Stammfunktion beim allgemeinen Integral, Konvergenzbedingung Summe |
| 22.08.2007, 00:52 | Soliton | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Stammfunktion beim allgemeinen Integral, Konvergenzbedingung Summe einen (i. ü.ordnungsgemäß definierten) Ausdruck wie diesen kann man ja noch sinnvoll auffassen als . Kann man denn dann noch etwas allgemeines über die Ableitung dieses Ausdrucks (als Funktion von reellem x) nach x sagen, k meinetwegen quadratintegrabel über [0;1] x [0; 1]? Ich fürchte ja: nein, aber ich hätte doch gerne eine Bestätigung. - Wenn in einem Banachraum B gilt , wo die a_k beliebige Elemente aus dem Skalarkörper, etwa C, und die f_k eine Schauderbasis sind, kann man dann eigentlich irgendetwas über die vorne abgeschnittenen Partialsummen , sagen? Oder kann es tatsächlich sein, daß - obwohl die Reihe konvergiert -, der Summenrest, egal wie hoch mein Startindex n ist, z. B. immer > M bleibt? Ändert sich viel, wenn die o. g. Summe gerade die Basisdarstellung eines Vektors aus B ist? Das Problem tritt übrigens auf, wenn ich beweisen will, daß alle Banachräume mit Schauderbasis die Approximationseigenschaft haben, sich also alle kompakten Operatoren als Grenzwert endlichdimensionaler darstellen lassen. Mein Ansatz ist bislang die übliche Approximation mit Projektionen P_n auf die von {f_1, ..., f_n} aufgespannten Unterräume. Bei dem Versuch, die glm. Konverenz gegen den kompakten Operator zu zeigen, bleibt dann, den o. g. Rest abzuschätzen. Ich mache eine Widerspruchsannahme, nutze aus, daß die glm. Konvergenz nur auf der Einheitskugel gefragt ist, gewinne daraus eine schwach konvergente Vektorfolge, die ich dann mit dem kompakten Operator bearbeite, um ... naja, jedenfalls frage ich mich da - so oder so -, wie es sich also mit o. g. Reihenkonvergenz verhält. *Grübel.* |
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| 22.08.2007, 01:46 | WebFritzi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Wenn du mehrere Fragen hast, dann mach doch bitte auch mehrere Threads auf. Ich antworte dir nur auf die erste. Wenn z.B. für fast alle y die Funktion k(.,y) absolutstetig ist, dann ist deine Funktion ableitbar - und zwar so: |
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| 22.08.2007, 16:59 | Soliton | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ok, danke für den organisatorischen Hinweis. Was das Integral abgeht, komme ich inspiriert durch Deine Angaben mit einem "Differentiations-Lemma" aus der Maßtheorie leider nur auf l (der ' meint die partielle Diff. nach x), mir fehlt also der Term k(x, x). Nach welchem Satz ergibt sich Dein Ergebnis (Stichwort?)? Nachtrag: Ich habe eine sog. "verallgemeinerte Leibnizregel" hier gefunden. Das scheint es zu sein. Ist aber schon ein nicht ganz alltäglicher Satz, oder? Bei Bauer (Maßtheorie) habe ich ihn nicht entdecken können. Sind Dir bessere Quellen, ggf. mit Herleitung, bekannt? |
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| 22.08.2007, 17:14 | Airblader | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Nebenbei für die Part. Ableitung 2 Möglichkeiten: |
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| 22.08.2007, 18:34 | WebFritzi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Nach meinem. 
Ich hab's mir einfach überlegt. Das ist auch wirklich nicht so schwer. Schreib dir den Differenzenquotienten auf, und benutze die Sätze von Lebesgue (den über die majorisierte Konvergenz und den über die Ableitung absolutstetiger Funktionen (bzw. Verallg. Hauptsatz über die Differential- und Integralrechnung)). |
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| 22.08.2007, 23:31 | Soliton | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Danke. Klingt chique (chic?). Sollte ich hinbekommen. - Ich habe nicht gedacht, daß es leicht ist. Gerade bei Integralen gebe ich anscheinend zu schnell auf. Wie überhaupt bei den Aufgaben, die ich selbst lösen muß (will). Probleme anderer Leute sind immer viel interessanter. 
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