Natürliches harmonisches Mittel

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KnightMove Auf diesen Beitrag antworten »
Natürliches harmonisches Mittel
Gibt es ein bekanntes Verfahren, n-Tupel von natürlichen Zahlen zu finden, deren harmonisches Mittel wieder eine natürliche Zahl ist?

(Konkret suche ich einen 5-Tupel von verschiedenen Zahlen, am besten alle in der Größenordnung von 50).
Abakus Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Natürliches harmonisches Mittel
Der erste Schritt wäre, dass du dir die Formel hinschreibst. Vielleicht ist dann was zu sehen.

Grüße Abakus smile
 
 
Tomtomtomtom Auf diesen Beitrag antworten »

Sehen tu ich nix, aber die gute alte Brute-Force-Methode, die man ja immer erstmal ausprobieren kann, liefert mit dem folgenden MAPLE-Code:

code:
1:
2:
3:
4:
5:
6:
7:
8:
9:
10:
for a from 40 to 60 do  
  for b from a+1 to 60 do
    for c from b+1 to 60 do
      for d from c+1 to 60 do
        for e from d+1 to 60 do
          if type(5/(1/a+1/b+1/c+1/d+1/e),integer) 
              then print(a,b,c,d,e)
fi;od;od;od;od;od;


eine Lösung: 40,42,48,56,60

Das harmonische Mittel ist 48.

Für paarweise verschiedene Zahlen zwischen 40 und 60 ist das die einzige Lösung, Lösungen mit 2 oder mehr gleichen Zahlen gibts wie Sand am Meer.

Sollen das zufällig ein Beispiel mit Durchschnittsgechwindigkeiten werden? Ich frag nur wegen der auffälligen 50. Big Laugh

Jedenfalls liefern solche Experimente oftmals auch erste Ideen, wie man im allgemeinen Fall weiterkommt, und konstruktiv Lösungen findet. Fünf Unbekannten sehen erstmal ziemlich hoffnungslos aus, aber hier könnte einem zum Beispiel auffallen, daß in der Lösung sowohl das harmonische Mittel selber vorkommt, als auch das harmonische Mittel von 42 und 56 sowie 40 und 60 ebenfalls wieder 48 ergibt. Nun könnte man sich zum Beispiel fragen, unter welchen Bedingungen das harmonische Mittel von x-a und x+b gleich x ist und dabei x, a und b natürliche Zahlen sind usw.
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Dazu mal ein kleines "Sätzchen", welches ich gerade herausgefunden habe:

Mit bezeichne ich das harmonische Mittel von Es gilt dann für Zahlen :



Beweis:



Und das war's auch schon. Augenzwinkern
Tomtomtomtom Auf diesen Beitrag antworten »

Ganz großes Damentennis Freude

Das ist dann der Spezialfall davon, daß für Serien






gilt:

WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Zum Herrentennis hat's wohl nicht gereicht, was? Big Laugh
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Tomtomtomtom
Das ist dann der Spezialfall davon, daß für Serien






gilt:



Könntest du das erläutern?
Tomtomtomtom Auf diesen Beitrag antworten »

Naja, wenn du halt mehrere unterschiedlich lange Folgen von Zahlen gegeben hast, und das harmonische Mittel aller Zahlen wissen möchtest, kannst du auch die Mittel der Einzelfolgen berechnen und dann geeignet zusammensetzen. Nichts anderes machst du mit drei Folgen, zwei davon haben Länge 2 und eine Länge 1.

Man kann sich das alles übrigens immer sehr gut mit Widerständen in Stromkreisen vorstellen.
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Für den späteren Leser: Tomtomtomtom...tom hatte zuerst mit "Nö" auf meine letzte Frage/Aufforderung geantwortet und dies nach diesem Post hier editiert.

Dann sag ich einfach mal, dass das nicht zu meinem "Sätzchen" passt. unglücklich

EDIT: Außerdem ist absolut nicht klar, was mit dem Nenner auf der linken Seite gemeint ist.
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Bitte editiere nicht andauernd deine Beiträge. Man versteht dann nicht mehr, auf was ich mich eigentlich bezogen hatte.

Erkläre bitte den Nenner auf der linken Seite deiner Gleichung. Danke.
Tomtomtomtom Auf diesen Beitrag antworten »

Was kann ich dafür, daß du mitten in der Nacht binnen 30 Sekunden antwortest? So ein Beitrag muß reifen Big Laugh
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Damit musst du schon rechnen, wenn du einfach so "Nö" schreibst. Ich finde das nicht besonders gut. Augenzwinkern

EDIT: Du hast noch immer nicht den Nenner erklärt...

EDIT2: OK, ich hab jetzt kapiert, wie du das meinst. Aber es ist total missverständlich. Bitte editiere das. Danke.
Tomtomtomtom Auf diesen Beitrag antworten »

Also nochmal langsam:
Du hast m Zahlenfolgen der Längen n_1, n_2,...,n_m. Die Glieder seien doppelt indiziert, der erste Index steht für die "Serie", der zweite für die Nummer des Folgengliedes innerhalb der Serie.

Auf der linken Seite unterm Bruchstrich ist das harmonische Mittel aller Zahlen aller Folgen gemeint. Auf der rechten Seite stehen die harmonischen Mittel der Einzelfolgen. Und dazu kommen halt gewisse Vorfaktoren, die sich genau aus den Folgenlängen ergeben.
Tomtomtomtom Auf diesen Beitrag antworten »

Korrigierte Fassung, damits leichter lesbar ist:

Gegeben seien m Zahlenfolgen der Längen n_1,...,n_m:






Für diese gilt:

WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Tomtomtomtom
Also nochmal langsam:
Du hast m Zahlenfolgen der Längen n_1, n_2,...,n_m. Die Glieder seien doppelt indiziert, der erste Index steht für die "Serie", der zweite für die Nummer des Folgengliedes innerhalb der Serie.


Ich bin nicht blöd!


Zitat:
Original von Tomtomtomtom
Auf der linken Seite unterm Bruchstrich ist das harmonische Mittel aller Zahlen aller Folgen gemeint.


Und genau das ist nach deiner Schreibweise nicht klar. Du hättest schon schreiben müssen:




EDIT: OK, siehe oben. Ich habe den Eindruck, du solltest manchmal etwas länger denken als gleich zu schreiben. Augenzwinkern
Tomtomtomtom Auf diesen Beitrag antworten »

Udn ich bin nicht nüchtern. Sorry Big Laugh
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Naja, gut. Prost
KnightMove Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für die Antworten!

Zitat:
Original von Tomtomtomtom
Sollen das zufällig ein Beispiel mit Durchschnittsgechwindigkeiten werden? Ich frag nur wegen der auffälligen 50. Big Laugh


Gut mitgedacht... es geht um durchschnittliche Zeiten für einen bestimmten Arbeitsvorgang.
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