Extremwertaufgabe

27.08.2007, 14:14

mk7784

Extremwertaufgabe

Hallo Leute,

ich sitze hier vor einer Extremwertaufgabe und komm irgendwie nicht drauf wie ich loslegen kann.

Hier die Aufgabe:

Aus einer Glasscheibe, die die Form eines Halbkreises von 2m Durchmesser hat, soll ein rechteckiges Fensterglas maximaler Fläche zugeschnitten werden.
Welche Maße hat das Rechteck?

Die einzige Bedingung die ich bis jetzt habe ist die Rechteckfläche :-(
Könnt ihr mich auf den richtigen Weg bringen?

Wäre Euch sehr dankbar!!

27.08.2007, 14:38

magneto42

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Hallo.

Hauptbedingung ist die Maximierung Deines Rechtecks:

$\begin{eqnarray*} A = 2 \cdot x \cdot y \end{eqnarray*}$

Als Nebenbedingung müssen x und y auf einem Halbkreis sitzen. Kennst Du die Formel y(x) für einen Halbkreis?

Man kann sich das Leben auch noch etwas vereinfachen, wenn man bedenkt, daß $\begin{eqnarray*} A^2 \end{eqnarray*}$ an derselben Stelle ein Extremum aufweist wie $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ .

27.08.2007, 15:02

mk7784

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Meinst du?

$\begin{eqnarray*} x^2 + y^2 = r^2 \end{eqnarray*}$

Aber warum jetzt? Nehm ich jetzt den ganzen Kreis?

$\begin{eqnarray*} A = 2 \cdot x \cdot y \end{eqnarray*}$

Ich blick das irgendwie nicht..

27.08.2007, 15:07

WebFritzi

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Zitat:

Original von mk7784
Meinst du?

$\begin{eqnarray*} x^2 + y^2 = r^2 \end{eqnarray*}$

Aber warum jetzt? Nehm ich jetzt den ganzen Kreis?

$\begin{eqnarray*} A = 2 \cdot x \cdot y \end{eqnarray*}$

Beide Formeln sind richtig. Wie magneto schon sagte, ist A genau dann am größten, wenn A² am größten ist. Stelle deine erste Formel also nach y² um und setze das Ergebnis in

$\begin{eqnarray*} A^2 = 4x^2y^2 \end{eqnarray*}$

ein.

27.08.2007, 16:06

mk7784

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OK, dass habe ich jetzt gemacht, hab für
$\begin{eqnarray*} x = \sqrt{\frac{1}{2} } \end{eqnarray*}$
was laut Lösungsblatt stimmt, nur jetzt bekomme ich für
$\begin{eqnarray*} y = \sqrt{\frac{3}{2} } \end{eqnarray*}$
raus, was laut Lösungsblatt
$\begin{eqnarray*} \sqrt{2} \end{eqnarray*}$
sein soll..
Muss ich das Ergebnis nicht einfach in meine Nebenbedingung
$\begin{eqnarray*} x^2 + y^2 = r^2 \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} x^2 + y^2 = 1 \end{eqnarray*}$
einsetzen?

27.08.2007, 16:10

WebFritzi

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Zitat:

Original von mk7784
nur jetzt bekomme ich für
$\begin{eqnarray*} y = \sqrt{\frac{3}{2} } \end{eqnarray*}$
raus, was laut Lösungsblatt
$\begin{eqnarray*} \sqrt{2} \end{eqnarray*}$
sein soll..

Ist beides falsch.

Zitat:

Original von mk7784
Muss ich das Ergebnis nicht einfach in meine Nebenbedingung
$\begin{eqnarray*} x^2 + y^2 = r^2 \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} x^2 + y^2 = 1 \end{eqnarray*}$
einsetzen?

Ja, genau. Du musst dich verrechnet haben.

27.08.2007, 16:27

mk7784

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Aber mein X-Wert ist richtig? oder liegt da schon der Fehler?

27.08.2007, 16:32

WebFritzi

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Keine Ahnung. Rechnen musst du selber. Oder du stellst hier deinen Rechenweg rein, und ich kann dir sagen, ob er richtig oder falsch ist.

27.08.2007, 21:39

mk7784

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Hier ist meine Rechnung:

$\begin{eqnarray*} y^2 = r^2 - x^2 = 1 - x^2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} A^2 = 4x^2 * y^2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} A^2 = 4x^2 (1 - x^2) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} A^2 = 4x^2 - 4x^4 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} A= \sqrt{4x^2 - 4x^4} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} A'= 0,5 (8x - 16x^3) (4x^2 - 4x^4) \end{eqnarray*}$
dann setzte ich das gleich NULL
$\begin{eqnarray*} A'=0 \end{eqnarray*}$
und bekomme als Ergebnis
$\begin{eqnarray*} x1=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x2= \sqrt{\frac{1}{2} } \end{eqnarray*}$

Hab schon paarmal drüber gehschaut und hab kein plan was da falsch sein könnte..

27.08.2007, 22:23

cst

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Die Ableitung enthält einen Rechen- oder Tippfehler, die Extremstelle stimmt aber. Freude

Fehlt noch y und A_max.

28.08.2007, 00:26

WebFritzi

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Wie cst schon schrieb: du hast falsch abgeleitet. Aber - wie magneto es auch schon schrieb - kannst du auch A² maximieren. Dann brauchst du keine Wurzel abzuleiten.

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