Charakteristisches Polynom

26.08.2007, 16:14

Frooke

Charakteristisches Polynom

Hallo!

Für das charakteristische Polynom

$\begin{eqnarray*} p_A(\lambda)=\det(A-\lambda E_n) \end{eqnarray*}$

gelten ja folgende Gleichungen für die Koeffizienten:

$\begin{eqnarray*} a_n=(-1)^n \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a_{n-1}=(-1)^n\operatorname{tr}(A) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a_0=\det(A) \end{eqnarray*}$

Kann mir jemand die Beweisidee geben für die letzten beiden Gleichungen? Ich hab da was mit der Leibnizformel gebastelt, leider ohne Erfolg.

Besten Dank!

26.08.2007, 16:21

Gnu

Auf diesen Beitrag antworten »

Tipp zu 3: Was Du suchst ist das Absolutglied, dies erhältst Du wenn Du bei einem Polynom das Argument gleich einem ganz bestimmten Wert setzt Augenzwinkern

Für 2 kenn ich nur einen Beweis mit Permutationen der mir nicht wirklich gut gefällt, ich überleg mal obs noch schöner geht.

26.08.2007, 16:23

therisen

Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Frooke,

die Leibniz-Formel ist schon die richtige Idee:

$\begin{eqnarray*} \det(A)= \sum_{\sigma \in S_n} \left(\operatorname{sgn} (\sigma) \prod_{i=1}^n a_{i, \sigma(i)}\right) \end{eqnarray*}$

Für welches $\begin{eqnarray*} \sigma\in S_n \end{eqnarray*}$ ist der Grad des Polynoms in obiger Summe maximal? Bedenke, dass eine Graderhöhung nur dann statt findet, wenn ein Element aus der Hauptdiagonalen auftritt. Ausmultiplizieren jenes Summanden liefert die ersten beiden Behauptungen.

Gruß, therisen

26.08.2007, 18:47

system-agent

Auf diesen Beitrag antworten »

für die letzten beiden gleichungen? also wir haben die spur genau so definiert...

26.08.2007, 22:13

Frooke

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Gnu
Tipp zu 3: Was Du suchst ist das Absolutglied, dies erhältst Du wenn Du bei einem Polynom das Argument gleich einem ganz bestimmten Wert setzt Augenzwinkern

Ja sorry, da hatte ich ein Brett vor dem Kopf - es geht also um die zweite Gleichung... Hammer

Zitat:

Original von therisen
Hallo Frooke,

die Leibniz-Formel ist schon die richtige Idee:

$\begin{eqnarray*} \det(A)= \sum_{\sigma \in S_n} \left(\operatorname{sgn} (\sigma) \prod_{i=1}^n a_{i, \sigma(i)}\right) \end{eqnarray*}$

Für welches $\begin{eqnarray*} \sigma\in S_n \end{eqnarray*}$ ist der Grad des Polynoms in obiger Summe maximal? Bedenke, dass eine Graderhöhung nur dann statt findet, wenn ein Element aus der Hauptdiagonalen auftritt. Ausmultiplizieren jenes Summanden liefert die ersten beiden Behauptungen.

Gruß, therisen

Sowas hab ich versucht: Den maximalen Grad erhält man, wenn man $\begin{eqnarray*} \sigma:=\operatorname{Id}_{S_n} \end{eqnarray*}$ wählt.

Dann habe ich folgenden Summanden:

$\begin{eqnarray*} \prod_{i=1}^n (a_{i,i}-\lambda) \end{eqnarray*}$

Kann ich - salopp formuliert - sagen, dass jede Permutation, die alle Stellen ausser einer nicht verändert, automatisch die Identität ist, weil sie für das letzte Element nur noch die Möglichkeit hat, auf ebendieses Element abzubilden (wegen der Bijektivität), und deswegen jede Permutation, die nicht die Identität ist, an den «zweiten» Koeffizienten keinen Beitrag leistet?

Danke den Helfern!

26.08.2007, 22:16

therisen

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, genau.

27.08.2007, 13:24

Frooke

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Charakteristisches Polynom
Super! Besten Dank, Michi!

Ich habe aber noch einen Tippfehler entdeckt bei mir oben - sollte natürlich stehen:

$\begin{eqnarray*} a_n=(-1)^n \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a_{n-1}=(-1)^{n-1}\operatorname{tr}(A) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a_0=\det(A) \end{eqnarray*}$

Neue Frage »

Antworten »

Charakteristisches Polynom

Verwandte Themen