Funktionenraum abgeschlossen

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Ambrosius Auf diesen Beitrag antworten »
Funktionenraum abgeschlossen
Ich habe mit X einen lokal kompakten Raum. Dann ist mit die Menge aller stetigen Funktionen bezeichnet, die außerhalb einer kompakten Menge verschwinden.

Ich soll zeigen, das dieser Raum bezüglich der sup-Norm ein banachraum ist.

da C_0 ein Unterraum des Raumes der stetigen Funktionen ist, reicht es zu zeigen, das er abgeschlossen ist.

Ich nehme mir also eine konvergente Funktionenfolge aus diesem Raum und muss zeigen, das der grenzwert in C_0 liegt.

Mein erster gedanke war das ich als Kompaktum des Grenzwertes den Schnitt aller Kompakten Mengen der Folge nehme. Geht das so?

Wenn ja, warum kann der SChnitt nicht leer sein?
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn du das Buch "Funktionalanalysis" vom Werner hast, dann schau mal in das Kapitel über die C_0-Halbgruppen. Da behandelt der auf einer der ersten Seiten die Translationshalbgruppe. Ich glaube, da wird der Erzeuger dieser berechnet. In diesem Abschnitt beweist er genau deine Behauptung. Leider weiß ich nicht mehr auf Anhieb, wie das ging. Forum Kloppe
Soliton Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Funktionenraum abgeschlossen
Zitat:
Original von Ambrosius
Mein erster gedanke war das ich als Kompaktum des Grenzwertes den Schnitt aller Kompakten Mengen der Folge nehme. Geht das so?

Wenn ja, warum kann der Schnitt nicht leer sein?


Kann er, deswegen kann das so nicht funktionieren, m. E. Es ist bei jeder Folge ja hinsichtlich der Konvergenz und des Grenzwerts reichlich egal, wie die ersten Folgenglieder aussehen. Der Träger des ersten Glieds könnte also wo ganz anders liegen als alle anderen, d. h. schon der Schnitt der ersten beiden Träger könnte leer sein. Meiner Vermutung nach kannst Du auch nicht ausschließen, daß es beliebig viele Folgeglieder gibt, deren Träger mit den Trägern aller nachfolgenden Folgeglieder leeren Schnitt hat; denn dies stört die Konvergenz so langen nicht, wie diese störenden Folgeglieder nur eng genug und zunehmend nach oben beschränkt sind. Wie wäre es andersrum: Die Vereinigung der Träger (ab einem gewissen n) betrachten und zeigen, daß sie schließlich doch kompakt bleibt (was ja i.a. nicht zu erwarten ist)?
Soliton Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Funktionenraum abgeschlossen
...ist aber wohl auch nur ein Teil der Wahrheit. Nochmal darüber nachgedacht habend: Daß der Schnitt auch dann leer sein kann, wenn man (nur) endlich viele Träger nicht mit in den Schnitt nimmt, ist zwar nicht zu vermeiden, aber andererseits auch kein Problem, denn in diesem Fall ist - und das ist leicht zu zeige - die Grenzfunktion gerade die 0. Deren Träger ist natürlich leer.

Wie sieht es also mit folgendem als Träger der Grenzfunktion aus:

?

Dabei soll für alle n K_n der Träger des n-ten Folgeglieds sein.

Der so definierte Träger vermeidet das von mir ganz oben angesprochene Problem endlich vieler "störender" Folgeglieder. Wenn diese Menge leer ist, läßt sich zeigen, daß die Grenzfunktion 0 sein muß. Diesen Spezialfall muß man aber nicht gesondert behandeln, denn es läßt sich außerdem (leicht) zeigen, daß die Grenzfunktion auf dem Komplement von K verschwindet. Man muß jetzt also "nur" noch zeigen, daß K kompakt ist. - Ich weiß nicht, ob das stimmt. Könnte mir vorstellen, daß man jetzt doch noch die Lokalkompaktheit von X ausnutzen darf.
Soliton_mobile Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Funktionenraum abgeschlossen
Zitat:
Original von SolitonMan muß jetzt also "nur" noch zeigen, daß K kompakt ist. - Ich weiß nicht, ob das stimmt. Könnte mir vorstellen, daß man jetzt doch noch die Lokalkompaktheit von X ausnutzen darf.


Ne, ist doch ganz einfach. Man muß nämlich nur zeigen, daß K ... ist, dann ist K schon kompakt.
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