R[a,b] Banachraum?

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karldergrosse Auf diesen Beitrag antworten »
R[a,b] Banachraum?
Bilden die auf Riemann-integrierbaren Funktionen einen Banachraum? Das Skalarprodukt aus könnte man übernehmen, aber wer weiß, ob der Raum durch die induzierte Metrik Vollständig ist?

Könnte man dann sagen ?
karldergrosse Auf diesen Beitrag antworten »

Tschuldigung, damit ich schreiben kann, muss ja R[a,b] garkein Banachraum sein, Hammer
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Präzisiere bitte deine Frage. Danke.
karldergrosse Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hatte nur Überlegt, ob die linearen Funktionale auf R[a,b] einen Banachraum bilden und dachte fäschlicherweise, dass dazu R[a,b] ein Banachraum sein muss. Allerdings ist die Menge ja bereits ein Banachraum (Dualraum) wenn R[a,b] ein normierter Raum ist und das ist er. Stimmt doch so, oder? verwirrt
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von karldergrosse
wenn R[a,b] ein normierter Raum ist und das ist er.


Welche Norm hast du denn?
karldergrosse Auf diesen Beitrag antworten »

 
 
therisen Auf diesen Beitrag antworten »

Warum schreibst du das eigentlich immer vor den Integranden? Ist das Absicht?
karldergrosse Auf diesen Beitrag antworten »

Um die Operatornatur zu betonen und weil es sich besonders bei langan Ausdrücken mit Mehrfachintegrationen besser liest und Klammern spart.
Soliton_mobile Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von karldergrosse
Um die Operatornatur zu betonen und weil es sich besonders bei langan Ausdrücken mit Mehrfachintegrationen besser liest und Klammern spart.


Aber auch nur dann, wenn man diese Notation kennt oder sie vorher erklärt wird.
karldergrosse Auf diesen Beitrag antworten »

Ich muss noch die Stetigkeit des Integraloperators zeigen verwirrt

Ist der folgende Beweis okay?

Erfüllt ein linearer Operator die Abschätzung

dann ist er stetig auf

Hier ist



Es gilt

Damit ist

Damit ist das bestimmte Integral ein stetiger Operator von auf und somit in
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von karldergrosse


Das ist keine Norm - nur eine Halbnorm.

Zu deinem letzten Beitrag: Kannst du nochmal erläutern, was R[a,b] genau ist? Sind Riemann-integrierbare Funktionen auf einem (meinetwegen endlichen) Intervall stets beschränkt? Wenn nicht, dann ist deine X-Norm nicht definiert.
karleergrosse Auf diesen Beitrag antworten »

In [Schulz, Physik mit Bleistift] S.106 befindet sich ein ausführlicher Rechtfertigungsversuch für die Integralschreibweise. In der physikalischen Fachliteratur ist das auch keine Seltenheit. Manchmal ist es auch egal:


Zitat:
Original von WebFritzi
Zitat:
Original von karldergrosse


Das ist keine Norm - nur eine Halbnorm.


Stimmt, das ist nur auf eine Norm. Hatte diese Norm unbedacht übernommen.

Zitat:
Original von WebFritzi
Sind Riemann-integrierbare Funktionen auf einem (meinetwegen endlichen) Intervall stets beschränkt? Wenn nicht, dann ist deine X-Norm nicht definiert.


Diesmal stimmt die Norm. Nach dem Satz von Lebesque ist eine Funktion genau dann Riemann-integrierbar, wenn sie beschränkt und bis auf eine Menge von Lebesque-Maß 0 (=:"fast überall") stetig ist.
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