Taylorreihe einer Integralfunktion |
19.08.2007, 12:44 | Basti_der_Matheboy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Taylorreihe einer Integralfunktion Ich darf als Taylorreihe in durch Verwendung der geometrischen Reihe ausdrücken. Hat jemand eine Idee? Ich habe gehört, dass Umformen, Integrieren und Differenzieren erlaubt sind, um auf die Form zu kommen. Leider habe ich gar keine Idee, was klappen könnte. Lieben Gruß, Basti |
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19.08.2007, 12:53 | therisen | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hallo, das sieht schwerer aus als es ist Wie lautet denn die Potenzreihe von im Ursprung? Dividiere diese durch und integriere gliedweise (warum darf man das?). EDIT: Gibt es Einschränkungen an ? Gruß, therisen |
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19.08.2007, 13:23 | Basti_der_Matheboy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Aber ist die Potenzreihe des arctan(x) nicht 0 in x=0? Also die Potenzreihe für ist ja: Somit ist sie für : Ist das korrekt? Weil wenn jetzt t=0 ist, wird doch die ganze Potenzreihe 0, oder irre ich mich? |
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19.08.2007, 13:55 | therisen | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ja, das ist sie. Mit "Ursprung" meinte ich Entwicklungspunkt , auch bekannt als MacLaurinsche Reihe. |
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19.08.2007, 14:22 | Basti_der_Matheboy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ich erhalte Stimmt das? Da ich Matheanfänger bin und so eine Aufgabe zum ersten mal versuche zu lösen, würde ich mich freuen, wenn du mir noch ein paar Tipps geben könntest. Ich soll jetzt nämlich für k=0,1,2,3,4,5 ausrechnen. Wie funktioniert das? Welcher Teil dieser Potenzreihe stellt nun die Ableitungen dar? Gruß, Basti |
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19.08.2007, 14:59 | therisen | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hi, das Ergebnis stimmt - allerdings nur für . Zu deiner anderen Frage: Was ist f? Gruß, therisen |
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19.08.2007, 15:14 | Basti_der_Matheboy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
f ist wohl die Integralfunktion, die ich im ersten Beitrag beschrieben habe. Denn die war als f(x) gegeben. Diese Funktion habe ich jetzt ja als Taylorreihe in Entwicklungspunkt x0=0 errechnet. Nur was kann ich jetzt damit anfangen? Wie ermittle ich damit die Ableitungen? |
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19.08.2007, 15:25 | therisen | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ok, dann ergibt die Aufgabe Sinn. Es wäre besser gewesen, wenn du gleich die originale Aufgabenstellung gepostet hättest Wir haben Die jeweiligen Koeffizienten stimmen überein (Identitätssatz). Daraus kannst du leicht die Werte von ablesen. Gruß, therisen |
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19.08.2007, 15:36 | Basti_der_Matheboy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Also sind die Ableitungen 1,-1,1,-1,1,-1 für k=0,1,2,3,4,5? Oder habe ich das falsch verstanden? Das nächste mal poste ich gleich die ganze Aufgabenstellung |
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19.08.2007, 15:53 | therisen | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ja, das hast du leider falsch verstanden. Für verschwindet die erste Ableitung im Ursprung (denn rechts steht ja dann ). Für (oben musst du die rechte Seite auf die Gestalt bringen, wobei dann der Wert der Ableitung ist. Es ist vielleicht etwas ungünstig, links und rechts den gleichen Summationsindex zu verwenden. Was zählt sind nur die jeweiligen Koeffizienten. |
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19.08.2007, 16:03 | Basti_der_Matheboy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Wenn ich in die Reihendarstellung einsetze, erhalte ich , was ja dem Format entspricht. Ich muss doch aber auf die Form kommen. Statt müsste also dort stehen, weil ich ja gesetze habe. Wie stell ich das an? Oder wo liegt mein Denkfehler? |
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19.08.2007, 16:57 | therisen | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ok, nochmal ausführlich: Einerseits haben wir , andererseits wissen wir Daraus folgt . Außerdem gilt . Das ist eine Gleichung, aus der du sofort ablesen kannst. Gruß, therisen |
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19.08.2007, 17:50 | Basti_der_Matheboy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Mich wundert nur, wie du auf kommst. Bei mir ergibt sich: |
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19.08.2007, 18:33 | therisen | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Naja, für alle Und für alle |
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19.08.2007, 18:46 | Basti_der_Matheboy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Bitte nochmal für Dumme. Ich dachte ich muss k=0,1,2,3,4,5 in f(x) einsetzen. Und wenn ich in für k eine 0 einsetze, macht das bei mir für den ersten Wert und das müsste x ergeben. |
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19.08.2007, 18:52 | Basti_der_Matheboy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ach jetzt weiß ich glaube ich, was du getan hast. Man muss die erhaltene Potenzreihe für die Ermittlung der Koeffizienten also nicht erst ab sondern schon ab betrachten... Boah war ich blind! Ich versuche mal das Ergebnis zu errechnen, melde mich dann.. |
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21.08.2007, 17:32 | Basti_der_Matheboy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hallo therisen, habe die Aufgabe noch zuende gerechnet und musste sie vorrechnen - und sie war 100% richtig. Das Ergebnis rechne ich dir gerne bei Interesse vor, allerdings glaube ich, dass es sowieso für dich trivial ist Ich möchte dir ganz herzlich für deine Hilfe danken! Gruß, Basti |
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21.08.2007, 17:36 | therisen | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hallo Basti, freut mich, dass du es verstanden hast. Nein, vorrechnen brauchst du sie mir nicht Ich denke, dass auch jeder andere, der diesen Thread liest, mit Leichtigkeit auf die endgültige Lösung kommt (es steht ja eigentlich schon alles da). Gruß, therisen |
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