Satz von Banach-Steinhaus

28.08.2007, 10:28

Ambrosius

Satz von Banach-Steinhaus

Ich lerne gerade den Satz von Banach-Steinhaus oder auch Prinzip der gleichmäßigen Beschränktheit. Zunächst der Satz

Sei E ein Banachraum und F ein normierter Raum und $\begin{eqnarray*} \Gamma \end{eqnarray*}$ eine Menge von stetigen linearen Abbildungen von E nach F. Weiter sei $\begin{eqnarray*} A \subseteq E \end{eqnarray*}$ eine Menge von 2. Kategorie und es gelte

$\begin{eqnarray*} \sup\limits_{T \in \Gamma} ||Tx|| < \infty \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} x \in A \end{eqnarray*}$ .

Dann gibt es ein $\begin{eqnarray*} M > 0 \end{eqnarray*}$ so das $\begin{eqnarray*} ||Tx|| \leq M \cdot ||x|| \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} x \in E \end{eqnarray*}$

Der Satz besagt doch also, dass wenn ich eine Menge von stetigen linearen Abbildungen habe, die auf einer "großen" Menge, also einer Menge von 2. Kategorie, beschränkt ist, dann ist sie auch auf der ganzen Menge beschränkt. Richtig?

30.08.2007, 21:04

Abakus

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RE: Satz von Banach-Steinhaus

Zitat:

Original von Ambrosius
Sei E ein Banachraum und F ein normierter Raum und $\begin{eqnarray*} \Gamma \end{eqnarray*}$ eine Menge von stetigen linearen Abbildungen von E nach F. Weiter sei $\begin{eqnarray*} A \subseteq E \end{eqnarray*}$ eine Menge von 2. Kategorie und es gelte

$\begin{eqnarray*} \sup\limits_{T \in \Gamma} ||Tx|| < \infty \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} x \in A \end{eqnarray*}$ .

Dann gibt es ein $\begin{eqnarray*} M > 0 \end{eqnarray*}$ so das $\begin{eqnarray*} ||Tx|| \leq M \cdot ||x|| \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} x \in E \end{eqnarray*}$

Der Satz besagt doch also, dass wenn ich eine Menge von stetigen linearen Abbildungen habe, die auf einer "großen" Menge, also einer Menge von 2. Kategorie, beschränkt ist, dann ist sie auch auf der ganzen Menge beschränkt. Richtig?

Den Satz von Banach-Steinhaus kenne ich in einer anderen Version; möglich, dass es mehrere Versionen gibt.

Du sagst jedenfalls nicht explizit, für welche T die Folgerung gelten soll, insofern ist die Formulierung zumindest unklar (du meinst alle $\begin{eqnarray*} T \in \Gamma \end{eqnarray*}$ ?).

Entscheidend hier erscheint mir, dass deine Menge stetiger, linearer Abbildungen auf A erstmal gleichmäßig beschränkt ist. Es wird nicht reichen, wenn nur jedes T nur irgendwie beschränkt ist.

Grüße Abakus smile

31.08.2007, 00:29

Soliton

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RE: Satz von Banach-Steinhaus

Zitat:

Original von AmbrosiusDer Satz besagt doch also, dass wenn ich eine Menge von stetigen linearen Abbildungen habe, die auf einer "großen" Menge, also einer Menge von 2. Kategorie, beschränkt ist, dann ist sie auch auf der ganzen Menge beschränkt. Richtig?

M. E. nicht ganz. Der angegebene Satz (der eine Verallgemeinerung des Satzes von der gleichmäßigen Beschränktheit zu sein scheint,wo A = E) besagt, daß eine auf einer genügend großen Menge (2. Kategorie) PUNKTWEISE beschränkte Menge stetiger linearer Abbildungen auf dem ganzen Raum gleichmäßig beschränkt ist. - Allerdings bezweifele ich, daß dieser Satz so stimmt. Mengen 2. Katergorie müssen ja nur lokal "groß" sein, können aber gegenüber dem gesamten Raum E verschwinden. Daher kann ich mir nicht vorstellen, daß die Voraussetzungen reichen. Eher müßte sich die Aussage des Satzes wohl darauf reduzieren, daß man gleichmäßige Beschränktheit auf ganz A hat. Andernfalls hätte ich gerne einen Beweis oder eine Quellenangabe. - Ich lerne das nämlich auch. smile

31.08.2007, 01:23

WebFritzi

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Vielleicht wäre es von Vorteil, wenn Ambrosius hier mal den Begriff "Menge 2. Kategorie" definieren würde.

31.08.2007, 13:06

Soliton

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Kann ich auch versuchen:

Eine Teilmenge eines metrischen Raums ist von 2. Kategorie, wenn sie sich nicht als abzählbare Vereinigung von Mengen darstellen läßt, deren Abschluß ein leeres Inneres hat (die also "nirgends dicht" sind).

31.08.2007, 13:25

WebFritzi

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bezieht sich "deren" auf "mengen" oder auf "Vereinigung"?

31.08.2007, 16:35

Soliton

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Wegen der Klammer bezieht es sich eher auf "Mengen". Aber präziser:

Eine Teilmenge eines metrischen Raums ist von 2. Kategorie, wenn sie sich nicht so als abzählbare Vereinigung von Mengen darstellen läßt, daß der Abschluß einer jeden dieser Mengen ein leeres Inneres hat, diese Mengen also sämtlich "nirgends dicht" sind.[/quote]

03.09.2007, 11:10

Ambrosius

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So, nach längerer Abwesenheit melde ich mich mal zurück.

Die bezeichnung ist wohl immer verschieden. Mal "Prinzip der glm. Beschränktheit" oder auch "satz von banach-steinhaus".

Also besagt der Satz, das wenn jede lineare Abbildung punktweise beschränkt ist, unter obigen voraussetzungen eine Konstante unabängig von x gefunden werden kann, so dass $\begin{eqnarray*} ||T|| \leq M \end{eqnarray*}$ oder gleichbedeutend $\begin{eqnarray*} ||Tx|| \leq M \cdot ||x|| \end{eqnarray*}$

03.09.2007, 12:21

WebFritzi

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"punktweise beschränkt" gibt es nicht und macht auch gar keinen Sinn.

03.09.2007, 13:37

Soliton

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Anders als für WebFritzi macht die Sprechweise "punktweise beschränkt" für mich sehr wohl einen Sinn, allerdings nicht so, wie Du ihn verwendest, d. h. nicht für eine einzelne Abbildung, sondern nur für eine Familie von Abbildungen. Im Satz von der glm. Beschränktheit ist die punktweise Beschränktheit der Familie gerade die Voraussetzung, die glm. dann deren Folge.

Deine Formulierung ist mir nicht ganz verständlich. Der Satz von der glm. Beschränktheit sagt: Wenn an jedem Punkt x die Familie beschränkt ist (beschränkt sind die Normen der Bilder von x unter der Familie), d. h. wenn es insoweit eine von x abhängige Schranke M_x gibt, dann gibt es schon eine von x unabhängige Schranke M, die an allen Stellen gilt. D. h. alle Elemente der Familie haben eine gemeinsame Schranke für ihre Operatornormen.

03.09.2007, 13:54

WebFritzi

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Zitat:

Original von Soliton
Anders als für WebFritzi macht die Sprechweise "punktweise beschränkt" für mich sehr wohl einen Sinn, allerdings nicht so, wie Du ihn verwendest, d. h. nicht für eine einzelne Abbildung, sondern nur für eine Familie von Abbildungen.

Davon hat er aber nicht gesprochen, und daher macht die Bezeichnung keinen Sinn.

03.09.2007, 14:15

Soliton

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Zitat:

Original von WebFritzi
Davon hat er aber nicht gesprochen, und daher macht die Bezeichnung keinen Sinn.

Ich hab' mir wohl gedacht, daß das Deine Stoßrichtung war. Aber Menno, ich bin halt nicht vom Bau. Augenzwinkern