Teilbarkeitsregeln bei anderer Grundzahl

22.08.2007, 15:18

Tintenfisch

Teilbarkeitsregeln bei anderer Grundzahl

Bei der Vorbereitung auf das Matheexamen ist mir folgende Aufgabe aufgefallen, bei der ich nicht weiterkomme:
Ist 4711 im 16er System (Hexadezimalsystem) eine Primzahl? Argumentieren sie nur im 16er system.
Im Dezimalsystem würde ich nun schauen, ob ich die Teilbarkeitsregeln anwenden könnte. Da ich aber keine Teilbarkeitsegel für das 16er System habe, muss ich diese dann doch herleiten, oder?
Dabei habe ich das Problem, dass ich für die Endstellenregeln zum Beispiel die Primzahlen des Systems wissen müsste. Diese sind mir ja aber unbekannt.
Mache ich hier einen Denkfehler?

22.08.2007, 15:30

therisen

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$\begin{eqnarray*} (4711)_{16}\equiv 1+2\cdot 1+2^2\cdot 7+2^3\cdot 4 = 7\cdot 9 \equiv 0 \pmod 7 \end{eqnarray*}$

Eigentlich war klar, dass die Zahl zusammengesetzt ist, da man schlecht erwarten kann, dass du alle Primzahlen bis 86 durchgehst Augenzwinkern

22.08.2007, 15:35

Tintenfisch

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Ehrlich gesagt verstehe ich das nicht so ganz. Wie kommst Du auf die Formel? Du hast ja irgendwie immer 2er Potenzen genommen. Wieso? Kommt das daher, da 16=2hoch 4 ist? Doch wieso kann ich davon ausgehen, dass 2 AUCH IM 2ER System eine Primzahl ist. Muss ich das beweisen? Ich bin ein wenig verloren,...
Ich sehe, dass Du die Ziffern von hinten nach vorne mit 2er Potenzen malgenommen hast. Das hätte ich im 2er System auch verstanden, aber wieso im 16er?

22.08.2007, 15:37

therisen

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Das liegt daran, dass die Basis $\begin{eqnarray*} 16\equiv2\pmod7 \end{eqnarray*}$ ist. Daher ist $\begin{eqnarray*} (4711)_{16} \end{eqnarray*}$ durch $\begin{eqnarray*} (7)_{16}=(7)_{10} \end{eqnarray*}$ teilbar. Dass $\begin{eqnarray*} 7 \end{eqnarray*}$ auch eine Primzahl ist, ist unerheblich.

22.08.2007, 15:50

Tintenfisch

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Danke Dir! Ich werde mir jetzt mal anschauen, was Mod heißt und dann werde ich das nochmal nachrechnen mit anderen Zahlen. Melde mich evtl. später nocheinmal.

22.08.2007, 16:32

zweiundvierzig

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Die Modulo-Funktion $\begin{eqnarray*} \operatorname{mod} \end{eqnarray*}$ liefert den Rest bei der Ganzzahldivision. Für $\begin{eqnarray*} a,b,m \in \mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} a \equiv b \pmod m \end{eqnarray*}$ genau dann, wenn $\begin{eqnarray*} m | (a-b) \end{eqnarray*}$ (also $\begin{eqnarray*} m \end{eqnarray*}$ die Differenz $\begin{eqnarray*} a-b \end{eqnarray*}$ teilt). Die dadurch definierte Äquivalenzrelation nennt man Kongruenz.

22.08.2007, 21:44

Tintenfisch

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Danke, das hatte ich mir jetzt auch nachgeschlagen. Was ich nur nicht verstehe, 2 teilt 16 doch ganzzahlig. wieso ist das dann mod 7? Es tut mir ooo leid, doch irgendwie stehe ich auf dem Schlauch mit dieser Aufgabe.

22.08.2007, 22:20

therisen

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Zitat:

Original von Tintenfisch
Was ich nur nicht verstehe, 2 teilt 16 doch ganzzahlig. wieso ist das dann mod 7? Es tut mir ooo leid, doch irgendwie stehe ich auf dem Schlauch mit dieser Aufgabe.

Du liest das falsch: Es ist $\begin{eqnarray*} 16-2=14=2\cdot7 \end{eqnarray*}$ , also durch 7 teilbar, das heißt aber nichts anderes als $\begin{eqnarray*} 16-2\equiv0\pmod7 \end{eqnarray*}$ und das ist äquivalent zu $\begin{eqnarray*} 16\equiv2\pmod7 \end{eqnarray*}$ . Den Modul kann man sich aussuchen Augenzwinkern

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