Anwendung des Satz von banach-steinhaus

28.08.2007, 13:49

Ambrosius

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Anwendung des Satz von banach-steinhaus

Sei $\begin{eqnarray*} E \end{eqnarray*}$ ein normierter Raum und $\begin{eqnarray*} A \subseteq E \end{eqnarray*}$ mit
$\begin{eqnarray*} \sup\limits_{x \in A} | \Phi(x) | < \infty \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} \Phi \end{eqnarray*}$ lineare stetige Abbildung von E nach F ist.
Dann ist $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ beschränkt.

Aus schwach beschränkt folgt also beschränkt

Zum beweis:
Sei $\begin{eqnarray*} J:E \to E'' \end{eqnarray*}$ die kanonische Abbildung, d.h $\begin{eqnarray*} x \mapsto J_x (\Phi) = \Phi (x) \end{eqnarray*}$

Setze $\begin{eqnarray*} \Gamma = J(A) \end{eqnarray*}$ . Dann gilt n.V. für jede $\begin{eqnarray*} \Phi \in E' \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sup\limits_{T \in \Gamma} || T \Phi || \stackrel{\star}{=} \sup\limits_{x \in A} |J_x (\Phi)| \end{eqnarray*}$

Wieso gilt $\begin{eqnarray*} \star \end{eqnarray*}$ ?

PS: E' bezeichnet den Dualraum, E'' den Bidual

28.08.2007, 18:12

WebFritzi

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$\begin{eqnarray*} T\in\Gamma\Longleftrightarrow T = J_x\,\text{ für ein }\, x\in A \end{eqnarray*}$

30.08.2007, 11:26

Ambrosius

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das ist offensichtlich, wo ich es jetzt sehe.

mal wieder eine äußerst dämliche frage, aber wenn ich lange an sachen dran sitze sehe ich die einfachsten dinge nicht mehr.

Vielen dank

07.09.2007, 01:41

Soliton

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Hm, ich habe da mal eine Nachfrage: Was hat denn die Aufgabe mit dem Satz von Banach-Steinhaus (welchem auch immer) zu tun? Geht es nicht so:

$\begin{eqnarray*} sup_{x \in A} ||x|| \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \leq sup_{x \in A} ||J_x|| \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = sup_{x \in A} sup_{\phi \in E', ||\phi|| = 1} |J_x \phi| \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \leq sup_{x \in A} sup_{\phi \in E'} |J_x \phi| \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = sup_{x \in A} sup_{\phi \in E'} |\phi (x)| < oo, n. V.? \end{eqnarray*}$

Und wie sollte man einen Satz von B.-S. hier anwenden, wo alles, was man weiß, sich auf der Menge A abspielt, die keine weitere Struktur haben muß?

07.09.2007, 01:43

Soliton

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Und ist es richtig, daß zwar in Hilberträumen die Normbeschränktheit die schwache Beschränktheit zur Folge hat (via Riesz und C.-S.), dies aber in Banachräumen nicht i. a. gilt, der "schwache" Begriff also stärker ist?

07.09.2007, 02:02

WebFritzi

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Zitat:

Original von Soliton
Und ist es richtig, daß zwar in Hilberträumen die Normbeschränktheit die schwache Beschränktheit zur Folge hat (via Riesz und C.-S.), dies aber in Banachräumen nicht i. a. gilt, der "schwache" Begriff also stärker ist?

Was meinst du mit "schwach beschränkt"?

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07.09.2007, 02:13

Soliton

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Zitat:

Original von WebFritzi
Was meinst du mit "schwach beschränkt"?

Ist der Begriff nicht kanonisch?

"Aus Sicht aller stetigen Linearformen", wie Wikipedia so schön sagt.

Die Teilmenge A des normierten Vektorraums E ist schwach beschränkt

:<=>

die letzte Zeile meines vorletzten Beitrags gilt.

07.09.2007, 02:24

WebFritzi

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Zitat:

Original von Soliton
die letzte Zeile meines vorletzten Beitrags gilt.

Aha: "Dieser Beitrag wurde 2 mal editiert, zum letzten Mal von Soliton: Heute, 02:14."

Im Ernst: welche Zeile meinst du?

07.09.2007, 13:52

Soliton

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Zitat:

Original von WebFritzi

Zitat:

Original von Soliton
die letzte Zeile meines vorletzten Beitrags gilt.

Aha: "Dieser Beitrag wurde 2 mal editiert, zum letzten Mal von Soliton: Heute, 02:14."

Ich hatte lediglich die Normstriche durch Betragsstriche ersetzt, wo das möglich war. Um Dir zuvorzukommen. smile

smile

An den Zeilen als solchen und im übrigen habe ich nichts geändert.

Ich meine die Zeile, die mit "n. V." endet. Und Du hast recht, es ist nicht die letzte, sondern die vorletzte. traurig

traurig

EDIT: Damnit, die vorvorletzte. Prost

Prost

07.09.2007, 14:18

WebFritzi

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Du meinst die Zeile, die keinen Sinn macht wegen

$\begin{eqnarray*} \sup_{\phi\in E'}|\phi x| = \infty \,\text{ für alle }\, x\in E \end{eqnarray*}$

? Augenzwinkern

Augenzwinkern

08.09.2007, 01:41

Soliton

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Zitat:

Original von WebFritzi
Du meinst die Zeile, die keinen Sinn macht wegen

Ja, genau die. geschockt

geschockt

Menno, das hättest auch einfach ein bißchen früher bemeckern können. Einen zusätzlichen Lerneffekt hatte das nicht. Forum Kloppe

Forum Kloppe

Ok, diese $%$& Wikipedia-Seite. Ich habe den Satz dort übernommen, ohne mir zu überlegen, ob es so Sinn macht. Zumindest damit entschuldige ich mich ein wenig. Ich habe ja oben nicht behauptet, daß das Supremum endlich sei; aus meinem falschen Begriffsverständnis war das die Voraussetzung. Aber gut. smile

smile

Dann ist A aus E schwach beschränkt

:<=>

$\begin{eqnarray*} \forall\ \phi \in E' ~sup_{x \in A} |\phi(x)| < oo. \end{eqnarray*}$

Das drückt man dann über J_x aus, mit der Isometrie und dem Satz von B.S. hat man dann die Beschränktheit von A, alles klar.

Danke soweit. Und wie ist es mit der schwachen Beschränktheit in BR, wenn die Menge normbeschränkt ist? In Hilberträumen haben wir da eine Implikation. In BR nicht? Gibt's ein Gegenbeispiel?

08.09.2007, 02:38

WebFritzi

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Zitat:

Original von Soliton
Danke soweit. Und wie ist es mit der schwachen Beschränktheit in BR, wenn die Menge normbeschränkt ist? In Hilberträumen haben wir da eine Implikation. In BR nicht? Gibt's ein Gegenbeispiel?

Nein, denn die beiden Begriffe sind in Banachräumen äquivalent. Versuch's mal selber. Ist sehr einfach. Augenzwinkern

Augenzwinkern

08.09.2007, 02:47

Soliton

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Zitat:

Original von WebFritzi
Nein, denn die beiden Begriffe sind in Banachräumen äquivalent. Versuch's mal selber. Ist sehr einfach. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Kann man das o. g. Argument gar umdrehen, muß zuletzt sich zwar zunächst auf Funktionale aus der Einheitssphäre in E' beschränken, was aber nicht schadet, da jedes Funktional <> 0 entsprechend normiert werden kann, dann also beschränkt ist auf A und nach "Rücknormierung" auch bleibt?

08.09.2007, 02:51

WebFritzi

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Sei A beschränkt, etwa ||x|| < K für alle x aus A. Dann gilt für jedes $\begin{eqnarray*} \phi\in E': \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sup_{x\in A}|\phi x| \le \sup_{x\in A}\|\phi\|\|x\|\le K\|\phi\| < \infty. \end{eqnarray*}$

P.S.: Schau mal in deine PN-Box. Augenzwinkern

Augenzwinkern

08.09.2007, 22:19

Soliton

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Ach... SO einfach. traurig

traurig

Danke. Na, ich hoffe mal, daß meine Idee auch richtig ist. D. h. also: Bilder von beschränkten Mengen unter stetigen Funktionalen sind wieder beschränkt. Das gilt sogar in beliebigen normierten Räumen!

Wann können die Begriffe "schwach beschränkt" und "beschränkt" denn auseinanderfallen? Im nur metrischen Raum? Dort kann man zumindest die Beschränktheit noch definieren. Oder erst in Räumen mit noch weniger Struktur - definiert man "Beschränktheit" dort überhaupt noch (über Nullumgebungen, aber wie sollte das gehen ohne "Bewertung" Oder über kompakte Nullumgebungen? "Eine Menge ist beschränkt, wenn sie in einer kompakten Nullumgebung enthalten ist"?)

08.09.2007, 23:42

WebFritzi

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Für die Richtung "beschränkt ==> schwach beschränkt" braucht man doch (s.o.) den Satz von Banach-Steinhaus. Und der gilt nur in Banchräumen. Diese Richtung ist in allg. normierten Räumen also wahrscheinlich falsch.

09.09.2007, 00:33

Soliton

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Moment, Du meinst es umgekehrt, oder?

s. b. => b. mit dem Satz von BS.

Aber aus Deiner Zeile in Deinem vorletzten Beitrag ergibt sich doch sofort

b. => s. b., ohne den Satz von BS.

Menno, wenn das jetzt nicht stimmt, dann laß' ich es echt sein.

09.09.2007, 01:23

WebFritzi

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Zitat:

Original von Soliton
Moment, Du meinst es umgekehrt, oder?

s. b. => b. mit dem Satz von BS.

Ja, ich Idi. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Entschuldige, wenn ich dich verwirrt habe.

09.09.2007, 01:36

Soliton

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War schon spät. smile

smile

Aber *uff*. Für einen Moment stand meine Zukunft als Mathematiker auf dem Spiel...

Dann darf ich vielleicht nochmal auf meine Fragen aus meinem, Moment, vorletzten Beitrag, letzter Absatz zurückkommen, die ich präzisiere (ich wollte in der Tat nur nach der Verallgemeinerung der einen Richtung fragen; daß die andere den Satz von BS benutzt, war dann inzwischen selbst mir klar Augenzwinkern

Augenzwinkern

):

b. => s.b. gilt also in allen normierten Räumen, dort sind die Bilder beschränkter Mengen unter stetigen Funktionalen stets beschränkt.

Wann kann dies nicht mehr gelten? Im nur metrischen Raum? Dort kann man zumindest die Beschränktheit noch definieren. Oder erst in Räumen mit noch weniger Struktur - definiert man "Beschränktheit" dort überhaupt noch (über Nullumgebungen, aber wie sollte das gehen ohne "Bewertung" Oder über kompakte Nullumgebungen? "Eine Menge ist beschränkt, wenn sie in einer kompakten Nullumgebung enthalten ist"?)

Aber ich entnehme Deinem obigen Beitrag, daß das nicht so klar ist, daß es kein kanonisches Gegenbeispiel gibt. Womöglich gilt b. => s. b. also in noch allgemeineren Räumen, nur in der Umkehrung fallen die Begriffe "unterhalb" von Banachräumen (jaja, also in Räumen, die nicht vollständig sind) auseinander.

Damit kommt meine Welt zumindest begrifflich wieder in Ordnung, denn dann ist "beschränkt" wenigstens nicht der schwächere Begriff, wie ich ursprünglich mal dachte.

09.09.2007, 02:53

WebFritzi

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Tut mir leid, Soliton, aber von stetigen Funktionalen auf metrischen Räumen habe ich erstmal keine Ahnung.

Ich denke aber, dass diese nicht so die große Bedeutung haben. Von Linearität kann man nicht mehr sprechen, und auch Stetigkeit und Beschränktheit (was soll das in diesem Fall eigentlich sein?) dürften auseinanderfallen.

09.09.2007, 18:12

Soliton

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Ich dachte an metrische Vektorräume, da könnte man immerhin Linearität noch haben. Aber Du hast sicher recht, ich übertreibe es wieder mit meinem Verallgemeinerungsbedürfnis. Was ich mir selbst zusammengereimt habe, ist dies:

Die Richtung b. => s. b. gilt in allgemeinen topologischen Vektorräumen. In einem solchen Raum ist eine Menge beschränkt, wenn sie in eine genügend aufgeblasene Nullumgebung paßt, und schwach beschränkt, wenn alle stetigen Funktionale auf ihr beschränkt sind. Da stetige lineare Abbildungen beschränkte Mengen auf beschränkte Mengen abbilden (jeweils i. d. S.), ergibt sich die Implikation sofort.

Mein Versuch, s. b. => b zumindest in einem Fréchetraum E zu zeigen, ist natürlich gescheitert. Immerhin hat man da eine Analogie zum Satz von der glm. Beschränktheit; aber der Rückschluß auf die Beschränktheit der Menge (dort definiert darüber, daß alle die Topologie konstituierenden Halbnormen auf der Menge beschränkt sind) gelingt mir nicht, weil die kanonische Abbildung von E in das Bidual zwar existiert, aber es mir dann nicht möglich ist, den Zusammenhang zwischen der gleichgradigen Stetigkeit der J_x und den Halbnormen von x herzustellen. Vielleicht geht das, aber mir war es dann doch zu mühsam, mir anzusehen, wie in diesem Fall die Topologien auf E und E' bzw. E'' zusammenhängen.

Kann damit leben. smile

smile

31.05.2012, 18:16

Jhonnyam

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Ich weiß est ist schon lang her. Und vielleicht ist meine Frage auch trivial. Aber ich kann nicht nachvollziehen warum man den Satz von Banach-Steinhaus in der Richtung schwach beschränkt => beschränkt anwenden kann, wenn E kein Banach-Raum ist?

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