Lösung der Gleichung w³-w-1=0

26.08.2007, 17:25

mathe83

Lösung der Gleichung w³-w-1=0

Hallo,

kann mir vllt jmd bei der Lösung der Gleichung w³-w-1=0 helfen??

Hab keine ahnung wie ich da anfangen soll...

Thx schon mal im vorraus

26.08.2007, 17:31

WebFritzi

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RE: Lösung der Gleichung w³-w-1=0

Zitat:

Original von mathe83
kann mir vllt jmd bei der Lösung der Gleichung w³-w-1=0 helfen??

Ne. Denn die Lösungen sind sehr eklig. Bist du sicher, dass du die Aufgabe richtig abgeschrieben hast?

26.08.2007, 17:38

mathe83

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JA leider

w³-w-1=0

Da kommt als Lsg keine rationale Zahl raus glaub ich, ca. 1,3, bin grad durch rumprobiern auf des gekommen

Aber wie kommt man da rechnerisch zu ner genauen Lösung oder zumindest näherungsweise ran????

26.08.2007, 17:42

kiste

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Hach das ist doch einfach, man rät eine Nullstelle z.B. $\begin{eqnarray*} x&=&\left({{3^%20{-%20{{3%20}\over{2}}%20}\,\sqrt{23}}\over{2}}+{{1}\over{2}}\right)^{{{1}\over{3%20}}}+{{1}\over{3\,\left({{3^%20{-%20{{3}\over{2}}%20}\,\sqrt{23}}\over{2}}+%20{{1}\over{2}}\right)^{{{1}\over{3}}}}} \end{eqnarray*}$ und macht Polynomdivision Big Laugh

Formel zum Lösen: http://de.wikipedia.org/wiki/Cardanische_Formeln

26.08.2007, 17:43

WebFritzi

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Entweder die Formel von Cardano oder Newton-Verfahren (numerisch).

26.08.2007, 17:52

mathe83

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Vielen Dank,

aber die Links zu der Cardano Formel, da werd ich iwie ned schlau draus

Könnt jmd vllt mal schreiben, wie man in die Formel einsetzen muss??

Danke

26.08.2007, 17:56

WebFritzi

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Steht alles da. Über leg selber mal ein bisschen. Wenn du ein Regal nach Anleitung aufbauen kannst, dann kannste auch das.

26.08.2007, 18:00

mathe83

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alles kla

aber danke nochmal

26.08.2007, 18:17

therisen

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Hallo,

gerade die cardanische Formel sollte man nicht irgendwo abschreiben (v.a. weil sie sich kaum jemand merken will/kann). Besser ist es, sich den Grundgedanken, der dahinter steckt, zu merken.

Sei $\begin{eqnarray*} y=u+v \end{eqnarray*}$ mit noch zu bestimmenden $\begin{eqnarray*} u,v \end{eqnarray*}$ eine Lösung der Gleichung, d.h. es gelte $\begin{eqnarray*} y^3-y-1=0 \end{eqnarray*}$ . Nachdem wir diese Gleichung ein wenig vereinfacht haben, fordern wir zusätzlich $\begin{eqnarray*} uv=\frac13 \end{eqnarray*}$ . Das liefert dann zwei Gleichungen

$\begin{eqnarray*} u^3+v^3=1 \qquad(1) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} uv=\frac13 \qquad\qquad(2) \end{eqnarray*}$

Aus $\begin{eqnarray*} (2) \end{eqnarray*}$ folgt $\begin{eqnarray*} u^3v^3=\frac1{27} \end{eqnarray*}$ . Sind daher $\begin{eqnarray*} x_1,x_2 \end{eqnarray*}$ die beiden Nullstellen der quadratischen Gleichung $\begin{eqnarray*} x^2-x+\frac1{27}=0 \end{eqnarray*}$ , dann gilt nach dem Satz von Vieta:

$\begin{eqnarray*} u^3=x_1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} v^3=x_2 \end{eqnarray*}$

Konkret heißt das

$\begin{eqnarray*} u=\sqrt[3]{\frac12+\frac{\sqrt{69}}{18}} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} v=\sqrt[3]{\frac12-\frac{\sqrt{69}}{18}} \end{eqnarray*}$

Analytische Überlegungen zeigen, dass $\begin{eqnarray*} y=u+v \end{eqnarray*}$ die einzige reelle Nullstelle der Gleichung $\begin{eqnarray*} x^3-x-1=0 \end{eqnarray*}$ ist.

Gruß, therisen

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