Fixvektor

21.08.2007, 18:52

fixxi

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Fixvektor

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0,5 & 0,5 & 0 & 0 \\ 0,5 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0,5 & 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Wie kriege ich zu obiger Matrix einen Fixvektor?
Ich bekomme, die Gleichtungen:

0a + 0b + 0c + 0d = a <=> a = 0
0,5a + 0,5b + 0c + 0d = b <=> b = 0
0,5a + c = c <=> a = 0
0,5b + d = d <=> b = 0
a + b + c + d = 1 <=> c + d = 1

So. a und b sind also 0. Aber was sind c und d? Ich habe nur die Gleichung c + d = 1, aber das hilft mir nichts, ich brauche ja mindestens zwei Gleichungen, um c und d herauszufinden!?

21.08.2007, 18:56

Bjoern1982

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Zitat:

0,5a + c = c <=> a = 0
0,5b + d = d <=> b = 0

Schau dir diese beiden Zeilen nochmal genau an.
Du musst doch a=b=0 einsetzen und dann etwas für c bzw d rauskriegen und nicht umgekehrt.

Edit:

Und durch a+b+c+d=1 <=> c+d=1 kannst du z.B. c durch d ausdrücken, wodurch du einen Fixvektor bilden kannst.

Gruß Björn

21.08.2007, 18:57

fixxi

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Zitat:

Original von Bjoern1982

Zitat:

0,5a + c = c <=> a = 0
0,5b + d = d <=> b = 0

Schau dir diese beiden Zeilen nochmal genau an.
Du musst doch a=b=0 einsetzen und dann etwas für c bzw d rauskriegen und nicht umgekehrt.

Gruß Björn

Dann bekomme ich c = c und d = d. Damit kann ich aber nicht wirklich was anfangen

21.08.2007, 18:59

Bjoern1982

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Hab oben noch was editiert, kommst du damit klar ?

21.08.2007, 19:04

fixxi

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Dann bekomme ich doch auch nur c = 1 - d und d = 1 - c. Und davon hab ich dann auch wieder nichts, weil das dasselbe ist wie c + d = 1 unglücklich

unglücklich

21.08.2007, 19:16

Bjoern1982

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Was hälst du hiervon:

a=0+0c
b=0+0c
c=0+1c
d=1-1c

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21.08.2007, 19:22

fixxi

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Zitat:

Original von Bjoern1982
Was hälst du hiervon:

a=0+0c
b=0+0c
c=0+1c
d=1-1c

Sorry, aber wie soll mir das helfen? unglücklich

unglücklich

Das bringt mich nur auf meine schon gehabten Ergebnisse. Und das 0+.. bringt doch auch nix in den ersten 3 Gleichungen.

Also ich kann dir echt nich folgen. Mag sein, dass ich nen Brett vorm Kopp hab, aber irgendwie kapier ich das jez nich sooo

21.08.2007, 19:33

Bjoern1982

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Weisst du denn was ein Fixvektor ist ?

Wenn ja, dann stelle dir einfach vor dass für jede reelle Zahl, die du für c einsetzt ein solcher Vektor entsteht.

21.08.2007, 22:47

fixxi

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RE: Fixvektor
Also für mich ist ein Fixvektor ein Vektor, der mit einer Übergangsmatrix multipliziert wieder den Vektor selbst ergibt. Quasi so:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0,5 & 0,5 & 0 & 0 \\ 0,5 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0,5 & 0 & 1 \end{pmatrix}*\begin{pmatrix} a \\ b \\ c \\ d \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} a \\ b \\ c \\ d \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Da es hier um stochastische Matrizen und Vektoren geht, müssen die Vektorelemente addiert 1 ergeben. Daraus bekommt man die 5 Gleichungen, die ich oben schon hatte. Allerdings bekomme ich keine Konkreten Werte für c und d. Durch ausprobieren weiß ich, dass c und d jeweils 0,5 sein müssen, ich weiß aber nicht, wie ich das durch Auflösen von Gleichungen schaffe!

21.08.2007, 23:02

therisen

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RE: Fixvektor
Bestimme einfach eine Basis (oder ein Element) von $\begin{eqnarray*} \mathrm{ker}(A-E_4) \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} A:=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0,5 & 0,5 & 0 & 0 \\ 0,5 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0,5 & 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ . Das ist ein klassisches Eigenwertproblem und völlig mechanisch lösbar.

Gruß, therisen

22.08.2007, 00:33

WebFritzi

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Zitat:

Original von Bjoern1982
Was hälst du hiervon:

a=0+0c
b=0+0c
c=0+1c
d=1-1c

Das ist didaktisch nicht besonders sinnvoll, Björn.

@fixxi: Was Björn meint, ist, dass alle Vektoren der Form

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}0\\0\\0\\1\end{pmatrix} + t\begin{pmatrix}0\\0\\1\\-1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\0\\t\\1-t\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Fixvektoren sind. Der affine Vektorraum der Fixvektoren ist 1-dimensional.

P.S.: Wie kommst du eigentlich auf die Gleichung a+b+c+d = 1? War das vorgegeben?

22.08.2007, 16:06

fixxi

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Zitat:

P.S.: Wie kommst du eigentlich auf die Gleichung a+b+c+d = 1? War das vorgegeben?

Wir behandeln gerade Übergangsmatrizen und bei denen sind die Fixvektoren stochastisch, daher ergibt die Summe der einzelnen Vektorelemente 1.

22.08.2007, 16:21

WebFritzi

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Also kommen für t auch nur Werte aus [0,1] in Frage.

22.08.2007, 19:11

Dual Space

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Steh ich irgendwie auf der Leitung? verwirrt

verwirrt

Was hat denn das hier mit Stochastik zu tun?

22.08.2007, 19:31

WebFritzi

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Wer lesen kann, ist klar im Vorteil... Augenzwinkern

Augenzwinkern

(Ich hasse diesen Satz)

Zitat:

Original von fixxi

Zitat:

P.S.: Wie kommst du eigentlich auf die Gleichung a+b+c+d = 1? War das vorgegeben?

Wir behandeln gerade Übergangsmatrizen und bei denen sind die Fixvektoren stochastisch, daher ergibt die Summe der einzelnen Vektorelemente 1.

22.08.2007, 19:46

Dual Space

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Schon klar, dass die Herkunft des Problems stochastisch motiviert ist. Dennoch hab ich den Eindruck, dass die Wurzel des Übels eher deterministisch und algebraischer Natur ist. Augenzwinkern

Augenzwinkern

*verschoben*

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