bijektiver Operator, Banachräume

27.08.2007, 08:39

karldergrosse

bijektiver Operator, Banachräume

Satz aus Vorlesung:
Sei $\begin{eqnarray*} B(X,Y) \end{eqnarray*}$ die Menge aller stetigen lin. Operatoren $\begin{eqnarray*} T:X\longrightarrow Y \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} X,Y \end{eqnarray*}$ Banachräume
und $\begin{eqnarray*} T\in B(X,Y) \end{eqnarray*}$ bijektiv

Dann ist $\begin{eqnarray*} T^{-1}\in B(X,Y) \end{eqnarray*}$

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Müsste es heißen $\begin{eqnarray*} T^{-1}\in B(Y,X) \end{eqnarray*}$ , oder bedeutet das, dass man $\begin{eqnarray*} B(X,Y) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} B(Y,X) \end{eqnarray*}$ identifizieren kann, falls es diese Bijektion gibt?

27.08.2007, 09:10

Dual Space

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RE: bijektiver Operator, Banachräume

Zitat:

Original von karldergrosse
Müsste es heißen $\begin{eqnarray*} T^{-1}\in B(Y,X) \end{eqnarray*}$

Ja.

27.08.2007, 09:16

karldergrosse

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Man kann also bijektive Banachräume nicht identifizieren, wie bei endlichdimensionalen Vektorräumen?

27.08.2007, 09:21

Dual Space

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Auch wenn X und Y von endlicher Dimension sind, so würde ich größten Wert auf

$\begin{eqnarray*} B(X,Y)\not= B(Y,X) \end{eqnarray*}$

legen, sofern $\begin{eqnarray*} X\not= Y \end{eqnarray*}$ ist.

27.08.2007, 09:40

karldergrosse

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Danke für deine schnelle Antwort, Dual Sapce.

Man sagt ja oft, wenn zwei Räume isomorph mit bestimmenten Zusätzen sind, z. B. die Isometrie von Hilbertraum $\begin{eqnarray*} H \end{eqnarray*}$ und seinem Dualraum $\begin{eqnarray*} H' \end{eqnarray*}$ (lineare Funktionale auf $\begin{eqnarray*} H \end{eqnarray*}$ ), dass man sie "miteinander identifiziert": $\begin{eqnarray*} H=H' \end{eqnarray*}$

Könntest du mir vielleicht mit einem kleinen Beispiel erklären, was das gefährliche daran ist? (kann auch endlichdimensional sein)

27.08.2007, 10:24

Dual Space

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Die Erklärung ist vielleicht viel einfacher als du vermutest, denn sie hat nix mit Bijektionen oder Dimensionen zu tun.

Ich finde es einfach wichtig, dass $\begin{eqnarray*} f\in B(X,Y) \end{eqnarray*}$ impliziert, dass $\begin{eqnarray*} \operatorname{D}(f)\subset X \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \operatorname{R}(f)\subset Y \end{eqnarray*}$ gilt.

27.08.2007, 12:06

WebFritzi

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Ich sehe es wie Dual Space. Nimm dir den Vektorraum V der reellen Polynome von höchstens zweitem Grad. Der ist isomorph zum IR³. Es gilt aber offenbar nicht V = IR³, denn in der einen Menge befinden sich reelle Tripel, und im anderen befinden sich Polynome, also insbesondere Funktionen.

28.08.2007, 14:34

karldergrosse

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Danke, dieses Beispiel veranschaulicht die Absurdität meiner Gedanken gut. Noch dümmer komme ich mir vor, wenn ich das unter dem Hintergrund "Zwei Mengen sind gleich, wenn jeweils alle Elemente der einen in der anderen liegen." überdenke.

Dann meint unser Vorlesende mit dieser "Identifikationen" wie $\begin{eqnarray*} H'=H \end{eqnarray*}$ die mit einem Gleichheitszeichen falsch ausgedrückt sind, wahrscheinlich, dass die Räume wegen ihrer Isometrie gewisse Eigenschaften haben, die mit einem geeigneten Raum untersucht auf die ganze Klasse der isometrischen Übertragbar sind.

28.08.2007, 17:59

WebFritzi

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Zitat:

Original von karldergrosse
$\begin{eqnarray*} H'=H \end{eqnarray*}$ die mit einem Gleichheitszeichen falsch ausgedrückt sind,

Naja, das ist nicht falsch. Man hat sich darauf geeinigt, dass man isometrisch isomorphe Banachräume X und Y gleichsetzen darf: X = Y. Man kann dieses Gleichheitszeichen als "topologische Gleichheit" verstehen. Oder auch - wie du schreibst - "Identifikation". Ich finde diese Schreibweise zwar auch nicht so schön (ich bevorzuge $\begin{eqnarray*} X\cong Y \end{eqnarray*}$ ), aber man macht es nunmal so.

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