Konvergenzbeweis

20.08.2007, 19:49

Laxx

Konvergenzbeweis

Ich soll beweisen, dass die Folge $\begin{eqnarray*} (x_n) \end{eqnarray*}$ definiert durch
$\begin{eqnarray*} x_n=\sum_{k=1}^n~{\frac{1}{k^2}} \end{eqnarray*}$ konvergiert.

Hinweis: Man betrachte die Partialbruchzerlegung von $\begin{eqnarray*} \frac{1}{k(k-1)} \end{eqnarray*}$ .
Die Partialbruchzerlegung ist $\begin{eqnarray*} -\frac{1}{k}+\frac{1}{k-1} \end{eqnarray*}$ .
So jetzt steh ich auf dem Schlauch und weiß nicht mehr weiter.
Kann mir wer einen Tipp geben.

20.08.2007, 19:53

kiste

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Heben sich in der Partialsumme vllt. irgendwelche Summanden heraus?
Kannst du dann damit deine Folge abschätzen?

20.08.2007, 19:57

therisen

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Hallo,

definiere eine zweite Folge $\begin{eqnarray*} y_n=\sum_{k=1}^n \frac1{k(k-1)} \end{eqnarray*}$ . Überzeuge dich davon, dass gilt $\begin{eqnarray*} x_n\leq y_n \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ . Verwende die o.g. Partialbruchzerlegung, um für $\begin{eqnarray*} y_n \end{eqnarray*}$ einen "einfacheren" Ausdruck zu finden und schicke $\begin{eqnarray*} n\to\infty \end{eqnarray*}$ . Das zeigt $\begin{eqnarray*} \lim y_n<\infty \end{eqnarray*}$ .

Gruß, therisen

20.08.2007, 20:28

Laxx

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... das k=1 geht doch dsa ne 1/0 ergibt.
Hier muss ich also irgendwie mit Majorantenkriterium argumentieren ?

20.08.2007, 20:34

Dual Space

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Beginne die Sumaation halt bei 2 oder 42. Ist egal wo man beginnt, wenn es nicht um den Reihenwert, sondern "nur" um Konvergenz geht.

20.08.2007, 21:15

Laxx

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$\begin{eqnarray*} x_n \end{eqnarray*}$ > $\begin{eqnarray*} y_n \end{eqnarray*}$ :/
da komm ich doch nicht weiter

20.08.2007, 21:44

therisen

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Ersetze bei der Definition von $\begin{eqnarray*} x_n \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y_n \end{eqnarray*}$ einfach $\begin{eqnarray*} k=1 \end{eqnarray*}$ durch $\begin{eqnarray*} k=2 \end{eqnarray*}$ . Sonst stimmt meine Aussage schon Augenzwinkern

20.08.2007, 22:28

Laxx

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kk
$\begin{eqnarray*} x_n= lim (x->\infty) \sum_{k=2}^\infty~{\frac{1}{k(k-1)}}=\sum_{k=2}^\infty~{-\frac{1}{k}}+\sum_{k=2}^\infty~{\frac{1}{k-1}} \end{eqnarray*}$
und jetzt muss ich beweißen das beide "teilsummen" konvegent sind -.- aber die sind doch divergent ? bzw -unendlich und +unendlich
*verwirrt*

20.08.2007, 22:30

therisen

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Zitat:

Original von Laxx
$\begin{eqnarray*} \sum_{k=2}^\infty~{\frac{1}{k(k-1)}}=\sum_{k=2}^\infty~{-\frac{1}{k}}+\sum_{k=2}^\infty~{\frac{1}{k-1}} \end{eqnarray*}$

Diese Umformung ist grob falsch. Du sollst doch eine einfache Formel für $\begin{eqnarray*} y_n \end{eqnarray*}$ aufstellen (da kommt noch kein Limes vor).

20.08.2007, 22:51

Laxx

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$\begin{eqnarray*} \lim \limits_{x \to \infty} \sum_{k=2}^\infty~{\frac{1}{k(k-1)}}= ... = 1 \end{eqnarray*}$
Dann weiß aber immer noch nicht wie ich die Lücke "=...=1" fülle :/

20.08.2007, 22:54

Laxx

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oder besser gesagt den Grenzwert brauch ich nicht ... muss halt Nachweisen das die $\begin{eqnarray*} y_n \end{eqnarray*}$ konvergent ist

20.08.2007, 22:58

therisen

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$\begin{eqnarray*} y_n = 1-\frac12+\frac12-\frac13+\frac13-\frac14\pm\dots+\frac1{n-1}-\frac1n \end{eqnarray*}$

Da hebt sich einiges weg Augenzwinkern

20.08.2007, 23:15

laxx

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hm kk also bleibt am ende nur die 1 übrig ...
kann ich dann bei der majorität so argumentieren

- lim sum(yn)< lim sum (xn) <lim sum (yn) <=>
lim sum (xn) < |lim sum (yn)|

21.08.2007, 07:30

Dual Space

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Zitat:

Original von laxx
hm kk also bleibt am ende nur die 1 übrig ...

Nicht nur die 1.

21.08.2007, 10:19

WebFritzi

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Zitat:

Original von Laxx
$\begin{eqnarray*} \lim \limits_{x \to \infty} \sum_{k=2}^\infty~{\frac{1}{k(k-1)}}= ... = 1 \end{eqnarray*}$

Autsch!