Wann konvergiert ein Taylor-Polynom?

23.08.2007, 10:01

nitric

Wann konvergiert ein Taylor-Polynom?

Hallo zusammen,

http://media.pixpond.com/3y47fh.gif

Bei a) muss ich doch nur die Potenzreihenentwicklung aus der Tabelle schreiben. Aber mit was bilde ich das Restglied?

Wichtig auch Aufgabe b): Wann konvergiert eine Taylor-Reihe??? Muss ich da jetzt einfach das Quotienten-/Wurzel-Kriterium anwenden und mit was?

Ich hab irgendwie den Zusammenhang zwischen Taylorpolynom / Potenzreihe nicht richtig verstanden. - Das Taylorpolynom ist ja eine Sonderform der Potenzreihe. Folgendes sollte auch gelten: "Bei gleichem Entwicklungspunkt x0 stimmen Potenzreihenentwicklung und Taylorreihenentwicklung einer Funktion f überein."

Laut Potenzreihentabelle ist sinh(x):

$\begin{eqnarray*} \sinh(x) = \sum_{n=0}^{\infty}{\frac{1}{(2n+1)!}x^{2n}} \quad \text{für } x \in \mathbb{R} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \text{Quotienten-Kriterium:} \; r=\lim_{n \rightarrow \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = \lim_{n \rightarrow \infty}{\frac { \left( 2\,n+1 \right) !}{ \left( 2\,n+3 \right) !}}=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{r} = \infty \; \rightarrow \; \text{Konvergenzradius: } \varrho = \infty \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \; \text{Die Taylorreihe konvergiert auf ganz } \mathbb{R} \text{ somit auch an } x_0 \text{.} \end{eqnarray*}$

Ich bin mir da jetzt aber überhaupt nicht sicher...

lg - nitrc

23.08.2007, 10:16

Airblader

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Zu a):

http://de.wikipedia.org/wiki/Taylor-Formel#Restgliedformeln

Zur Konvergenz ein Zitat von wikipedia (Taylorreihe)
"Die Taylorreihe konvergiert genau für diejenigen x aus I gegen f(x), für die das Restglied R_k(x) = f(x) − T_k(x) gegen 0 konvergiert."

air

23.08.2007, 10:31

kiste

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Es reicht nicht einfach eine Formel aus der Tabelle abzuschreiben böse

.
Diese hat den Entwicklungspunkt x0=0, bei dir in der Aufgabe ist aber x0=1 gefordert.

Das bestimmen des Konvergenzradius war richtig, wenn auch bei der falschen Reihe Augenzwinkern

23.08.2007, 10:41

Airblader

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Zitat:

Original von kiste
Diese hat den Entwicklungspunkt x0=0, bei dir in der Aufgabe ist aber x0=1 gefordert.

air

23.08.2007, 11:04

karldergrosse

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Hier stellt sich die zusätzliche Frage, ob man überhaupt aus der Entwicklung der ungeraden Grade etwas über Konvergenz von Taylorpolynom oder Restglied schlussfolgern kann.

Das Vorgehen laut Aufgabe währe ja nur eine Untersuchung von einer Teilfolge.

Ist die Aufgabe jetzt unkorrekt gestellt, oder habe ich einen Denkfehler?

23.08.2007, 11:10

kiste

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Zumindest ein interessanter Gedankengang. Das ungerade n hab ich gar nicht beachtet.
Könnte mir aber gerade nicht vorstellen wie das etwas beeinflussen kann, immerhin sind auch Summanden gerade Potenzen zuvor vorhanden, mhh verwirrt

Ich rechne das nachher mal nach, muss jetzt zur Krankengym. unglücklich

23.08.2007, 11:18

nitric

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Gut... Fangen wir langsam an:

Die Ableitung für alle n+1:

$\begin{eqnarray*} f^{(n+1)} = \frac {\ln^{n+1}{e}\cdot \left( e^x + (-1)^{n+2} e^{-x}\right)}{2} \end{eqnarray*}$

Formel-Lagrange-Darstellung:

$\begin{eqnarray*} R_n(x,x_0) = \frac{f^{(n+1)}(x_0+\vartheta(x-x_0))}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1} \quad \text{für: } 0 < \vartheta < 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} R_n(x,1) = \frac{\frac {\ln^{n+1}{e}\cdot \left( e^(1+\vartheta(x-1)) + (-1)^{n+2} e^{-(1+\vartheta(x-1))}\right)}{2}}{(n+1)!}(x-1)^{n+1} \end{eqnarray*}$

Gna... Die Aufgabe ist ihre Punkte nicht wert... Woanders kriegt man einen Sack voll punkte für zwei Sätze...

Soweit OK?

23.08.2007, 11:28

tigerbine

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$\begin{eqnarray*} \sinh(x) := \frac{1}{2} \left( e^x - e^{-x} \right) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \cosh(x) := \frac{1}{2} \left( e^x + e^{-x} \right) \end{eqnarray*}$

http://de.wikipedia.org/wiki/Sinus_Hyperbolicus#Ableitung

$\begin{eqnarray*} (\sinh(x))'= \frac{1}{2} \left( e^x -(-1) \cdot e^{-x} \right) =\frac{1}{2} \left( e^x + e^{-x} \right) \end{eqnarray*}$

Was hast Du abgeleitet?

23.08.2007, 11:43

WebFritzi

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Zitat:

Original von nitric
Die Ableitung für alle n+1:

$\begin{eqnarray*} f^{(n+1)} = \frac {\ln^{n+1}{e}\cdot \left( e^x + (-1)^{n+2} e^{-x}\right)}{2} \end{eqnarray*}$

Das ist richtig - vorausgesetzt du meinst $\begin{eqnarray*} \ln^{n+1}e = (\ln(e))^{n+1} \end{eqnarray*}$ . Aber:

Erstens: Warum nimmst du n+1 und nicht n?

Zweitens: Was ist $\begin{eqnarray*} \ln(e) \end{eqnarray*}$ ?

23.08.2007, 12:37

nitric

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Oh, ja stimmt... Hammer

$\begin{eqnarray*} \ln(e) = 1 \quad {} \end{eqnarray*}$

*Gna* Wenn ich so weiter mache, komme ich noch ins Guinness-Buch... Big Laugh

Das vereinfacht das Lagrange-Restglied ein Stück:

$\begin{eqnarray*} R_n(x,1) = \frac { e^{(1+\vartheta(x-1))} + (-1)^{n+2} e^{-(1+\vartheta(x-1))}}{2(n+1)!}(x-1)^{n+1} \end{eqnarray*}$

Danke... Jetzt bastel' ich den Taylor...

23.08.2007, 12:57

nitric

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Zitat:

Original von kiste
Es reicht nicht einfach eine Formel aus der Tabelle abzuschreiben böse

.
Diese hat den Entwicklungspunkt x0=0, bei dir in der Aufgabe ist aber x0=1 gefordert.

Das bestimmen des Konvergenzradius war richtig, wenn auch bei der falschen Reihe Augenzwinkern

Also gut, jetzt hab ich das auch mit den Potenzreihenentwicklungen richtig einordnen können, x_0 ist da 0 so ergibt alles einen Sinn, danke... Völliger Holzweg: also andersherum:

Der Taylor für x0=1 und alle n:

Nochmal die allgemeine Ableitung:

$\begin{eqnarray*} f^{(n)} = \frac {e^x + (-1)^{n+1} e^{-x}}{2} \end{eqnarray*}$

Ab damit in die Taylor-Formel:

$\begin{eqnarray*} T_n(x,1) = \sum_{k=0}^{n}{\frac{e + (-1)^{k+1} \cdot \frac{1}{e}}{2k!}\cdot(x-1)^k} \end{eqnarray*}$

23.08.2007, 13:52

nitric

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Und wenn man dann nun hergeht und das QK anwendet?

Wir haben:

$\begin{eqnarray*} \frac{a_{k+1}}{a_k}=\frac{e+(-1)^{k+2}\cdot e^{-1}}{2(k+1)!} \cdot \frac{2k!}{e+(-1)^{k+1}\cdot e^{-1}} = \frac{e+(-1)^{k+2}\cdot e^{-1}}{(k+1)\cdot(e+(-1)^{k+1}\cdot e^{-1})} \end{eqnarray*}$

Davon den Limes:

$\begin{eqnarray*} \lim_{k \rightarrow \infty} \frac{e+(-1)^{k+2}\cdot e^{-1}}{(k+1)\cdot(e+(-1)^{k+1}\cdot e^{-1})} = 0 \end{eqnarray*}$

Denn die Ausdrücke:

$\begin{eqnarray*} e+(-1)^{k+2}\cdot e^{-1} \text{,} \quad e+(-1)^{k+1}\cdot e^{-1} \end{eqnarray*}$

alternieren nur ein bischen um e.

Also konvergiert der Taylor, für alle x in R

25.08.2007, 00:09

nitric

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Sorry, dass ich nochmal nachbohre, aber: Stimmt das jetzt so wirklich? -

25.08.2007, 01:06

therisen

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Hallo,

das stimmt so nicht ganz. Es muss gelten

$\begin{eqnarray*} a_k := {\frac{e + (-1)^{k+1} \cdot \frac{1}{e}}{2k!}\cdot(x-1)^k} \end{eqnarray*}$

und somit

$\begin{eqnarray*} \frac{a_{k+1}}{a_k}= \frac{e+(-1)^{k+2}\cdot e^{-1}}{(k+1)\cdot(e+(-1)^{k+1}\cdot e^{-1})}\cdot (x-1) \end{eqnarray*}$

Gruß, therisen

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