Klassifikation von PDEs 2. Ordnung |
| 23.08.2007, 09:11 | karldergrosse | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Klassifikation von PDEs 2. Ordnung je nach den (immer rellen) Eigenwerten der Koeffizientenmatrix A elliptisch, hyperbolisch oder parabolisch genannt wird. Gibt es einen geometrischen Zugang, mit dem man sich diese Bezeichnungen erklären kann? |
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| 23.08.2007, 10:34 | kiste | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
ich würde es jetzt mit Quadriken erklären. |
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| 23.08.2007, 11:10 | karldergrosse | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Könntest du das noch etwas näher erläutern? Ich weiß bereits, dass man A eine Quadrik zuordnen kann und diese per Hauptachsentransformation immer Diagonalisieren kann, sodass eine rein quadratische Form mit den Eigenwerten da steht und man dann die Klassifikation der PDE äquivalent über die Definitheitseigenschaften der quadratischen Form ausdrücken kann. Dennoch fehlt mir der Zugang den Zusammenhang zwischen der Geometrie und den Lösungen der Gleichung zu erkennen, sofern es diesen gibt. |
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| 23.08.2007, 11:38 | WebFritzi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Wie denn? Mich interessiert das auch. (Ich denke, dass du mit A die PDGL meinst?) Natürlich interessiert mich auch deine Frage. kiste? |
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| 23.08.2007, 11:48 | karldergrosse | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
ist die Matrix der Koeffizienten des Hauptteils der PDE. |
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| 23.08.2007, 11:49 | WebFritzi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Also ist die Matrix A von x abhängig, ja? Oder sollen die Koeffizienten konstant sein? |
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| 23.08.2007, 12:18 | karldergrosse | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Im allgemeinen ist sie von x abhängig, sodass der Typ der PDE das auch ist. Mit den Argumenten x_i der quadratischen Form sind aber nicht diese gemeint. Es währe also korrekter, sie so zu schreiben: |
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| 23.08.2007, 12:23 | WebFritzi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Das ist aber keine Quadrik. Es ist nur ein Ausdruck, der für jedes x eine quadratische Form (oder eben eine Quadrik) ist. |
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| 23.08.2007, 17:03 | karldergrosse | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Genau, es ist eben eine Eigenschaft die von der Stelle abhängt. Man kann das ja auch erstmal für konstante Koeffizienten diskutieren. Wenn ich da den Zusammenhang verstehen könnte, würde mir das auch schon reichen. Bis jetzt frage ich mich nur, ob die geometrischen Bezeichnung auch was mit der Lösung zu tun haben, um mal auf die ursprüngliche Frage zurückzukommen. |
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