m
$\begin{eqnarray*} A_{14} \end{eqnarray*}$ = 7,2 * 3 = 21,6m

Soweit ist klar, nur da hört bei mir die Fähigkeit sich das Vorzustellen auf, was denn $\begin{eqnarray*} A_1 \end{eqnarray*}$ für eine Fläche hat.

Kann mir hier jemand einen Tipp geben? Internetseite? erläuterungen?

MfG
soda

Nachtrag
$\begin{eqnarray*} 2,4 \cdot x^7 = 7.2 \Rightarrow x = 1,1699\ldots \end{eqnarray*}$
dann bekomme ich den Faktor und kann den Grafen zeichnen.

richtig? Augenzwinkern

Augenzwinkern

18.08.2007, 20:00

marci_

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stelle doch zuerst einmal die funktionsgleichung auf:

$\begin{eqnarray*} f(x)=a*e^{kx} \end{eqnarray*}$
oder eben:
$\begin{eqnarray*} f(x)=a*q^x \end{eqnarray*}$

setzte dazu die angaben aus der aufgabenstellung ein

18.08.2007, 20:49

mYthos

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RE: Algen und exponentielles Wachstum

Zitat:

Original von soda
...
$\begin{eqnarray*} 2,4 \cdot x^7 = 7.2 \Rightarrow x = 1,1699\ldots \end{eqnarray*}$
dann bekomme ich den Faktor und kann den Grafen zeichnen.
...

Dein x entspricht der Basis q von marci_, also sinngemäß ist deine Entwicklung richtig. Was fehlt, ist die Funktion, die die momentane Fläche in Abhängigkeit von der Zeit x angibt. Setze also die Basis nicht x (das sollen die Tage sein), sondern q

$\begin{eqnarray*} A(x) = 2,4 \cdot q^x \ \ldots \ x \ in \ Tagen, \ q = 1,169931 \end{eqnarray*}$

Kannst du damit nun auch c) lösen?

mY+

18.08.2007, 21:54

soda

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Danke marci_ und mYthos

bei mir happerts leider schon bei den Grundlagen... um an den Faktor zu kommen hab ich mich einfach mit dem Taschenrechner bedient habe aber leider keine Ahnung wie ich die Gleichung von Hand löse:

$\begin{eqnarray*} 2.4m \cdot x^7 = 7.2 \end{eqnarray*}$ | -2.4m
$\begin{eqnarray*} x^7 = 4.8 \end{eqnarray*}$ | $\begin{eqnarray*} log_7(...) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x = log_7(4,8) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x = \frac{ln(4,8)}{ln(7)} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x=0.80 \end{eqnarray*}$

scheint so nicht zu funktionieren... warum kann ich die exponentialgleichung nicht lösen. (ohne CAS Rechner...)

MfG
soda

18.08.2007, 23:49

tigerbine

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Die Allgemeine Gleichung lautet:

$\begin{eqnarray*} f(t) = t_0 \cdot 3^{\frac{1}{7}\cdot t} \end{eqnarray*}$

Das könntest du auch schon aus deinen Anfangsüberlegungen erhalten. Denn 7Tage sind eine Woche Augenzwinkern

Augenzwinkern

Zitat:

$\begin{eqnarray*} A_0 \end{eqnarray*}$ = 2,4m
$\begin{eqnarray*} A_7 \end{eqnarray*}$ = 2,4 * 3 = 7,2m
$\begin{eqnarray*} A_{14} \end{eqnarray*}$ = 7,2 * 3 = 2,4m * 3 *3 = 21,6m

Mit dem Anfangswert macht das also:

$\begin{eqnarray*} f(t) &&= 2.4 \cdot 3^{\frac{1}{7}\cdot t}\\&&=2.4\cdot (3^{\frac{1}{7}})^t \\ && \approx 2.4 \cdot (1.17)^t \end{eqnarray*}$

Alles was da nötig war, war ein Potenzgesetz.

Den Plot kannst du auch hier im Board erstellen. Sonst eben eine Wertetabelle.

Nun gilt es in c) eben folgende Aufgabe zu lösen:

$\begin{eqnarray*} 800 \leq 2.4 \cdot 3^{\frac{1}{7}\cdot t} \end{eqnarray*}$

19.08.2007, 10:55

soda

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Zitat:

Original von tigerbine
$\begin{eqnarray*} f(t) = t_0 \cdot 3^{\frac{1}{7}\cdot t} \end{eqnarray*}$

genau sowas steht in der Lösung

Zitat:

Original von tigerbine
Das könntest du auch schon aus deinen Anfangsüberlegungen erhalten. Denn 7Tage sind eine Woche Augenzwinkern

Augenzwinkern

Ok wenn ich mir jetzt die Funktion anschaue verstehe ich nicht warum es $\begin{eqnarray*} 3^{\frac{1}{7}\cdot t} \end{eqnarray*}$ heisst, wie findet man so etwas heraus? Die 3 ist weil sich die Fläche verdreifacht, und 7 die Anzahl der Tage, aber warum muss ich das in der Form aufschreiben? Gibt es eine Grundfunktion an der ich mich orientieren muss.. mein Problem ist das ich die Zusammenhänge noch nicht sehe.

Zitat:

Original von tigerbine
Alles was da nötig war, war ein Potenzgesetz.

vielleicht bin ich nur zu blöd, das zu verstehen, aber um $\begin{eqnarray*} 2.4 \cdot x^7 = 7.2 \end{eqnarray*}$ zu erhalten, wie komm ich dann auf $\begin{eqnarray*} f(t) = t_0 \cdot 3^{\frac{1}{7}\cdot t} \end{eqnarray*}$ ein Zusammenhang den ich leider nicht verstehe

Ich hoffe es hat weiterhin jemand Geduld mir zu helfen das zu verstehen. Weil wenn ich a) nicht verstehe dann hat es keinen Sinn c) zu lösen und alles mit dem CAS Rechner aufzulösen.

MfG
soda

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19.08.2007, 11:12

marci_

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ja setzte doch einfaych in deine grundfunktion ein!
$\begin{eqnarray*} f(0)=2,4 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f(7)=7,2 \end{eqnarray*}$

dies setzt du in $\begin{eqnarray*} f(x)=a*q^x \end{eqnarray*}$ ein

dann erhälts du zwei gleichungen, und wenn du diese auflöst bekommst du die gesuchten variablen!

19.08.2007, 11:13

tigerbine

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Zitat:

genau sowas steht in der Lösung

Ich kann hellsehen Tanzen

Tanzen

Spass beiseite. In der Aufgabe steht:

Zitat:

exponentielles Wachstum

das ist der Code für einen Funktionstyp. So wie Du vielleicht bei einer quadratischen Funktion weißt, dass sie die allgemeine Gestalt:

$\begin{eqnarray*} f(x)=ax^2+bx+c \end{eqnarray*}$

hat. Man muss also aus weiteren Angaben a,b,c bestimmen. Hier sieht die allgemeine Form eben so aus, wie Marci es schon gepostet hatte. Man kann jede soche funktion zur Basis e darstellen. Aber auch allgemein können wir schreiben:

$\begin{eqnarray*} f(t) =a \cdot b^{c \cdot t} \end{eqnarray*}$

Üblicher sind die von Marci geposteten Sachen, da wir im Exponenten eigentlich nur die Bezugsgröße t haben wollen. Hier ist die Aufgabe eben etwas komplizierter, da wir in Tagen rechnen, die Verdreifachung aber in einer Woche = 7 Tagen abläuft. Mit dem Potenzgesetz ergibt sich dann

$\begin{eqnarray*} f(t)=a\cdot (b^c)^t \end{eqnarray*}$

Wobei dann eben b^c der Vervielfachung pro Tag entspricht. Eine Zahl hoch 0, ist gleich 1. Somit muss a gleich was sein?

19.08.2007, 11:19

WebFritzi

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OK, soda. Ich versuche jetzt, mYthos' Weg weiterzuspinnen bzw. neu zu erklären. Es geht hier um exponentielles Wachstum. Das bedeutet, dass man bereits weiß, dass die Funktionsgleichung die Form

$\begin{eqnarray*} A(t) = A_0 q^t \end{eqnarray*}$

hat. Dabei ist $\begin{eqnarray*} A(0) = A_0 \end{eqnarray*}$ die Anfangsgröße des Algenteppichs. Diese größe kannst du also schon direkt ablesen. Nun brauchen wir noch das q. Nun weißt du aber auch noch, dass sich die Algenfläche nach 7 Tagen verdreifacht hat. Mit dieser Information kannst du q ausrechnen. Weißt du, wie?

19.08.2007, 11:55

soda

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Freude

Danke ihr 3

Zitat:

Original von tigerbine
$\begin{eqnarray*} f(t)=a\cdot (b^c)^t \end{eqnarray*}$

Wobei dann eben b^c der Vervielfachung pro Tag entspricht. Eine Zahl hoch 0, ist gleich 1. Somit muss a gleich was sein?

a ist in dem Fall ja $\begin{eqnarray*} A_0 \end{eqnarray*}$ numerisch $\begin{eqnarray*} 2.4m^2 \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von WebFritzi
Nun brauchen wir noch das q. Nun weißt du aber auch noch, dass sich die Algenfläche nach 7 Tagen verdreifacht hat. Mit dieser Information kannst du q ausrechnen. Weißt du, wie?

$\begin{eqnarray*} 2.4 \cdot x^7 = 7.2 \\&& x \approx 1.1699\dots \end{eqnarray*}$
Was ich aber ohne Taschenrechner nicht Rechnen konnte (Taschenrechner ist eigentlich nicht erlaubt bei den Aufgaben)

Also auf die Frage ob ich wisse wie, muss ich wohl oder Übel sagen: nicht so recht.

MfG
soda

19.08.2007, 12:00

tigerbine

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Deswegen kannst Du ja auch

$\begin{eqnarray*} 3^{\frac{1}{7}} \end{eqnarray*}$

als Basis schreiben. Aber ich glaube nciht, dass ihr keinen TR nehmen dürft, wenn ihr einen Plot machen sollt. Damit meine ich keinen CAS, aber Die Werte berechnen sich dann von and doch etwas schwer. Da würde ich noch einmal nachfragen in der Schule.

19.08.2007, 13:16

soda

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Zitat:

Original von tigerbine
Deswegen kannst Du ja auch
$\begin{eqnarray*} 3^{\frac{1}{7}} \end{eqnarray*}$
als Basis schreiben.

So langsam macht es Sinn, nur komme ich nicht auf 3 sondern 4.8

$\begin{eqnarray*} 2.4 \cdot x^7 = 7.2 \end{eqnarray*}$ | - 2.4
$\begin{eqnarray*} x^7=4.8 \end{eqnarray*}$ | 7te Wurzel ziehen.
$\begin{eqnarray*} x=^7\sqrt{4.8} \end{eqnarray*}$ | Potenzgesetz dass $\begin{eqnarray*} a\frac{m}{n}= ^n\sqrt{a \cdot m} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x = 4.8^{\frac{1}{7}} \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von tigerbine
Aber ich glaube nciht, dass ihr keinen TR nehmen dürft, wenn ihr einen Plot machen sollt.

Auf dem Blatt steht Hilfsmittel: keine! traurig

traurig

19.08.2007, 13:23

tigerbine

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Ich werde meine Rechnungen von oben nicht wiederholen. Nur solltest du überlegen, was das Gegenteil der Multiplikation ist. Subtraktion? unglücklich

unglücklich

19.08.2007, 14:26

soda

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Danke Tigerbine...

schlimm wenn die Dummheit im Weg steht... natürlich Division.
Somit ist auch c) von Hand Lösbar

$\begin{eqnarray*} 800 = 2.4 \cdot 3^{\frac{1}{7} \cdot x} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 7 \cdot \frac{\rm{ln}(\frac{800}{2.4})}{\rm{ln}(3)} = x \end{eqnarray*}$

MfG
soda

19.08.2007, 18:00

WebFritzi

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Zitat:

Original von soda

Zitat:

Original von WebFritzi
Nun brauchen wir noch das q. Nun weißt du aber auch noch, dass sich die Algenfläche nach 7 Tagen verdreifacht hat. Mit dieser Information kannst du q ausrechnen. Weißt du, wie?

$\begin{eqnarray*} 2.4 \cdot x^7 = 7.2 \\&& x \approx 1.1699\dots \end{eqnarray*}$

Hmm, nein. Es gilt

$\begin{eqnarray*} A(7) = 3A(0), \end{eqnarray*}$ also $\begin{eqnarray*} A_0 q^7 = 3A_0, \end{eqnarray*}$ also $\begin{eqnarray*} q^7 = 3, \end{eqnarray*}$ also $\begin{eqnarray*} q = \sqrt[7]{3}. \end{eqnarray*}$ Somit hat man

$\begin{eqnarray*} A(t) = 800 \cdot \left(\sqrt[7]{3}\right)^t = 800\cdot \left(3^{\frac{1}{7}} \right)^t = 800\cdot 3^{\frac{t}{7}}. \end{eqnarray*}$

Ist doch nicht so schwer, oder?

EDIT: Dein Zeugs von oben stimmt doch, aber ich habe keine Ahnung, wie du auf diese Zahlen (2.4 und 7.2 gekommen bist)... verwirrt

verwirrt

20.08.2007, 14:04

mYthos

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2,4 steht doch in der Angabe (Anfangsfläche) und 7,2 ist halt davon das Dreifache ... verwirrt

verwirrt

mY+

20.08.2007, 15:20

WebFritzi

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Achso. Aber die Angabe von A_0 = 2.4 ist ja redundant.

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