komplexe Ableitungen

21.08.2007, 18:46

_zahlenfreak007_

komplexe Ableitungen

Hallo!

wir machen zur Zeit Verkettung von Funktionen und speziell die Kettenregel.. also Ableitung einer komplexen Funktion.

Als Beispiel:

$\begin{eqnarray*} f(x) = (\frac{1}{3} x + 2)^{2} \end{eqnarray*}$

die funktin wird aufgeteilt in 2 funktionen...

$\begin{eqnarray*} v(x) = (\frac{1}{3} x + 2) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} u(x) = x^{2} \end{eqnarray*}$

davon die ableitungen:

$\begin{eqnarray*} v'(x) = \frac{1}{3} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} u'(x) = 2 x \end{eqnarray*}$
dann werden die ableitungen multipliziet...

allerdings habe ich ein problem bei folgenden aufgaben:

1.) $\begin{eqnarray*} f(x) = \frac{1}{18} (3x + 2)^{6} \end{eqnarray*}$

2.) $\begin{eqnarray*} f(x) = (8x - 7)^{-1} \end{eqnarray*}$

wie muss ich die 1/18 und bei 2 die hoch minus 1 behandeln??
könnte mir wohl jemand die 2 ableitungen vorrechnen? smile

21.08.2007, 18:49

tmo

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die 1/18 beachtest du gar nicht, da sie ein konstanter faktor ist. die lässt du einfach da stehen.

und zu 2: $\begin{eqnarray*} (x^{-1})' = -x^{-2} \end{eqnarray*}$ nach der potenzregel

21.08.2007, 20:59

bounce

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Hey

zu 1) $\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{1}{18}\cdot(3x+2)^6 \end{eqnarray*}$

Merke: Äußere mal innere Ableitung!

$\begin{eqnarray*} f'(x)=6\cdot \frac{1}{18}\cdot(3x+2)^5\cdot 3 \end{eqnarray*}$

Das musst du jetzt nur noch ein wenig vereinfachen.

21.08.2007, 23:09

_zahlenfreak007_

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hey danke!! smile

wo kommt den bei der ersten ableitung die "mal 3" am Ende her?
das andere hab ich soweit verstanden... =)

und zu 2. ....

$\begin{eqnarray*} -x^{-2} \end{eqnarray*}$

aber wie bekomme ich die hoch minus 2 denn da weg?? das ist mir noch unklar... unglücklich

21.08.2007, 23:13

kiste

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das mal 3 kommt von der inneren Ableitung. 3x+2 abgeleitet ist eben 3.

und warum willst das doch hoch -2 den wegbekommen? kann doch stehen bleiben

21.08.2007, 23:23

_zahlenfreak007_

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$\begin{eqnarray*} f(x) = (8x - 7)^{-1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(x) = - (8x - 7)^{-2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} v(x) = 8x - 7 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} u(x) = x^{-2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} v'(x) = 8 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} u'(x) = ?? \end{eqnarray*}$

ich muss die funktion ja aufteilen und davon jeweils die ableitung oder??
allerdings weiß ich nicht wie die ableitung von v'(x) aussieht und ob das überhaupt richtig ist?

21.08.2007, 23:26

kiste

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Zitat:

Original von _zahlenfreak007_
$\begin{eqnarray*} f(x) = (8x - 7)^{-1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(x) = - (8x - 7)^{-2} \end{eqnarray*}$

Nein das kann nicht sein.
$\begin{eqnarray*} (8x - 7)^{-1} \neq - (8x - 7)^{-2} \end{eqnarray*}$

Betrachte nur $\begin{eqnarray*} f(x) = (8x - 7)^{-1} \end{eqnarray*}$
Dann ist $\begin{eqnarray*} v(x) = 8x-7 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} u(x) = x^{-1} \end{eqnarray*}$ .
Die Ableitung von v(x) hast du bereits richtig bestimmt. Die Ableitung von u(x) hat die tmo bereits geschrieben.

Was ist also die Ableitung von f?

21.08.2007, 23:34

_zahlenfreak007_

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$\begin{eqnarray*} f'(x) = 8 * -(8x-7)^{-2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'(x) = -8(8x - 7)^{-2} \end{eqnarray*}$

stimmt das und kann man das noch weiter vereinfachen??

21.08.2007, 23:38

kiste

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stimmt und vollkommen in Ordnung das so zu schreiben.
eine andere Schreibweise wäre noch $\begin{eqnarray*} -\frac{8}{(8x-7)^2} \end{eqnarray*}$

21.08.2007, 23:53

_zahlenfreak007_

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und wie sähe das bei den aufgaben aus?

$\begin{eqnarray*} f(x) = (15x -3)x^{-2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(x) = (\frac{1}{2} x - 5x^{3} )^{-3} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} u(x) = x^{-2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} u(x) = x^{-3} \end{eqnarray*}$

wie sieht denn da die ableitung der beiden äußeren funktionen aus??
bei x hoch minus 2 und x hoch minus 3 ??

und gibt es da evtl eine regel oder hilfe wie man von solchen funktionen die ableitung bestimmt??

21.08.2007, 23:58

kiste

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Bei der ersten Funktion brauchst du die Produktregel. Kennst du die?

Es gilt: $\begin{eqnarray*} (x^n)' = n\cdot x^{n-1} \end{eqnarray*}$ . Damit solltest du die Ableitung leicht bestimmen können. Beachte dass das n natürlich auch negativ sein kann

22.08.2007, 00:04

_zahlenfreak007_

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$\begin{eqnarray*} u(x) = x^{-2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} u'(x) = -2x^{-3} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} u(x) = x^{-3} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} u'(x) = -3x^{-4} \end{eqnarray*}$

achso.. also wäre das dann so?? smile

22.08.2007, 00:07

kiste

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genau so

10.09.2007, 22:00

vektorraum

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RE: 1.ableitung mithilfe der kettenregel
Piu, hier geht es weiter für dich.

Schau dir mal bitte die Regeln an und dann gehen wir es gemeinsam durch. Versuche es bitte! Spalte erstmal ein wenig auf - nimm dir zwei Produkte und dann wenden wir die Produktregel an.

Kann das jemand bitte rüberkopieren???

Hilfe: Jetzt hat Piu zwei Thread mit der gleichen Frage und ich habe schon geantwortet.

Kann die Posts jemand zusammenfügen:

Ableitung mittels Kettenregel + Ableitung [abgespalten ...]

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