Quotientenabbildung

22.08.2007, 10:47

Ambrosius

Quotientenabbildung

Ist E ein TVR und N ein abgeschlossener Unterraum und F ein endlichdimensionaler Unterraum so ist N+F abgeschlossen.

Beweis:

Betrachte die Quotientenabbildung $\begin{eqnarray*} \Pi :E \to E/N \end{eqnarray*}$ . Dann ist $\begin{eqnarray*} \Pi (F) \end{eqnarray*}$ ein endlichdimensionaler und somit abgeschlossener UR von E/N.
Nun ist $\begin{eqnarray*} \Pi \end{eqnarray*}$ stetig [früher bewiesen] und damit ist
$\begin{eqnarray*} N+F = \Pi^{-1} (\Pi (F)) \end{eqnarray*}$ abgeschlossen.

Der letzte SChritt ist mir nicht klar? wieso gilt dort die Gleichheit?

22.08.2007, 11:31

WebFritzi

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$\begin{eqnarray*} \Pi(F) \end{eqnarray*}$ ist als endlichdimensionaler Unterraum abgeschlossen, und Urbilder von Pi abgeschlossener/offener Mengen sind wieder abg./offen.

22.08.2007, 12:38

Ambrosius

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das ist mir klar. meine frage bezieht sich darauf, warum die beiden mengen gleich sind?

$\begin{eqnarray*} \Pi(F) = \{ f+N \mid f \in F , n \in N \} \end{eqnarray*}$
und damit wäre dann
$\begin{eqnarray*} \Pi^{-1}(\Pi(F)) = F \end{eqnarray*}$ oder nicht?

22.08.2007, 15:07

therisen

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Hallo,

von der Thematik an sich habe ich zwar kaum Ahnung, aber allzu schwer ist das glaube ich nicht.

$\begin{eqnarray*} n\in N,f\in F~\Rightarrow~ \pi(n+f)=\pi(n)+\pi(f)=\pi(f)\in\pi(F) \end{eqnarray*}$

Gruß, therisen

22.08.2007, 16:06

WebFritzi

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Zitat:

Original von Ambrosius
das ist mir klar. meine frage bezieht sich darauf, warum die beiden mengen gleich sind?

Dann frag das doch gleich. Augenzwinkern

$\begin{eqnarray*} \Pi^{-1}(\Pi(F)) &=& \{x : \Pi x\in\Pi(F)\} = \{x | \exists f\in F : \Pi x = \Pi f\}\\ &=& \{x | \exists f\in F : x - f\in ker(\Pi)\} = \{x | \exists f\in F : x - f\in N\}\\ &=& \{x : x\in N + F\} = N + F. \end{eqnarray*}$

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