nicht konvergierende Folge gesucht |
28.08.2007, 21:47 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
nicht konvergierende Folge gesucht Und einen Startwert, so dass die Folge nicht gegen x* konvergiert. Danke |
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28.08.2007, 22:41 | Dual Space | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: nicht konvergierende Folge gesucht Ist es egal, ob C größer oder kleiner 1 ist? Die Folge ist eine Folge reeller Zahlen? PS. Schickes Avatar ... warst wohl wieder shoppen? |
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28.08.2007, 23:07 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: nicht konvergierende Folge gesucht Egal. Shoppen, Nö. Selber gemalt (und nur ein bisserl gespickt ) |
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29.08.2007, 01:13 | WebFritzi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
29.08.2007, 01:42 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Das ist jetzt unglücklich formuliert. Da ich mit beginnen muss. Ich muss auf eine Aussage in der Art hinaus, liegt x_0 zu weit Weg von x* konvergiert die Iteration nicht, obwohl die Gleichung erfüllt ist. Wie soll ich das hier hinbekommen? vielleicht sehe ich es auch einfach nicht. |
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29.08.2007, 01:47 | WebFritzi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Wenn du die Iteration hier nicht verrätst... Oder ist die egal? Wenn dich stört, dass meine obige Folge nicht mit k=0 anfängt, kannste halt setzen. Eine Iteration wird daraus wie folgt: |
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29.08.2007, 01:55 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ist allgemein, es geht um ein Beispiel um zu zeigen, dass die "quadratische Konvergenz", nichts anders ist ja diese Gleichung nicht die Konvergenz der Folge für jeden Startwert gegen x*, impliziert. Daher Suche ich ein Beispiel, das dann z.B. x*=2, mit keine Konvergenz, mit Konvergenz, oder so. Auftreten tut' s mal wieder im Rahmen "Fixpunktiterationen", also |
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29.08.2007, 02:06 | WebFritzi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Hä?? Also, tigabiene, jetzt muss ich dich auch mal rügen. Man sollte schon so schreiben, dass man auch verstanden wird... Wenn du weißt, wie das 1-dimensionale Newton-Verfahren geometrisch läuft (bzw. WARUM es läuft), kannst du dir leicht ein Beispiel ausdenken. |
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29.08.2007, 02:22 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Lieber Fritzi, ich habe mich gerade den ganzen Tag mit dem Newton-Verfahren herumgeschlagen. Da hatte ich gehofft, dass mir hier jemand für den Workshop Teil "Beispiele" vielleicht so nett ist und ein Beispiel nennt. Ich kann nämlich gerade nicht mehr. Wenn du also ein einfaches kennst, nenn' es mit bitte einfach. Ohne raten. Zur Rüge. Dann machen wir es eben ganz genau. Obwohl anderes Skript, andere Formulierung . Sei eine konvergente Folge und ||.|| eine beliebige Vektornorm. Dann konvergiert die Folge linear gegen x*, falls ein c in (0,1) existiert mit quadratisch gegen x*, falls ein C >=0 exisitiert mit Wir wollen nun mal im eindimensionalen Fall bleiben. Bislang sehe ich meine Ungenauigkeit nur in C>0. Umgekehrter Fall. Eine Folge ist gegeben. Du findest obiges c im linearen Fall. Dann konvergiert die Folge auch gegen x*. Im Falle der quadratischen Konvergenz gilt dieser Umkehrschluss i.A. nicht. Man muss sich schon "nahe genug bei x*" befinden, damit Konvergenz vorliegt. Deswegen nun die Beispielsuche für "nicht konvergent", aber der Abschätzung genügend. |
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30.08.2007, 14:17 | Dual Space | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Also mal folgendes. Ich möchte zeigen, dass man eine Folge findet, die quadratisch gegen ihren Grenzwert konvergiert, aber die Bedingung
für kein erfüllt ist. Evtl. hast du nach einem solchem Beispiel gesucht, Bine? Los geht's. Ich betrachte die rekursiv definierte Folge für mit Initialwert . Dabei sei . Diese Folge konvergiert (nach meinem Verständnis von quadratischer Konvergenz <--- Evtl. liegt hier der "Knackpunkt") quadratisch gegen . Außerdem gilt für alle k, dass . Nun lässt sich die Bedingung äquivalent umformen zu Wie man leicht sieht konvergiert die linke Seite gegen 1 und die rechte Seite gegen 0 (für festes c). Dies ist aber ein Widerspruch. Folglich gibt es keine (nicht negative) Konstante c, so dass die obige Bedingung erfüllt ist. |
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30.08.2007, 16:40 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Drücke ich mich so unklar aus? Die Gleichung soll erfüllt sein, die Konvergenz aber nicht. Das erfüllen der Gleichung nennt man "quadratische Konvergenz". Der Knackpunkt ist eben, die Voraussetzung, dass die Folge bereits konvergiert. Läßt man diese weg, so kann, obwohl die Gleichung erfüllt ist, es auch passieren, dass die Folge nicht gegen x* konvergiert. Danke, aber da muss ich wohl doch noch selbst ein Beipsiel basteln. |
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30.08.2007, 17:08 | Dual Space | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Offenbar schon. Ein solches Bsp. (Bedingung erfüllt + keine Konvergenz gegen x*) hat WebFritzi schon genannt. Ich glaube du hast da irgendwo einen Denkfehler, Bine. Lass mich mal rekapitulieren: Also wenn ich dich recht verstehe, suchst du eine Folge, welche die Bedingung für quadratische Konvergenz erfüllt, aber nicht gegen x* konvergiert. An anderer Stelle (eben als Reaktion auf WebFritzi's Vorschlag) meintest du dann, die Folge soll nur dann nicht gegen x* konvergieren, wenn der Startwert "sehr weit weg von x* ist". Richtig? Das ist der Punkt den ich dann nicht mehr verstehe, denn die Konvergenz der Folge ist bekanntlich invariant unter Modifikation endlich vieler Anfangsglieder, ergo unabhängig vom Startwert. |
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30.08.2007, 17:13 | WebFritzi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
@tigabiene: Vielleicht suchst du eine Funktion g, für die gilt: Ist x* ein Fixpunkt von g und dann ist die Bedingung offensichtlich erfüllt. Jetzt suchst du weiter einen Startwert x_0, so dass die Folge (x_k) nicht konvergiert. Ist das so richtig? |
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30.08.2007, 17:17 | Dual Space | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ach Bine, ignorier das
einfach. Hab nicht dran gedacht, dass es hier um rekursive Folgen geht. Diese verändern sich unter Umständen gänzlich, wenn der Startwert anders gewählt wird. |
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30.08.2007, 21:18 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Jain. Die Abschätzung soll so aussehen. Da es um ein Beispiel im Rahmen des Newton-Verfahrens geht, wäre eine Rekursion, mit und x* als Fixpunkt von g natürlich am besten. Nun soll gezeigt werden, dass wenn man den Startwert zu weit weg von von x* , dann ist die Ungleichung zwar erfüllt, aber die Folge konvergiert nicht mehr gegen x*. |
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31.08.2007, 01:18 | WebFritzi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Haben wir eine solche Funktion g, dann gilt Das hatte ich auch eigentlich schon geschrieben... |
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31.08.2007, 01:22 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ich sagte doch "jain" Sollte heißen, deine Angabe passt rein, ist aber nicht die Vorschrift. Nennst mir nun eine Funktion g, das C und den unpassenden Startwert x0, büdde? http://www.smileygarden.de/smilie/Liebe/36.gif |
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31.08.2007, 01:26 | WebFritzi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Du meinst, wenn man so ein g hat, dann passt das wunderbar bei dir rein; ist zwar eigentlich zu viel, aber wenn's passt, ist es gut? So? Du siehst: ich verstehe dich noch immer nicht richtig...
Öh, so auf Anhieb? Fällt mir grad nichts ein. Aber ich denke drüber nach, versprochen. EDIT: Auf was für einer Menge soll das g denn definiert sein? |
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31.08.2007, 01:39 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Soll heißen, es ist nicht vorgeschrieben, dass man die Folge auf diese Weise erhalten hat. Auch wenn ich den Satz über die Konvergenzgeschwindigkeiten von konvergenten Folgen gerade in diesem Zusammenhang (Fixpunktiterationen) betrachte. Der Satz sagt folgendes: Gegeben ist eine konvergente Folge. => Genügt die der Abschätzung, hat sie die Konvergenzordnung 2. Nun ist die eine Folge gegeben, die der Abschätzung genügt. => ??? Konvergiert die Folge auch (für jeden Startwert) Antwort: Nein. Man muss sich nahe genug beim x* aus der Abschätzung befinden. (#) Das möchte ich an einem Beispiel illustrieren. Such also g,C,x*, x0, am besten für eine Funktion g: IR -> iR Beweis zur (#)
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31.08.2007, 02:05 | WebFritzi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
OK, eine solche Funktion g ist immer konstant. Das kann man sich dadurch klarmachen, indem man in der Ungleichung durch |x - y| teilt und dann y gegen x laufen lässt. So kommen wir also nicht weiter. |
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31.08.2007, 02:11 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Langsam dämmert's mir, warum der Prof seinem Kommentar kein Beispiel folgen ließ. Dann muss ich morgen eben mal Danone kaufen... früher oder später... |
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