Komplexe Lösungen der Gleichung:

20.08.2007, 12:02	nitric	Auf diesen Beitrag antworten »
Komplexe Lösungen der Gleichung: Hallo, $\begin{eqnarray} \text{Bestimmen Sie alle komplexen Lösungen der Gleichung:} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \left( \frac{z}{2} +1 \right)^4 = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \text{In der Form: } a+bi \text{ mit } a,b \in \mathbb{R} \end{eqnarray}$ Mir kam da jetzt nur in den Sinn einen Rechenexzess über die n-te Einheitswurzel zu starten. - Aber das ist eine Klausuraufgabe, die wirklich nicht so viel Zeit in Anspruch nehmen dürfte. - Es muss da einen einfachereren Zugang geben... Beste Grüße - nitric
20.08.2007, 12:22	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Komplexe Lösungen der Gleichung: Als Rechenexess wurde ich das nicht bezeichnen. Fang doch einfach mal an.
20.08.2007, 13:17	nitric	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Lösung nach Derive: $\begin{eqnarray} z = - \sqrt{3} -2 -i \quad \wedge \quad z = \sqrt{3} -2 +i \quad \wedge \quad z = -3 + \sqrt{3}i \quad \wedge \quad z = -1 - \sqrt{3}i \end{eqnarray}$ Man sollte sich wirklich nicht von Formeln mit unzähligen Winkeln und Trignometrischen-Tabellen abschrecken lassen, denn so wie ich das hier querrechne scheint man genau darauf zu kommen, wenn man die n-te Einheitswurzel nutzt. - Die zu nutzenden/berechnenden Winkel lösen sich alle in Wohlgefallen auf / stehen in der Sinustabelle. Ich werde später die explizite Lösung für die Nachwelt(liest das überhaupt jemand?) posten. Also, vielen Dank schonmal!
20.08.2007, 13:19	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, es löst sich hier in Wohlgefallen auf, weil die Winkel so schön sind. Eine Darstellung der "Handrechnung" wäre sehr lobenswert
20.08.2007, 16:18	nitric	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \text{Der rechte Ausdruck in Exponential-Schreibweise: } - \frac{1}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2} = e^{i \frac{2\pi}{3}} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \text{Somit ist }\left\|{a}\right\| = 1 \text{ Und der Phasenwinkel } \varphi = \frac{2\pi}{3} \end{eqnarray}$ http://s3.bilder-hosting.de/img/XFRZ6.gif $\begin{eqnarray} \text{Betrachten wir erstmal das Argument der Winkelfunktionen nennen wir es: } A = {\frac{\varphi+2\pi k}{n}} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} k=0: \quad A = \frac{\pi}{6} \quad \cos{A} = \frac{\sqrt{3}}{2} \quad \sin{A} = \frac{1}{2} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} k=1: \quad A = \frac{2\pi}{3} \quad \cos{A} = - \frac{1}{2} \quad \sin{A} = \frac{\sqrt{3}}{2} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} k=2: \quad A = \frac{7\pi}{6} \quad \cos{A} = -\frac{\sqrt{3}}{2} \quad \sin{A} = -\frac{1}{2} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} k=3: \quad A = \frac{5\pi}{3} \quad \cos{A} = \frac{1}{2} \quad \sin{A} = -\frac{\sqrt{3}}{2} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \text{Das ist dieses typische n-Eck, dass die Einheitswurzel immer abwirft...} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \left( \frac{z}{2} +1 \right)^4 = \frac{\left( z+2 \right)^4}{2^4} \quad \text{Und damit ergibt sich: } {\left( z+2 \right)^4} = {2^4} \cdot \left( - \frac{1}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2} \right) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \text{Jetzt können wir die n-te Einheitswurzel anwenden: } \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \text{Und jetzt nochmal die Lösung in richtiger Reihenfolge (0,1,2... ):} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} z = \sqrt{3} -2 +i \quad \wedge \quad z = -3 + i\sqrt{3} \quad \wedge \quad -\sqrt{3} -2 -i \quad \wedge \quad z = -1 - i\sqrt{3} \end{eqnarray}$
20.08.2007, 16:23	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank
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20.08.2007, 17:23	nitric	Auf diesen Beitrag antworten »
Na ja, eigentlich hab ich ja zu danken...

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