Ungleichungen

23.08.2007, 17:03

Blacks

Ungleichungen

Hallo, ich habe fogendes Problem und wahrscheinlich einfach nur einen Denkfehler:

die Ungleichung:

(x+3)/(-2x+5) > 3
<=> x+3 < -6x+15
<=> 7x < 12
<=> x < 12/7

Setzt man nun aber einen Wert <12/7 ein, z.B. 1, dann geht die Ausgangsgleichung nicht mehr auf. Daraus habe ich geschlossen dass dioe Umkehrung der Ungleichheitszeichens nach dem ersten Schritt falsch ist. Jedoch dachte ich bisher, dass man das Zeichen umkehren muss, wenn man mit einer negativen Zahl multipliziert.
Deshalb bitte ich euch um Hilfe.
Danke schonmal im Vorraus!

23.08.2007, 17:06

Airblader

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Bist du dir denn sicher, dass du mit einer negativen Zahl multiplizierst?

$\begin{eqnarray*} -2x + 5 \text{ für } x = 1 \text{ ergibt } -2\cdot 1 + 5 = -2 + 5 = 3 > 0 \end{eqnarray*}$

smile

Du musst eine Fallunterscheidung machen Augenzwinkern

air

23.08.2007, 17:23

Blacks

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super, dass du so schnell geantwortet hast...dafür schonmal danke!

ok, ich habs verstanden, du hast Recht, aber was ist in diesem Fall:

(-x-3)/(-2x+5) > 3, für x < -3

-2x+5 ist für alle x<-3 positiv.
Ich forme dann wieder um:

(-x-3)/(-2x+5) > 3
<=> -x-3 > -6x+15
<=> 5x > 18
<=> x > 18/5 = 3.6

hier wäre allerdings als Ergenis x<3.6 richtig.
Was hab ich hier falsch gemacht?

23.08.2007, 17:37

ich bin smile

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Zitat:

-2x+5 ist für alle x<-3 positiv.

Du hast da wohl was übersehen.

$\begin{eqnarray*} -2x+5 \geq 0 \Leftrightarrow x \leq -2.5 \end{eqnarray*}$

Außerdem:

Zitat:

(-x-3)/(-2x+5) > 3

Was ist denn hier? Am Anfang wars doch (x+3)/(-2x+5) > 3 .

23.08.2007, 18:11

Blacks

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nene...ich hab da nichts übersehen...

die Aufgabe lautet alle x herauszufinden für die

(-x-3)/(-2x+5) > 3 gilt, wobei x<-3 sein soll.
Ganz unabhängig von der Aufgabe am Anfang.

23.08.2007, 18:56

Blacks

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Hmmm...
ich versuche nochmal mein Problem ausführlicher zu beschreiben...also:

Die vollständige Aufgabe lautet:

Bestimmen Sie alle x \in \mathbb R mit \mid (x+ 3)/(2x-5) \mid > 3.

Ich habe nun also eine Fallunterscheidung vorgenommen.
Die Fälle x=-3, x=0 und x=2,5 sind klar.
Bleiben noch die Intervalle:
1) x<-3
2) -3<x<0
3) 0<x<2,5
4) x>2,5

Mein erstes Problem in diesem Thema bezog sich auf Fall 2 und 3, da hat mir Airblader ja schon geholfen.
Fall 4 ist schnell erledigt.
Aber Fall 1 bereitet mir noch Probleme. Wenn ich wie folgt vorgehe:

(-x-3)/(-2x+5) > 3
<=> -x-3 > -6x+15
<=> 5x > 18
<=> x > 18/5 = 3.6

kommt als lösung x>3,6 heraus, was allerdings falsch ist. Richtig wäre x<3,6.
Meine Frage ist nun, was ich falsch gemacht habe.
Danke schonmal!

23.08.2007, 18:58

Dual Space

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*verschoben*

23.08.2007, 19:01

Blacks

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sry, aber die Aufgabenstellung ist nichts geworden, hier nochmal richtig:

Bestimmen Sie alle x $\begin{eqnarray*} \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \mid (x+3)/(2x-5) \mid \end{eqnarray*}$ > 3.

23.08.2007, 22:46

mYthos

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$\begin{eqnarray*} x \leq -3 \end{eqnarray*}$ kommt ja in zwei der möglichen vier Fälle vor, einmal ist dabei ("und" - verknüpft) $\begin{eqnarray*} x > 3,6 \end{eqnarray*}$ , dann ist in diesem Fall die Teillösungsmenge leer (weil dies ein Widerspruch ist!) und beim zweiten ist mit $\begin{eqnarray*} x \leq -3 \end{eqnarray*}$ gleichzeitig $\begin{eqnarray*} x > 2,5 \end{eqnarray*}$ , was ebenfalls zu einem Widerspruch und zu der zweiten leeren Teillösungsmenge führt. Daher müssen noch die beiden anderen Fälle untersucht werden, was insgesamt dann $\begin{eqnarray*} L_{(ges)} \end{eqnarray*}$ bringt.

Kontr.:

$\begin{eqnarray*} L = \{ x \mid \frac{12}{7} < x < 3,6 \} \end{eqnarray*}$

_______________

Hinweis: Um das Ganze etwas methodischer abzuhandeln, nimm folgende 4 Fallunterscheidungen vor:

1.
$\begin{eqnarray*} x + 3 \geq 0 \ \text{und} \ 2x - 5 > 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \ldots \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} D_1: \ x > \frac{5}{2}\ \text{Def. Menge 1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \ldots \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x + 3 > 6x - 15 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \ldots \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} L_1 = \{ x \mid 2,5 < x < 3,6 \} \end{eqnarray*}$

-----------------

2.
$\begin{eqnarray*} x + 3 \leq 0 \ \text{und} \ 2x - 5 > 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} D_2: \text{Widerspruch} \ \to \ D_2 = \{ \} \ \text{Def. Menge 2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \ \to \ L_2 = \{ \} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \ldots \end{eqnarray*}$

desgleichen noch

-----------------

3.

$\begin{eqnarray*} x + 3 \geq 0 \ \text{und} \ 2x - 5 < 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \ldots \end{eqnarray*}$

da kommt dann was mit 12/7 Big Laugh

-----------------

4.

$\begin{eqnarray*} x + 3 \leq 0 \ \text{und} \ 2x - 5 < 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \ldots \end{eqnarray*}$

da wird's auch wieder "leer" Big Laugh

mY+

24.08.2007, 09:48

Blacks

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Super,
jetzt hab ichs verstanden.
Ich hab also keinen Rechenfehler gemacht, sondern einen Verständnisfehler.
Vielen Dank!

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