E[x] = 0 -> P(x=0) = 1 ?

24.08.2007, 15:01

MathyX

E[x] = 0 -> P(x=0) = 1 ?

Hallo,

Wenn X eine reellwertige, diskrete Zufallsgröße ist und es gilt:

$\begin{eqnarray*} X \geq 0 \end{eqnarray*}$ und E[X] = 0 warum folgt daraus, dass P(X=c)=1 ist?

Mit der Chebeyscheffungleichung kann man ja zeigen, dass aus Var(X) = 0, folgt dass ein c existiert mit P(X=c) = 1, das ist klar. Aber wie kann man ersteres zeigen?

MfG

24.08.2007, 15:07

Dual Space

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RE: E[x] = 0 -> P(x=0) = 1 ?

Zitat:

Original von MathyX
$\begin{eqnarray*} X \geq 0 \end{eqnarray*}$ und E[X] = 0 warum folgt daraus, dass P(X=c)=1 ist?

Dabei gilt sogar noch $\begin{eqnarray*} c=0 \end{eqnarray*}$ . Augenzwinkern

Schreib mal hin, was eigentlich E(X)=0 bedeutet. Nutze also die Definition des Erwartungswertes.

24.08.2007, 15:19

WebFritzi

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RE: E[x] = 0 -> P(x=0) = 1 ?

Zitat:

Original von Dual Space

Zitat:

Original von MathyX
$\begin{eqnarray*} X \geq 0 \end{eqnarray*}$ und E[X] = 0 warum folgt daraus, dass P(X=c)=1 ist?

Dabei gilt sogar noch $\begin{eqnarray*} c=0 \end{eqnarray*}$ . Augenzwinkern

Dazu sollte man vielleicht noch sagen: Die Aussage ist im allgemeinen falsch. Sie ist nur für c = 0 wahr.

24.08.2007, 15:22

MathyX

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$\begin{eqnarray*} 0= E[X] = \sum_{k=0}^{\infty} k P(X=k) \end{eqnarray*}$ ... ?

Mit dieser Def bin ich noch nicht weitergekommen...

ja danke für die Korrektur, P(X=0) = 1 sollte es heißen.

24.08.2007, 15:25

Dual Space

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Zitat:

Original von MathyX
$\begin{eqnarray*} 0= E[X] = \sum_{k=0}^{\infty} k P(X=k) \end{eqnarray*}$

Naja ... denk doch den Gedanken mal zu ende.

Eine Wahrscheinlichkeit ist immer nichtnegativ, wie auch die k. Also wann genau ist die Summe dann Null?

Oder indirekt: Angenommen es gäbe ein $\begin{eqnarray*} k\not=0 \end{eqnarray*}$ , so dass $\begin{eqnarray*} P(X=k)>0 \end{eqnarray*}$ , dann ....

24.08.2007, 15:28

WebFritzi

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Zitat:

Original von MathyX
$\begin{eqnarray*} 0= E[X] = \sum_{k=0}^{\infty} k P(X=k) \end{eqnarray*}$ ... ?

Das ist nicht die Definition des Erwartungswertes von reellen Zufallsvariablen. Ich kenne diese hier:

$\begin{eqnarray*} E(X) := \int_\Omega X(\omega)\,dP(\omega). \end{eqnarray*}$

24.08.2007, 15:29

tigerbine

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@ WebFritzi:

Ich bin kein Stochastik Experte. Aber ging es nicht um eine diskrete Menge?

24.08.2007, 15:33

MathyX

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ja es geht um diskrete ZVen, das steht in der Aufgabenstellung

24.08.2007, 16:51

Dual Space

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Ersetzen wir in der Reihe $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ durch $\begin{eqnarray*} x_k\in\mathbb{R}_+ \end{eqnarray*}$ (außer beim Index natürlich), so sollte alles wieder im Lot sein. Augenzwinkern

Also MathyX: Angenommen es gäbe ein $\begin{eqnarray*} x_k>0 \end{eqnarray*}$ , so dass $\begin{eqnarray*} P(X=x_k)>0 \end{eqnarray*}$ , dann ....

24.08.2007, 23:01

MathyX

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ahh, dann ist das ein Widerspruch:

$\begin{eqnarray*} 0 = E(X) \geq x_k P(X=x_k) > 0 \end{eqnarray*}$ ....

25.08.2007, 00:25

Dual Space

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Genau ... versuch den Beweis mal vollständug zu formulieren.

26.08.2007, 17:37

WebFritzi

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Zitat:

Original von tigerbine
@ WebFritzi:

Ich bin kein Stochastik Experte. Aber ging es nicht um eine diskrete Menge?

Das ist egal, denn die Definition über das Integral entspricht der üblichen Definition des Erwartungswertes für diskrete ZV'en. Dann ist P halt ein Punktmaß.

Aber noch ein "Sorry", denn ich hatte "reelle ZV" mit "nicht diskrete ZV" verwechselt. Hammer

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E[x] = 0 -> P(x=0) = 1 ?

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