Affinitäten untersuchen mit geg. Matrix

28.08.2007, 18:00

Stahlhammer

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Affinitäten untersuchen mit geg. Matrix

Servus!
Habe als Aufgabe:
Untersuche die Matrix $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 & 5 \\ -5 & 10 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ auf Fixpunkte!

Ansatz:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 & 5 \\ -5 & 10 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ (Damit ein Punkt auf sich selbst abgebildet wird.)

Übergang zum linearen Gleichungssystem:
$\begin{eqnarray*} x = 0\cdot x + 5\cdot y \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y = -5\cdot x + 10\cdot y \end{eqnarray*}$

Jetzt weiß ich aber nicht mehr weiter, wie bekomme ich jetzt Vektoren mit reellen Zahlen heraus?
Danke im vorraus!
Gruß Stahlhammer

28.08.2007, 18:06

tigerbine

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RE: Affinitäten untersuchen mit geg. Matrix
Na hier sind das doch nur 2 Gleichungen mit 2 unbekannten. Also sogar mit Schulmathe möglich zu lösen Augenzwinkern

Augenzwinkern

Einsetzungsverfahren vielleicht?

Gesucht ist in ein Eigenvektor zum Eigenwert 1.

28.08.2007, 18:34

Stahlhammer

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ok
I. $\begin{eqnarray*} x = 5y \end{eqnarray*}$
II. $\begin{eqnarray*} y = -5x + 10y \end{eqnarray*}$

Ich setzte I. in II. ein:
I. $\begin{eqnarray*} x = 5y \end{eqnarray*}$
II. $\begin{eqnarray*} y = -15y \end{eqnarray*}$

Was habe ich jetzt was falsch gemacht? Wo ist der Fehler?

28.08.2007, 18:36

Dual Space

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Bis jetzt stimmts. Augenzwinkern

Augenzwinkern

28.08.2007, 18:40

Stahlhammer

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So, ich weiß jetzt aber nicht, wie ich diese Information in einen Vektor bzw. einen Punkt "reinpacken" soll?

28.08.2007, 18:40

Dual Space

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Zitat:

Original von Stahlhammer]
II. $\begin{eqnarray*} y = -15y \end{eqnarray*}$

Welches y erfüllt denn diese Gleichung?

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28.08.2007, 18:59

Stahlhammer

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Ich weiß es nicht, ist es schon eine Koordinate des Vektprs, also die y-Koordinate?

28.08.2007, 19:01

Dual Space

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Lass mal alles andere beiseite.

Löse die Gleichung y=-15y.

28.08.2007, 19:04

Stahlhammer

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Wenn $\begin{eqnarray*} y \neq 0 \end{eqnarray*}$ ist, dann kann man ja durch y teilen:
$\begin{eqnarray*} 1 = -15 \end{eqnarray*}$
Aber das ergibt für mich keinen Sinn!

28.08.2007, 19:06

Dual Space

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Eben. Nur y=0 löst die Gleichung II) und aus I) folgt dann x=0.

28.08.2007, 19:08

WebFritzi

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Zitat:

Original von Stahlhammer
Wenn $\begin{eqnarray*} y \neq 0 \end{eqnarray*}$ ist, dann kann man ja durch y teilen:
$\begin{eqnarray*} 1 = -15 \end{eqnarray*}$
Aber das ergibt für mich keinen Sinn!

Macht es auch nicht. Ziehe auf beiden Seiten ein y ab.

EDIT: Bist du wirklich an einer Hochschule? verwirrt

verwirrt

28.08.2007, 19:29

Stahlhammer

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Ahh ok, also ist nur der Punkt $\begin{eqnarray*} P(0/0) \end{eqnarray*}$ ein Fixpunkt!

So, jetzt sollen wir noch den Eigenwert ausrechnen!
$\begin{eqnarray*} (A-k\cdot E)\cdot \vec{x} = \vec{0}~mit~\vec{x} \neq 0 \end{eqnarray*}$
Da $\begin{eqnarray*} \vec{x} \end{eqnarray*}$ ja nicht 0 sein darf, muss die Determinante 0 sein.

$\begin{eqnarray*} |A-k\cdot E| = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} [\begin{pmatrix} 0 & 5 \\ -5 & 10 \end{pmatrix} - k\cdot \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}] = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} |\begin{pmatrix} -k & 5 \\ -5 & 10 - k \end{pmatrix}| = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} [-k\cdot (10 - k)] - [5\cdot (-5)] = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} k^{2} - 10k + 25 = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (k - 5)^{2} = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow k = 5 \end{eqnarray*}$

Ist das soweit richtig?

Edit: @ Webfritzi: Ich habe mich glaube mit dem Unterforum fertan, bin Gymnasium Augenzwinkern

Augenzwinkern

28.08.2007, 19:42

Dual Space

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Zitat:

Original von Stahlhammer
So, jetzt sollen wir noch den Eigenwert ausrechnen!

Woher weißt du denn vorher schon, dass es nur einen gibt?

Edit: Wieviel Lösungen hat die Gleichung $\begin{eqnarray*} (x-5)^2=0 \end{eqnarray*}$ ?

28.08.2007, 19:44

WebFritzi

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Zitat:

Original von Stahlhammer
Ist das soweit richtig?

Jepp.

Zitat:

Original von Stahlhammer
Edit: @ Webfritzi: Ich habe mich glaube mit dem Unterforum fertan, bin Gymnasium Augenzwinkern

Augenzwinkern

Schreibt man das so auf dem Gymnasium? fertan? Augenzwinkern

Augenzwinkern

Ansonsten kommen wir jetzt trotzdem langsam in den Hochschulmathe-Bereich. Eigenwerte macht man normalerweise nicht in der Schule.

28.08.2007, 19:44

Stahlhammer

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Ok, habe mich verschrieben, muss einen heißen!
Ist denn das o.g. richtig?

28.08.2007, 19:46

Stahlhammer

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Zitat:

Original von WebFritzi
Schreibt man das so auf dem Gymnasium? fertan? Augenzwinkern

Augenzwinkern

Ansonsten kommen wir jetzt trotzdem langsam in den Hochschulmathe-Bereich. Eigenwerte macht man normalerweise nicht in der Schule.

Nein es heißt vertan!

Und auf einem Gymnasium nimmt man keine Thematik mit Eigenwert durch?

28.08.2007, 19:47

Dual Space

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Ja. Aber 5 ist doppelter Eigenwert.

28.08.2007, 19:48

WebFritzi

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Zitat:

Original von Stahlhammer
Und auf einem Gymnasium nimmt man keine Thematik mit Eigenwert durch?

Nein, normalerweise nicht.

28.08.2007, 19:55

Stahlhammer

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Zitat:

Original von Dual Space
Ja. Aber 5 ist doppelter Eigenwert.

Ja, wegen dem Binom, aber hat das denn irgendwelche Folgen für bestimmte Vorgänge?

Edit @ WebFritzi: Auch nicht im LK und bei einem Lehrer, dessen Wissensstand ausreichen würde, um Prof. an einer Uni zu sein?

29.08.2007, 01:22

WebFritzi

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Zitat:

Original von Stahlhammer
Edit @ WebFritzi: Auch nicht im LK und bei einem Lehrer, dessen Wissensstand ausreichen würde, um Prof. an einer Uni zu sein?

Naja, bei euch scheinbar schon. Aber eigentlich finde ich es nicht OK, das in einem regulären LK zu machen. Das ist unfair denen gegenüber, die fit für einen normalen LK sind, aber nicht überdurchschnittlich sind. Ich habe den Eindruck, dein Lehrer hat keinen Bock auf "Pillepalle". Aber dann hat er seinen Beruf verfehlt und hätte kein Lehrer werden dürfen. Kann sein, dass ich mich irre, aber auf meiner alten Schule gab es auch so einen...

29.08.2007, 14:37

Stahlhammer

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Ok, es soll jetzt nicht in eine Diskussion um Lehrer ausarten, aber unser Lehrer ist wirklich schlimm. Wie gesagt vom Wissensstand kann er mit einem Prof. mithalten!
Aber er rast durch alle Themen durch, fordert teilweise wirklich übermenschliches von uns! Übungsaufgaben rechnen wir kaum und vieles muss man sich selbst erarbeiten.
Abscheifen auf Sachen, die wir fürs Abi eh nicht brauchen, tut er eigentlich fast jede Stunde!
Wenn er uns etwas erklärt (Herleitungen zB.) ist das wirklich schön und logisch, wenns dann aber ans praktische geht, versagen dennoch viele aus unserem LK.
Naja, was soll man machen, ein paar Monate noch, dann ist`s sowieso vorbei Augenzwinkern

Augenzwinkern

Gruß Stahlhammer

29.08.2007, 14:40

WebFritzi

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Mein Eindruck scheint sich zu bestätigen...

29.08.2007, 15:15

Stahlhammer

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So, weiter geht`s mit der Bestimmung des Eigenvektors!
Da wir en Eigenwert bereits ermittelt haben, lassen sich die Eigenvektoren aus der Gleichung $\begin{eqnarray*} (A - k\cdot E)\cdot \vec{x} = \vec{0} \end{eqnarray*}$ bestimmen.
Gegeben: $\begin{eqnarray*} A = \begin{pmatrix} 0 & 5 \\ -5 & 10 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
Es gilt:
$\begin{eqnarray*} (A - 5\cdot E) = \begin{pmatrix} -5 & 5 \\ -5 & 5 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
Dieses Gleichungssystem muss jetzt gelöst werden:
I. $\begin{eqnarray*} -5x + 5y = 0 \end{eqnarray*}$
II. $\begin{eqnarray*} -5x + 5y = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow x=y \end{eqnarray*}$

Soweit alles richtig?
Wenn ja, wie kann ich diese Aussage interpretieren?

29.08.2007, 15:28

Dual Space

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Mit anderen Worten sind die Vektoren $\begin{eqnarray*} c(1,1)^T \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} c>0 \end{eqnarray*}$ Eigenvektoren zum Eigenwert 5.

29.08.2007, 15:36

Stahlhammer

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Hmm, mit der Schreibweise tue ich mich schwer, für mich mal verständlicher ausgedrückt:
Der Vektor $\begin{eqnarray*} \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und seine positiven Vielfachen sind Eigenvektoren der Matrix $\begin{eqnarray*} A = \begin{pmatrix} 0 & 5 \\ -5 & 10\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ mit dem Eigenwert $\begin{eqnarray*} k = 5 \end{eqnarray*}$ .
Kann man es auch so ausdrücken?

29.08.2007, 16:43

Dual Space

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Ja.

Die Menge dieser Vektoren nennt man dann auch Eigenraum zum Eigenwert 5, wenn mich meine Erinnerung nicht trügt. Augenzwinkern

Augenzwinkern

29.08.2007, 16:53

Stahlhammer

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RE: Affinitäten untersuchen mit geg. Matrix

Zitat:

Original von Stahlhammer
Untersuche die Matrix $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 & 5 \\ -5 & 10 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ auf Fixpunkte!

Ansatz:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 & 5 \\ -5 & 10 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ (Damit ein Punkt auf sich selbst abgebildet wird.)

Übergang zum linearen Gleichungssystem:
$\begin{eqnarray*} x = 0\cdot x + 5\cdot y \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y = -5\cdot x + 10\cdot y \end{eqnarray*}$

Als Ergebnis für den Fixpunkt kam $\begin{eqnarray*} P(0/0) \end{eqnarray*}$ heraus!

Jetzt muss ich noch die Fixgerade bestimmen!
Kann man aus dem oben geschriebenen schlussfolgern, dass es gar keine Fixgerade gibt, da es nur einen Fixpunkt gibt?

29.08.2007, 17:40

Dual Space

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RE: Affinitäten untersuchen mit geg. Matrix

Zitat:

Original von Stahlhammer
Kann man aus dem oben geschriebenen schlussfolgern, dass es gar keine Fixgerade gibt, da es nur einen Fixpunkt gibt?

Ja. Das müsste reichen.

29.08.2007, 17:43

WebFritzi

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Zitat:

Original von Stahlhammer
Hmm, mit der Schreibweise tue ich mich schwer, für mich mal verständlicher ausgedrückt:
Der Vektor $\begin{eqnarray*} \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und seine positiven Vielfachen sind Eigenvektoren der Matrix $\begin{eqnarray*} A = \begin{pmatrix} 0 & 5 \\ -5 & 10\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ mit dem Eigenwert $\begin{eqnarray*} k = 5 \end{eqnarray*}$ .
Kann man es auch so ausdrücken?

Ja schon, aber auch die negativen Vielfachen des Vektors sind Eigenvektoren. Also: ALLE Vielfachen.

29.08.2007, 17:44

Stahlhammer

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ok, danke für eure Hilfe, Aufgabe ist damit gelöst Augenzwinkern

Augenzwinkern

!

Wink

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