2xx'-x²+1 Welcher Gleichungstyp?

20.08.2007, 17:30

daZigeiner

Auf diesen Beitrag antworten »

2xx'-x²+1 Welcher Gleichungstyp?

Hilfe, folgende DGL bringt mich zur Verzweiflung!! Man soll alle konstanten Lösungen bestimmen:

2xx' = x²-1

Sieht so harmlos aus und kann sie trotzdem nicht knacken...
Da ich einfach keinen Lösungsansatz finde ):

Es gibt Ansätze für y=f(y') aber keine Ansätze für y'=f(y)

Habe auch versucht eine Stammfunktion zu finden, nach dem Ansatz:

A(x,t)+B(x,t)x'=0

Dumm ist nur dass die partiellen Ableitungen dA/dx und dB/dt nicht übereinstimmen - D.h. es gibt keine Stammfunktion ):

Laplace-Trafo geht nicht, da keine AWs gegeben ):

Über das characteristische Polynom komm ich zu einem Problem, zu dem ich in der Literatur nichts finde:

Umgeformt: x' - x/2 + 1/2x = 0
Laut Definition müsste sein: x'' = (Lamda)², x' = Lamda, ax = a;

Hier ist schon das Problem: wie gehe ich mit a/x um?!?

Wäre sehr dankbar, wenn mich jemand auf den richtigen Weg bringen könnte (8

20.08.2007, 17:36

vektorraum

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: 2xx'-x²+1 Welcher Gleichungstyp?
Hi!

Die DGL lautet

$\begin{eqnarray*} 2xx'=x^2-1 \end{eqnarray*}$

Was machen wir einfach? Schreib es mal so:

$\begin{eqnarray*} 2x\cdot \cfrac{dx}{dt}=x^2-1 \end{eqnarray*}$

Umschreiben:

$\begin{eqnarray*} \cfrac{dx}{dt}=\cfrac{x^2-1}{2x} \end{eqnarray*}$

Der Rest sollte dir einfach fallen!

20.08.2007, 18:58

sqrt(2)

Auf diesen Beitrag antworten »

Und warum? Ohne die Substitution $\begin{eqnarray*} y := x^2 \end{eqnarray*}$ sollte da gar nichts einfach fallen. Mit deiner Umformung fällt es dann nur noch schwerer.

20.08.2007, 19:01

vektorraum

Auf diesen Beitrag antworten »

Warum - dein Tipp vereinfacht das Ganze vielleicht - jedoch ist das Integral, dass man bei meinem Weg erhält auch mit Leichtigkeit zu lösen, oder worauf spielst du an??? Ich finde, man kommt auch ohne Substitution aus - vlt Geschmackssache.

20.08.2007, 19:21

sqrt(2)

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von vektorraum
Warum - dein Tipp vereinfacht das Ganze vielleicht - jedoch ist das Integral, dass man bei meinem Weg erhält auch mit Leichtigkeit zu lösen,

Stimmt, nämlich gar nicht. Du kennst x nicht.

20.08.2007, 19:31

daZigeiner

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, soweit war ich auch schon - aber:

$\begin{eqnarray*} -2\int_{}^{}~\frac{x}{(1-x^{2})}~dx = t \end{eqnarray*}$

ist laut meiner Formelsammlung:

$\begin{eqnarray*} -ln (1-x^{2})+C =t \end{eqnarray*}$

Nur wo sind da die konstanten Lösungen?!?

Denn $\begin{eqnarray*} x^{2}-1= e^{t-C} \end{eqnarray*}$

und damit $\begin{eqnarray*} x=\pm\sqrt{e^{t-C} +1} \end{eqnarray*}$

sind immer noch nicht konstant.
Ohne AW kannich doch nichts konkretes sagen außer,

dass $\begin{eqnarray*} c\leq t \end{eqnarray*}$ sein muß...

Oder ist das schon die Lösung?!?
Die Aufgabe ist einfach unpräzise formuliert ):

Anzeige

20.08.2007, 19:52

sqrt(2)

Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn du wirklich nur die konstanten Lösungen willst, ist es doch einfach, es gibt nur zwei. Für eine konstante Funktion ist die linke Seite 0, weil x' = 0.

20.08.2007, 19:54

WebFritzi

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von sqrt(2)

Zitat:

Original von vektorraum
Warum - dein Tipp vereinfacht das Ganze vielleicht - jedoch ist das Integral, dass man bei meinem Weg erhält auch mit Leichtigkeit zu lösen,

Stimmt, nämlich gar nicht. Du kennst x nicht.

Ich glaube, da hat sich einer geirrt. Stichwort: Trennung der Variablen.

Aber sqrt(2)s Variante ist um einiges besser.

20.08.2007, 19:56

daZigeiner

Auf diesen Beitrag antworten »

Sorry hab noch schnell was reingeschoben...
Guckt doch kurz auf meinen letzten Beitrag.

20.08.2007, 20:02

WebFritzi

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von daZigeiner
Die Aufgabe ist einfach unpräzise formuliert ):

Nö.

20.08.2007, 20:09

sqrt(2)

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von WebFritzi
Ich glaube, da hat sich einer geirrt. Stichwort: Trennung der Variablen.

Gut, das habe ich missverstanden. Ich dachte, vektorraum wollte nach t integrieren.

Zitat:

Original von WebFritzi
Sorry hab noch schnell was reingeschoben...
Guckt doch kurz auf meinen letzten Beitrag.

Und du auf meine Antwort darauf.

Dein bzw. vektorraums Lösungsweg führt nicht zum Erfolg, weil ihr durch die Umformungen die beiden möglichen konstanten Lösungen schon ausschließt. Stichwort Division durch 0.

20.08.2007, 20:10

daZigeiner

Auf diesen Beitrag antworten »

...Nö

Hab ich mir schon gedacht - weil für jedes t ja ein neuer Definitionsraum entstehen würde...

Nun weißt du weiter oder weißt Du nur, daß eine Lösung anders aussehen muß?

20.08.2007, 20:12

sqrt(2)

Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn du nicht lesen willst, ist es deine eigene Schuld...

20.08.2007, 20:14

daZigeiner

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich bin nicht als Mathe-Gott vom Himmel gefallen - muß es nur als Werkzeug benutzen...

Du sagst Subst. x²=y

Dann müßte ja 2x=y' sein?

20.08.2007, 20:19

vektorraum

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von sqrt(2)

Zitat:

Original von WebFritzi
Ich glaube, da hat sich einer geirrt. Stichwort: Trennung der Variablen.

Gut, das habe ich missverstanden. Ich dachte, vektorraum wollte nach t integrieren.

Dein bzw. vektorraums Lösungsweg führt nicht zum Erfolg, weil ihr durch die Umformungen die beiden möglichen konstanten Lösungen schon ausschließt. Stichwort Division durch 0.

Wieso sollte ich nach dem Ansatz nach $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ integrieren???

Ist vlt richtig, jedoch sind die konstanten Lösungen hier ja leicht abzulesen, so dass man die Aufgabe auch so lösen kann!

20.08.2007, 20:21

WebFritzi

Auf diesen Beitrag antworten »

Zusammenfassung:

Es gibt 2 Möglichkeiten.

1.) Trennung der Variablen
1a) Herausfiltern der konstanten Lösungen (x' = 0)
1b) wie oben weiter verfahren

2.) Substitution y = x^2 --> y' = y - 1.

20.08.2007, 20:22

sqrt(2)

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von vektorraum
Wieso sollte ich nach dem Ansatz nach $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ integrieren???

Solltest du eben nicht. Ich dachte, du wolltest darauf hinaus. Nicht richtig hingesehen.

Zitat:

Original von vektorraum
Du sagst Subst. x²=y

Dann müßte ja 2x=y' sein?

Nein, dann ist y'=2xx', Kettenregel. Ist aber auch zu umständlich, weil du anscheinend wirklich nur die konstanten Lösungen willst. Wie ich oben schon geschrieben habe ist dann x' = 0, also $\begin{eqnarray*} x=\pm 1 \end{eqnarray*}$ . Wenn du dann durch $\begin{eqnarray*} x^2-1=(x-1)(x+1) \end{eqnarray*}$ dividierst, sollte es dich nicht wundern, wenn du diese beiden Lösungen am Ende nicht bekommst.

20.08.2007, 20:25

vektorraum

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von sqrt(2)

Zitat:

Original von vektorraum
Du sagst Subst. x²=y

Dann müßte ja 2x=y' sein?

Zitatfehler: das habe ich nie gesagt!

20.08.2007, 20:28

sqrt(2)

Auf diesen Beitrag antworten »

Ach, wrgl. Sorry.

20.08.2007, 20:29

daZigeiner

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich weiß net...

Ich sag ja ich hab nicht so den mathematischen Blick...

Das einzig konstante, was ich an der Grundgleichung schon ablesen konnte:

nach Umformung:

$\begin{eqnarray*} x(2x'-x)=-1 \end{eqnarray*}$

dass für

$\begin{eqnarray*} x=1 \end{eqnarray*}$ und damit $\begin{eqnarray*} x'=0 \end{eqnarray*}$

20.08.2007, 20:33

sqrt(2)

Auf diesen Beitrag antworten »

Also einmal systematisch: Die Ausgangsgleichung ist

$\begin{eqnarray*} 2xx' = x^2 - 1 \end{eqnarray*}$ .

Nach Voraussetzung ist x konstant, also $\begin{eqnarray*} x'=0 \end{eqnarray*}$ . Damit ist

$\begin{eqnarray*} 0 = x^2 - 1 \end{eqnarray*}$ .

Als konstante Funktion kannst du x wie eine Zahl behandeln und erhältst

$\begin{eqnarray*} x = \pm 1 \end{eqnarray*}$ .

Fertig.

20.08.2007, 20:37

daZigeiner

Auf diesen Beitrag antworten »

Ok - Danke!

Hab mal wieder den Wald vor lauter Bäumen nicht gesehen...

Du hast recht ich muß x' = 0 vorraussetzen und dann schauen - nicht umgekehrt;

nochmals Danke (8

20.08.2007, 20:42

sqrt(2)

Auf diesen Beitrag antworten »

Umgekehrt geht es auch. Dann solltest du dir aber auch im Klaren darüber sein, welche möglichen Lösungen du bei deinem Lösungsweg ausschließt, und die dann auch noch einmal überprüfen.

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »