Tangentialebene

25.08.2007, 20:42

-Mischka-

Tangentialebene

Es sei $\begin{eqnarray*} D={(x,y)\in {\mathbb R}^2 : y^2 \leq 2x} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f: D \to \mathbb R \end{eqnarray*}$ definiert durch:

$\begin{eqnarray*} f(x,y)=\sqrt{2x-y^2} \end{eqnarray*}$

.

Bestimmen sie die Tangentialebene von f im Punkt $\begin{eqnarray*} (2| \sqrt{3}| 1) \end{eqnarray*}$

25.08.2007, 20:50

aRo

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und was ist nun genau dein Problem dabei?

25.08.2007, 20:51

therisen

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Hallo,

dann stell doch mal die entsprechende lineare Approximation von f in besagtem Punkt auf.

Gruß, therisen

25.08.2007, 20:54

-Mischka-

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Zitat:

Original von aRo
und was ist nun genau dein Problem dabei?

das Problem ist, dass ich die Aufgabe bekommen hab, und keinen Schimmer, wie ich sie lösen soll...

25.08.2007, 20:55

-Mischka-

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Zitat:

Original von therisen
Hallo,

dann stell doch mal die entsprechende lineare Approximation von f in besagtem Punkt auf.

Gruß, therisen

dumme Frage: Wie geht das?

25.08.2007, 21:05

therisen

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Welcher Unmensch stellt dir denn Aufgaben, die dir so fremd sind? Big Laugh

$\begin{eqnarray*} \mathrm{T} f(x;a) = f(a)+ (\partial_1f(a), \partial_2f(a))\cdot (x-a) \end{eqnarray*}$ ist die lineare Approximation von f an der Stelle a.

Die entsprechende Hyperebene ist die Menge aller Punkte $\begin{eqnarray*} (x,y,z) \end{eqnarray*}$ , die $\begin{eqnarray*} z=\mathrm{T} f( (x,y)^t;a) \end{eqnarray*}$ erfüllen.

Gruß, therisen

25.08.2007, 21:50

-Mischka-

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ich weiß, komplettlsg sind hier nicht gern gesehen, aber raffen werde ich das besser, wenn ich das ein mal vorgerechnet bekomme...

*naja, denke weiter drüber nach, was ich tun solle, wenn mir jmd. mit vorrechnen helfen könnte, oder zumindest den Ansatz vorrechnen könnte, wäre ich dankbar*

25.08.2007, 22:57

therisen

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Ich gebe dir mal einen Rat: Lerne erst die Theorie und löse dann die Aufgaben.

Man erhält $\begin{eqnarray*} \mathrm{T}f(x, (2,\sqrt3)^t )=x_1-\sqrt3x_2+2 \end{eqnarray*}$ und damit

$\begin{eqnarray*} H:=\{(x_1,x_2,x_3)\in\mathbb R^3\,:\, x_1-\sqrt3x_2-x_3+2=0\} \end{eqnarray*}$ als Tangentialebene.

Gruß, therisen

26.08.2007, 12:18

riwe

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ekg 06

eine möglichkeit wäre auch:

$\begin{eqnarray*} g(x,y,z)=\sqrt{2x-y²}-z \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \vec{n}_P=grad(g(x_p,y_p,z_p)) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} T: (\vec{x}-\vec{p})\cdot\vec{n}_P=0 \end{eqnarray*}$

mit - welche überraschung:

$\begin{eqnarray*} -x+\sqrt{3}y+z=2 \end{eqnarray*}$

10.09.2007, 15:28

-Mischka-

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habs gelöst....

und zwar so:
$\begin{eqnarray*} \vec{x} = \begin{pmatrix} a \\ b \\ f(a,b) \end{pmatrix} + r\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ \frac{d}{dx}f(a,b) \end{pmatrix} + s\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ \frac{d}{dy}f(a,b) \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
Nun fleißig einsetzten:
$\begin{eqnarray*} \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ \sqrt{3} \\ \sqrt{2\cdot 2 - \sqrt{3}^2} \end{pmatrix}+ r\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ \frac{1}{\sqrt{2\cdot 2 - \sqrt{3}^2}} \end{pmatrix} + s\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2\cdot 2 - \sqrt{3}^2}} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ \sqrt{3} \\ 1 \end{pmatrix}+ r\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} + s\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -\sqrt{3} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 2 \\ \sqrt{3} \\ 1 \end{pmatrix}+ r\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} + s\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -\sqrt{3} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
Das kann ich die Koordinatengleichung umwandeln:
$\begin{eqnarray*} x_1=2+r <=> r=x_1-2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_2=\sqrt{3}+s <=> s=x_2 - \sqrt{3} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_3=1+r-\sqrt{3}s \end{eqnarray*}$
Die ersten beiden Gleichungen in die letzte einsetzten:
$\begin{eqnarray*} x_3=1+(x_1-2)-\sqrt{3}(x_2 - \sqrt{3}) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_3=1+x_1-2-\sqrt{3}x_2 + 3 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_3=2+x_1-\sqrt{3}x_2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_1-\sqrt{3}x_2-x_3=-2 \end{eqnarray*}$

€dit: Vorzeichenfehler Hammer