Extremwertproblem
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26.08.2007, 15:23 HalloIhr Auf diesen Beitrag antworten »
Extremwertproblem
so habe nochmal ne aufgabe , die davor habe ich jetzt raus ( danke an mytos und den anderen herren für die hilfe) aber nun kommt problem 2 undzwar diese aufgabe:

aus einem 36 cm draht soll ein kantenmodell eines quaders mit quadratischer grundfläche gebaut werden dessen volumen maximal ist.so und wie würdest du das rechnen?

so würde ich das angehen:

ein quader hat 12 kanten. alle kanten zusammen sind 36cm lang
8 kanten sind gleichlang, wenn die grundfläche quadratisch ist, weil die vier seiten hat und das "dach" dann ebenfalls. und die restlichen vier kanten für die höhe sind auch für sich gleichlang.
dann bezeichne ich die kantenlänge der acht gleichlangen kanten als a und die der vier gleichlangen kanten als b

8 * a + 4 * b = 36

das volumen vom quader berechnet man, indem man länge, mal breite mal höhe rechnet. länge und breite ist die unbekannte a, höhe ist meine unbekannte b.
d.h.
2a * b = volumen des quaders.

und da hörts mit meinen mathekenntnissen auf. weiter weiß ih nicht . kann mir da jemand helfen

LOL Hammer
26.08.2007, 15:41 mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Das Volumen ist nicht richtig!

V = l * b * h = a * a * b = ....

Hinweis: a * a ist NICHT 2a

mY+
26.08.2007, 15:42 HalloIhr Auf diesen Beitrag antworten »

achso ja , man bin ich dumm , dass ist ja a^2
26.08.2007, 15:44 HalloIhr Auf diesen Beitrag antworten »

also ist das volumen

a^2* b oder??

und wie komme ich auf a und b?? bracuhe nur nen kleinen denkanstoß
26.08.2007, 15:49 mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Die Funktion für das Volumen ist die Hauptbedingung! Darin musst du noch die Nebenbedingung: 8a + 4b = 36 (durch 4 kürzen!) einarbeiten, sodass V nur noch von einer Variablen abhängt .... . Funkt's jetzt?

mY+
26.08.2007, 15:57 HalloIhr Auf diesen Beitrag antworten »

ok dann mache ich das so:


8a+4b=36 alles durch 4

2a+1b=9

so und nun muss ich nur das maximum ausrechnen indem ich erstmal von 2a+1b= 9 die erste und zweite ableitung mache und dann ausrechne oder??
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26.08.2007, 16:12 mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, so nicht! Lese doch nochmals, was ich oben geschrieben habe! Also in der Nebenbedingung nach einer Variablen umstellen und das dann in die Hauptbedingung einsetzen, ableiten ...

mY+
26.08.2007, 16:18 HalloIhr Auf diesen Beitrag antworten »

ok nächster versuch also :

V= a^2*b(2a+1b-9)

ist es so richtig???



p.s.s danke für die hilfe , nehme ab nächster woche mathenachhilfe und finde es toll, dass leute hier nochmal einem helfen können Tanzen
26.08.2007, 16:23 mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Die Nachhilfe wird dir sicher nicht schaden Big Laugh , denn auch der letzte Versuch ist falsch.

Wenn 2a + b = 9, kannst du b = 9 - 2a setzen und dieses b dann in V damit ersetzen:





mY+
26.08.2007, 16:28 HalloIhr Auf diesen Beitrag antworten »

oh ja du hast recht , nachhilfe ist echt gut , wenn ich die erstmal habe!! Big Laugh

ok und nun ableiten:

V`(a)=2a*a^2

stimmts???
26.08.2007, 16:33 Rare676 Auf diesen Beitrag antworten »

nicht mal im ansatz. multiplizier mal die klammer erst aus und leite dann ab
26.08.2007, 16:38 HalloIhr Auf diesen Beitrag antworten »

V(a)= 9a^2-2a^3

V´(a)=18a-6a^2

so richtig??
26.08.2007, 16:45 mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Okay. Nun, wie weiter?

mY+
26.08.2007, 16:52 HalloIhr Auf diesen Beitrag antworten »

juhu also richtig , dass is ja mal ein erfolg ok weiter gehts ich mache schonmal noch die 2. ableitung


V´´(a)= 18-12a

so zurück zur grundfunktion an der ich sehen kann , dass sie eine funktion 2 .grades ist also weiter gehts mit pq-formel


so nun weiß ich nicht , wie ich die formel so umformen kann , dass ich die pq-formel anwenden kann
26.08.2007, 17:10 HalloIhr Auf diesen Beitrag antworten »

oh ich weiß jetzt es ist eine funktion dritten grades , da der höchste exponent den grad bestimmt . so nun muss ich polynomdivision machen.
26.08.2007, 17:20 mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Du musst die 1. Ableitung Null setzen, nicht die Funktion! Formel für die quadr. Gl. brauichst du in diesem Fall nicht, denn du kannst a ausklammern ...

mY+
26.08.2007, 17:20 HalloIhr Auf diesen Beitrag antworten »

sorry überlesen
26.08.2007, 17:23 mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Was steht oben, was du Null setzen sollst??????

mY+
26.08.2007, 17:23 HalloIhr Auf diesen Beitrag antworten »

0= a*(18-6a)
stimmt das ??? und was müsste ich danach machen??



ich schwöre euch , wenn die aufgabe vorbei ist , habe ich ne m,enge dazu gelernt , danke
26.08.2007, 17:28 mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Dass das nur kein Meineid wird! Big Laugh Big Laugh

NULL setzen! Wenn ein Produkt Null ist, was gilt dann für die Faktoren ? Kann a sinnvollerweise Null sein, also auf die praktische Aufgabe bezogen?

mY+
26.08.2007, 17:31 HalloIhr Auf diesen Beitrag antworten »

ne ich denke nicht , denn wir wollen doch ein quader haben und da kann a ja nicht 0 sein oder?
26.08.2007, 17:34 mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

ok, welcher Faktor kommt noch in Frage? Diesen auch Null setzen!
Nochmals: Was gilt, wenn ein Produkt Null ist, für die Faktoren?

mY+
26.08.2007, 17:36 HalloIhr Auf diesen Beitrag antworten »

wie meinst du das genau ?? was kann ich denn ersetzten in der formel?? die null??? kann ich da einfach was anderes für hinsetzen
26.08.2007, 17:40 HalloIhr Auf diesen Beitrag antworten »

wenn ein produkt null ist müssen alle faktoren zusammen null ergeben
26.08.2007, 17:42 mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

besser so: Mindestens ein Faktor oder mehrere können Null sein! Was folgt also daraus für eine einfache Gleichung für den 2. Faktor??

mY+
26.08.2007, 17:44 HalloIhr Auf diesen Beitrag antworten »

es kommt drauf an wenn ich multipliziere ist es egal welche zahl da steht denn alles mal 0 ergibt null. sollte dort aber eine addition stattfinden dann geht das mit der 0 nicht und wir müssen das anders machen z.b. 0+2 ist ja nicht null also besser ist 2-2 ist gleich null
26.08.2007, 17:47 mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Es steht aber eine Multiplikation da (wenn du a ausklammerst):



also vergiss das mit der Summe! Und wie jetzt?

schöner noch, beim Ausklammern auch die 6 mitnehmen!



Jetzt sieht das sogar ein Blinder mit dem Krückstock .. Big Laugh

mY+
26.08.2007, 17:55 HalloIhr Auf diesen Beitrag antworten »

ja reintheoretisch müsste a ja dann 3 sein weil dann wird alles 0
26.08.2007, 18:01 mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Ja freilich.

Setze vllt.

3 - a = 0
-->
a = 3

Dann folgt das auch rein rechnerisch.

Zeige noch das Maximum mit der 2. Ableitung und berechne noch b.
Was für ein Körper ergibt sich?

mY+
26.08.2007, 18:05 HalloIhr Auf diesen Beitrag antworten »

also soll ich nochmal das gleiche mit der 2. ableitung machen , was ich eben gemacht habe ??? oder soll ich einfach 3 in die 2. ableitung einsetzten?
26.08.2007, 19:11 mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Das letztere! Und dann das Vorzeichen befragen ...

mY+
26.08.2007, 19:27 HalloIhr Auf diesen Beitrag antworten »

ok mache ich eben schriftlich und stelle es dann rein
26.08.2007, 19:32 HalloIhr Auf diesen Beitrag antworten »

ok das ergebnis wäre bei der 2. ableitung dann -18


so nun muss ich nur noch b rausbekommen und wie mache ich das



p.s.. geilomatiko endlich habe ich mal das prinzip mit dem maximum verstanden *freu* mythos du bist kein mythos sondern ne lebende legende Gott
26.08.2007, 19:37 mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von HalloIhr
ok das ergebnis wäre bei der 2. ableitung dann -18
...


Das stimmt. Und was sagt dies über die Art des Extremums aus?

Zitat:

...
so nun muss ich nur noch b rausbekommen und wie mache ich das
...


In der Nebenbedingung steht's doch! b = ...., wo du das in die Funktion eingesetzt hast!

Zitat:

...
... *freu* mythos du bist kein mythos sondern ne lebende legende Gott


Das weiss ich, aber mYthos ist eben kürzer! Big Laugh Big Laugh Big Laugh

mY+
26.08.2007, 20:38 HalloIhr Auf diesen Beitrag antworten »

oh ich denke , dass das heißt , das es negatib ist . mehr kann ich da nicht sagen oder , dass das volumen dann minimal ist ???
__________________________________

b=(9-2a)

und dann setzte ich für a 3 ein und bekomme dann 3 raus.


ist das richtig??
26.08.2007, 21:58 mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

b = 3 ist richtig, also was ist das dann für'n Körper (a = b = 3)?

Wenn die 2. Ableitung an der Stelle 3 (d.i. der Wert, der herauskommt, wenn du 3 eingesetzt hast) negativ ist, dann liegt ein Maximum vor.

mY+
26.08.2007, 22:17 HalloIhr Auf diesen Beitrag antworten »

also die stelle ist negativ die war ja -18 also ist bei 3 und -18 ein maxumum. oh gott und wie schreibe ich das als antwortsatz
26.08.2007, 22:22 HalloIhr Auf diesen Beitrag antworten »

ich wollte wenn das hier fertig ist mich nochmal ganz herzlich bei mythos bedanken. du bist echt super und ich habe jtzt echt was dazu gelernt . wenn ich mal wieder probleme habe , komme ich zu dir .

mega großes lob Tanzen Prost
28.08.2007, 11:26 mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Das freut mich und das ist ja auch der Sinn dieses Forums.

Zu deiner letzten Frage: Die Extremstelle ist 3, auf deren Vorzeichen kommt es jedoch nicht an, sondern erst auf das Vorzeichen der zweiten Ableitung, wenn man darin 3 einsetzt. Der Zahlenwert von -18 ist dabei NICHT von Belang, er ist auch KEINE Extremstelle, diese ist nach wie vor a = 3, wichtig ist nur, dass das Vorzeichen dieser 2. Ableitung bei a = 3 negativ ist. Daher befindet sich bei a = 3 ein (relatives) Maximum.

mY+
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