abstoßender Fixpunkt

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tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
abstoßender Fixpunkt
Folgende Defintion:

Zitat:
Sei z ein Fixpunkt der Funktion g. Gilt |g'(z)| > 1, so heißt er abstoßend, weil er im Allgemeinen nicht angenähert werden kann.


Was bedeutet, im Allgemeinen? Wer kennt also ein Gegenbeispiel.

Danke,
tigerbine
Dual Space Auf diesen Beitrag antworten »
RE: abstoßender Fixpunkt
Wie genau ist hier "annähern" zu verstehen?
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
RE: abstoßender Fixpunkt
Lol^^. Ich habe es wörtlich abgeschrieben.

Die Definition taucht im Rahmen "Konvergenzberhalten iterativer Verfahren" auf. Machen wir es komplett:

Zitat:

Ein Fixpunkt z einer stetig differenzierbaren Funktion g heißt "anziehend", wenn |g'(z)| < 1 ist, da dann die sukzessive Approximation für jeden hinreichend nahe bei z gelegenen Startwert gegen in konvergiert.

Dann siehe oben


Aber auch bei Teil 1 habe ich gerade ein ? im Kopf. warum gilt das denn nun. Ich sitze heute schon zulange vorm PC traurig

Beweis über Widerspruch zum Mittelwertsatz der Differentialgleichung? verwirrt

Bitte hilf mir Wink
therisen Auf diesen Beitrag antworten »
RE: abstoßender Fixpunkt
Zitat:
Original von tigerbine
Ich sitze heute schon zulange vorm PC traurig


Ja. Beweis:

Zitat:
Original von tigerbine
Beweis über Widerspruch zum Mittelwertsatz der Differentialgleichung? verwirrt



Gruß, therisen


PS: Ist das nicht besser in Numerik aufgehoben?
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
RE: abstoßender Fixpunkt
Och jo http://www.smileygarden.de/smilie/Frech/smileymania.at_02996.gif, was ich meinte war:

Mittelwertsatz der Differentialrechnung

Sorgt das nun für den nächsten Lacher, weil für den Beweis total falsch? Big Laugh
Tomtomtomtom Auf diesen Beitrag antworten »

Da steht wahrscheinlich "im allgemeinen", weil es zumindest einen Startpunkt gibt, bei dem sukzessive Approximation eben trotzdem konvergiert. Nämlich den Fixpunkt selber.
 
 
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Noch einen Kommentar zu Punkt 1? Das im Allgemeineren hab "ich " rausgefunden, brauche für die genaue Begründung aber den "anziehendem Fixpunkt".
Tomtomtomtom Auf diesen Beitrag antworten »

Naja, |g'(z)|<1 heißt ja, daß für in einer genügend kleinen Umgebung von dem Fixpunkt z gilt:



also



Also der Abstand von z zu z* wird "zusammengezogen", insbesondere liegt g(z*) sogar wieder in der Umgebnung von z, über die du etwas weißt. Und eigentlich hast du ja sogar



mit einem q<1. Wenn du jetzt n mal sukzessive Approximation anwendest (was ich durch ausdrücke, nicht mit irgendwelchen Ableitungen zu verwechseln), erhältst du



Die rechte Seite konvergiert für n gegen unendlich gegen 0, auf der linken Seite kannst du noch ausnutzen, daß z ein Fixpunkt ist. Heraus kommt, daß für einen anziehenden Fixpunkt die Folge der Approximationen gegen den Fixpunkt konvergiert.


Analog hast du für einen abstoßenden Fixpunkt





kannst aber an dieser Stelle (ohne weitere Informationen, zum Beispiel, daß g'(z*)>1 global gilt) nicht weiter schließen, weil g(z*) schon nicht mehr in einer Umgebung des Fixpunktes liegen muß, über die du etwas weißt. Das heißt halt gerade "im allgemeinen" konvergiert das ITerationsverfahren nicht. Aber für gewisse Punkte konvergiert es eben doch, zum Beispiel den Fixpunkt selber.
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Liebes Navi, fahre ich richtig? zwar eigentlich der Fixpunkt. Blöde Notationsfreiheit Augenzwinkern




Von der Ableitung weiß man:




Da sie stetig ist, existiert eine Umgebung , so dass für alle z in dieser Umgebung gilt:

(#)

(Mit welcher Stetigkeitsdefinition zeigt man das nochmal?) (##)


Dann folgt mit dem Mittelwertsatz der Differentialrechnung:

Angenommen, es gäbe ein in mit



Dann gibt es ein mit



was im Widerspruch zu (#) steht.


EDIt:

(##) Das müßte doch mit der "Stetigkeit in der Sprache der Umgebungen" (Königsberger Ana I) folgen.
therisen Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Tigerbine,

die Existenz der Umgebung folgt unmittelbar aus der Dreiecksungleichung, wenn man wählt und sich das passende sucht (Stetigkeit).

Zitat:
Original von tigerbine
Dann gibt es ein mit



Schreibfehler: Es muss statt heißen. Dann klappt es auch mit dem Widerspruch.


Gruß, therisen
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, Du nimmst Epsilon-delta Kriterium.

Und schon wieder so ein Vertippser. Oh weh... Big Laugh

Dann versuche ich das nun mal zu verarbeiten und auch das i.A. mit einem Beispiel zu füttern.

Danke Wink
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