Nullstellen von Polynomen

19.08.2007, 21:48

Deka

Nullstellen von Polynomen

Abend zusammen smile

Ich soll endscheiden ob folgende Aussagen wahr oder falsch sind und meine Endscheidung begründen.

1. Ein Polynom 3.Grades mit komplexen Koeffizieten hat mindestens eine reele Nullstelle.

Falsch , Gegenbsp: $\begin{eqnarray*} x^3+x^2-x+2i+1 \end{eqnarray*}$ hat keine reelle Nullstellen aber 3 komplexe z.b: i.

2.Ein Polynom 17.Grades mit reelen Koeffizieten hat mindestens eine Nullstelle.

Wahr, da wir wissen das Polynome ungeraden Grades mit reellen Koeffizienten immer mindestens eine reelle Nullstelle haben.

3.Ein Polynom 4.Grades mit reelen Koeffizieten hat 4 Nullstelle. Diese tretten etweder als einzelne,paarweise oder vierfache Nullstellen auf, jedoch nie als dreifache.

Hier bin ich absolut verunsichert.
Vom Gefühl her würde ich sagen das die Behauptung falsch ist ,da man auch eine 3-fache Nullstelle und eine einfache Nullstelle haben kann . Hm hat jemand vielleicht ein Gegenbeispiel oder kann mir zeigen das die Behauptung richtig ist ?

4.Ein Polynom 21.Grades hat mindestens eine reele Nullstelle.

Hier kommst auf die Koeffizienten an:
Bei reelen Koeffizienten kann man wie bei 2. argumentieren.
Bei komplexen Koeffizienten wäre es doch das selbe wie bei 1. , also ein ewig langes Gegenbeispiel suchen -.- ?

5. Ein Polynom 13.Grades mit reellen Koeffizienten hat mindestens eine reelle Nullstelle .

Gleiche Argumentation wie bei 2.

6. Ein Polynom 6. mit 2 dreifachen , komplexen Nullstellen hat keine reelle Nullstelle.

Die Aussage ist wahr weil komplexe Nullstellen immer in konjugierten-komplexen Paaren auftretten. Bei 2 dreifachen komplexen Nustellen haben wir also mit den konjugierten-komplexen Nullstellen 6 Nullstellen. Da ein Polynom 6 Grades maximal 6 Nullstellen haben kann ,kann es keine weitere reelle Nullstelle geben.

Kann man so argumentieren und sind meine Argumentationen richtig ?

Grüße Deka smile

PS: Ich liebe Verständnissaufgaben ...

19.08.2007, 21:57

tigerbine

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RE: Nullstellen von Polynomen

Zitat:

1. Ein Polynom 3.Grades mit komplexen Koeffizieten hat mindestens eine reelle Nullstelle.

Falsch
Die komplexen Zahlen bilden einen Zerfällungskörper. Gib dann einfach eine Linearfaktorzerlegung mit 3 komplexen Nullstellen an. Die Koeffizienten liegen wieder alle in $\begin{eqnarray*} \mathbb C \end{eqnarray*}$

Zitat:

2.Ein Polynom 17.Grades mit reellen Koeffizienten hat mindestens eine Nullstelle.

Richtig
hier könnte man sich auch noch auf einen Satz beziehen.

19.08.2007, 21:59

Calvin

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RE: Nullstellen von Polynomen
Die Gegenbeispiele kannst du ganz einfach erstellen. Du nimmst Nullstellen $\begin{eqnarray*} x_0, x_1, x_2, usw. \end{eqnarray*}$ aus dem gewünschten Zahlenbereich und erstellst dir die Funktion mit Faktoren.

Als Gegenbeispiel für 3. kannst du z.B. die dreifache Nullstelle 3 und die einfache Nullstelle 1 nehmen. Damit kriegst du die Funktion $\begin{eqnarray*} f(x)=(x-3)^3(x-1) \end{eqnarray*}$

19.08.2007, 22:04

tigerbine

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Teil 2

Zitat:

3.Ein Polynom 4.Grades mit reellen Koeffizienten hat 4 Nullstellen. Diese tretten entweder als einzelne, paarweise oder vierfache Nullstellen auf, jedoch nie als dreifache.

Falsch
gibt einfach eine entsprechende Linearfaktor-Kombination aus reellen Faktoren an.

Zitat:

4.Ein Polynom 21.Grades hat mindestens eine reele Nullstelle.

Falsch/Richtig
Da nichts über den Körper gesatg wurde, über dem wir das polynom betrachten. Wie wäre es im komplexen mit einer 21-fachen komplexen Nullstelle Augenzwinkern

19.08.2007, 22:31

Deka

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Danke euch smile

zu 1. Also soll ich mein Gegenbeispiel $\begin{eqnarray*} x^3+x^2-x+1+2i \end{eqnarray*}$ in
$\begin{eqnarray*} (x - I)*(x^2 + x*(1 + I) - 2 + I) \end{eqnarray*}$ zerlegen (i ist eine Nullstelle) und dann mit $\begin{eqnarray*} x^2 + (1 + I)x +(- 2 + i) \end{eqnarray*}$ die weiteren 2 Nullstellen
bestimmen , die dann wiederwiderum komplex sind.

zu 2. Kann wir jemand sagen aus welchen Satz man die Aussage "Polynome ungeraden Grades mit reellen Koeffizienten haben immer mindestens eine reelle Nullstelle" leiten kann , steht so aussagelos in denn Vorlesungsmitschriften :/

zu 3. Linearfaktor-Kombination aus reellen Faktoren = z.b $\begin{eqnarray*} (x-3)^3(x-1) \end{eqnarray*}$ ?

zu 4. Sprich sind die Koeffizienten reele gibt es keine Nullstellen.
Sind die Koeffizienten Komplex können ich $\begin{eqnarray*} (x-(a+bi))^{21} \end{eqnarray*}$ <-21 Komplexe Nullstelle ?

19.08.2007, 22:37

tigerbine

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1. Das Beispiel ist mir zu kompliziert Augenzwinkern

2. aua, aua, aua. Der Analysis Prof würde gerne etwas zum Stichwort Zwischenwertsatz stetiger Funktionen hören, der Algebraiker etwas über den Hauptsatz der Algebra.

3. jupp

4. ^{21}, dann wird was draus. Im reellen, siehe 2.

19.08.2007, 23:14

Deka

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Erstmal danke smile

Noch eine Frage:
Der Hauptsatz der Algebra bezieht sich doch nur auf den komplexen Körper bzw komplexe Polynome.
Oder kann man einfach Satz auf reele Polynome und reele Nullstelen um münzen das die reelle Zahlen in den komplexen Zahlen enthalten sind.

19.08.2007, 23:22

tigerbine

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Das entscheidende folgt in einem Lemma zu dem Satz. Über IR treten komplexe Nullstellen paarweise konjugiert auf. (Vglt. z.B. Fischer, Lineare Algebra - anhang)

19.08.2007, 23:26

tigerbine

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Zitat:

6. Ein Polynom 6. mit 2 dreifachen , komplexen Nullstellen hat keine reelle Nullstelle.

Die Formulierungen sind hier schon sehr unglücklich. Denn mit $\begin{eqnarray*} \mathbb R \subset \mathbb C \end{eqnarray*}$ ist natürlich auch jede reelle Zahl komplex. Augenzwinkern

19.08.2007, 23:34

Deka

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Seite 66 , nehme ich an? smile

PS: Ich muss zugeben , das ich nicht damit gerechnet habe das für die Aufgaben aus Ana1 , ich mich auf Sätze und Lemmas aus dem parallen Lineare Algebra Kurs beziehen :/
Muss noch viel lernen ...

19.08.2007, 23:36

tigerbine

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Mußt Du nicht. Ich sagte ja, es geht auch mit Analysis:

Zitat:

Der Analysis Prof würde gerne etwas zum Stichwort Zwischenwertsatz stetiger Funktionen hören

19.08.2007, 23:37

Deka

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Der Assistent der die Aufgabe gemacht hat sieht immer sehr müde aus :P ^^

Aber die Agumentierung über die konjugiert-komplexen Nullstellen ist schon richtig bei 6 oder ?

PS: Mit dem Zwischenwertsatz kann ich die genannte Aussage aber im Moment garnicht erfassen, bzw ich weiß nicht wie man von Stetigkeit und Intervallen zu ungerade Polynome,reelle Koeffizienten und Nullstellen kommt. Hammer

19.08.2007, 23:45

tigerbine

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Zitat:

Original von tigerbine

Zitat:

6. Ein Polynom 6. mit 2 dreifachen , komplexen Nullstellen hat keine reelle Nullstelle.

Die Formulierungen sind hier schon sehr unglücklich. Denn mit $\begin{eqnarray*} \mathbb R \subset \mathbb C \end{eqnarray*}$ ist natürlich auch jede reelle Zahl komplex. Augenzwinkern

Seien $\begin{eqnarray*} v,w \in \mathbb C \end{eqnarray*}$ . Dann sieht das beschriebene Polynom wie folgt aus:

$\begin{eqnarray*} f(x)=(x-v)^3(x-w)^2 \end{eqnarray*}$

Wenn nun gilt $\begin{eqnarray*} v,w \in \mathbb C \setminus \mathbb R \end{eqnarray*}$ , dann ist doch schon alles gesagt über die Nullstellen. Klingt für mich wie "eine gerade Zahl ist nicht ungerade" unglücklich

19.08.2007, 23:58

Deka

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Na gut nach dem Ansatz sieht man das nur $\begin{eqnarray*} x\in \mathbb {C} \setminus \mathbb {R} \end{eqnarray*}$ eine Nullstelle sein kann ...

20.08.2007, 11:06

WebFritzi

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RE: Nullstellen von Polynomen

Zitat:

Original von Deka
Ich soll endscheiden ob folgende Aussagen wahr oder falsch sind und meine Endscheidung begründen.

Es heißt entscheiden. Wie auch entladen, entlaufen, entziehen, und, und , und... Sollte man als Student IMHO wissen.

Zitat:

Original von Deka
6. Ein Polynom 6. mit 2 dreifachen , komplexen Nullstellen hat keine reelle Nullstelle.

Die Aussage ist wahr weil komplexe Nullstellen immer in konjugierten-komplexen Paaren auftretten. Bei 2 dreifachen komplexen Nustellen haben wir also mit den konjugierten-komplexen Nullstellen 6 Nullstellen.

Die Aussage ist zwar richtig - deine Begründung aber falsch. Nur wenn die Koeffizienten reell sind, kann man diese Aussage treffen. Aber das Polynom ist hier nicht als reell vorausgesetzt. Du musst hier den Fundamentalsatz der Algebra verwenden.

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