nicht konvergierende Folge gesucht

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tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
nicht konvergierende Folge gesucht
Hallo zusammen. Ich such ein Beispiel für eine Folge, die folgender Abschätzung genügt:




Und einen Startwert, so dass die Folge nicht gegen x* konvergiert.

Danke Wink
Dual Space Auf diesen Beitrag antworten »
RE: nicht konvergierende Folge gesucht
Ist es egal, ob C größer oder kleiner 1 ist?

Die Folge ist eine Folge reeller Zahlen?


PS. Schickes Avatar ... warst wohl wieder shoppen? Freude
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
RE: nicht konvergierende Folge gesucht
Egal.

Shoppen, Nö. Selber gemalt Tanzen (und nur ein bisserl gespickt Big Laugh )
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »





tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist jetzt unglücklich formuliert. Da ich mit beginnen muss.

Ich muss auf eine Aussage in der Art hinaus, liegt x_0 zu weit Weg von x* konvergiert die Iteration nicht, obwohl die Gleichung erfüllt ist.

Wie soll ich das hier hinbekommen? vielleicht sehe ich es auch einfach nicht. Schläfer
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn du die Iteration hier nicht verrätst... Oder ist die egal?

Wenn dich stört, dass meine obige Folge nicht mit k=0 anfängt, kannste halt setzen. Eine Iteration wird daraus wie folgt:

 
 
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Ist allgemein, es geht um ein Beispiel um zu zeigen, dass die "quadratische Konvergenz", nichts anders ist ja diese Gleichung nicht die Konvergenz der Folge für jeden Startwert gegen x*, impliziert.

Daher Suche ich ein Beispiel, das dann z.B. x*=2, mit keine Konvergenz, mit Konvergenz, oder so.


Auftreten tut' s mal wieder im Rahmen "Fixpunktiterationen", also

WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von tigerbine
Ist allgemein, es geht um ein Beispiel um zu zeigen, dass die "quadratische Konvergenz", nichts anders ist ja diese Gleichung nicht die Konvergenz der Folge für jeden Startwert gegen x*, impliziert.


Hä?? Also, tigabiene, jetzt muss ich dich auch mal rügen. Lehrer Man sollte schon so schreiben, dass man auch verstanden wird...

Wenn du weißt, wie das 1-dimensionale Newton-Verfahren geometrisch läuft (bzw. WARUM es läuft), kannst du dir leicht ein Beispiel ausdenken.
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Lieber Fritzi,

ich habe mich gerade den ganzen Tag mit dem Newton-Verfahren herumgeschlagen. Teufel Da hatte ich gehofft, dass mir hier jemand für den Workshop Teil "Beispiele" vielleicht so nett ist und ein Beispiel nennt. Ich kann nämlich gerade nicht mehr.

Wenn du also ein einfaches kennst, nenn' es mit bitte einfach. Ohne raten. Mit Zunge


Zur Rüge. Dann machen wir es eben ganz genau. Obwohl anderes Skript, andere Formulierung geschockt .

Sei eine konvergente Folge und ||.|| eine beliebige Vektornorm. Dann konvergiert die Folge

linear gegen x*, falls ein c in (0,1) existiert mit




quadratisch gegen x*, falls ein C >=0 exisitiert mit




Wir wollen nun mal im eindimensionalen Fall bleiben. Bislang sehe ich meine Ungenauigkeit nur in C>0. Big Laugh


Umgekehrter Fall. Eine Folge ist gegeben. Du findest obiges c im linearen Fall. Dann konvergiert die Folge auch gegen x*.

Im Falle der quadratischen Konvergenz gilt dieser Umkehrschluss i.A. nicht. Man muss sich schon "nahe genug bei x*" befinden, damit Konvergenz vorliegt.

Deswegen nun die Beispielsuche für "nicht konvergent", aber der Abschätzung genügend.
Dual Space Auf diesen Beitrag antworten »

Also mal folgendes. Ich möchte zeigen, dass man eine Folge findet, die quadratisch gegen ihren Grenzwert konvergiert, aber die Bedingung

Zitat:
Original von tigerbine
Dann konvergiert die Folge quadratisch gegen x*, falls ein C >=0 exisitiert mit



für kein erfüllt ist. Evtl. hast du nach einem solchem Beispiel gesucht, Bine?

Los geht's.

Ich betrachte die rekursiv definierte Folge

für mit Initialwert . Dabei sei .

Diese Folge konvergiert (nach meinem Verständnis von quadratischer Konvergenz <--- Evtl. liegt hier der "Knackpunkt") quadratisch gegen . Außerdem gilt für alle k, dass . Nun lässt sich die Bedingung



äquivalent umformen zu



Wie man leicht sieht konvergiert die linke Seite gegen 1 und die rechte Seite gegen 0 (für festes c). Dies ist aber ein Widerspruch. Folglich gibt es keine (nicht negative) Konstante c, so dass die obige Bedingung erfüllt ist.
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Evtl. hast du nach einem solchem Beispiel gesucht, Bine?


Drücke ich mich so unklar aus? traurig Die Gleichung soll erfüllt sein, die Konvergenz aber nicht.

Das erfüllen der Gleichung nennt man "quadratische Konvergenz". Der Knackpunkt ist eben, die Voraussetzung, dass die Folge bereits konvergiert. Läßt man diese weg, so kann, obwohl die Gleichung erfüllt ist, es auch passieren, dass die Folge nicht gegen x* konvergiert.

Danke, aber da muss ich wohl doch noch selbst ein Beipsiel basteln.
Dual Space Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von tigerbine
Drücke ich mich so unklar aus?

Offenbar schon. Ein solches Bsp. (Bedingung erfüllt + keine Konvergenz gegen x*) hat WebFritzi schon genannt.


Ich glaube du hast da irgendwo einen Denkfehler, Bine. Lass mich mal rekapitulieren:

Also wenn ich dich recht verstehe, suchst du eine Folge, welche die Bedingung für quadratische Konvergenz erfüllt, aber nicht gegen x* konvergiert.

An anderer Stelle (eben als Reaktion auf WebFritzi's Vorschlag) meintest du dann, die Folge soll nur dann nicht gegen x* konvergieren, wenn der Startwert "sehr weit weg von x* ist". Richtig?

Das ist der Punkt den ich dann nicht mehr verstehe, denn die Konvergenz der Folge ist bekanntlich invariant unter Modifikation endlich vieler Anfangsglieder, ergo unabhängig vom Startwert.
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

@tigabiene: Vielleicht suchst du eine Funktion g, für die gilt:



Ist x* ein Fixpunkt von g und dann ist die Bedingung offensichtlich erfüllt. Jetzt suchst du weiter einen Startwert x_0, so dass die Folge (x_k) nicht konvergiert. Ist das so richtig?
Dual Space Auf diesen Beitrag antworten »

Ach Bine, ignorier das

Zitat:
Original von Dual Space
Das ist der Punkt den ich dann nicht mehr verstehe, denn die Konvergenz der Folge ist bekanntlich invariant unter Modifikation endlich vieler Anfangsglieder, ergo unabhängig vom Startwert.


einfach. Forum Kloppe


Hab nicht dran gedacht, dass es hier um rekursive Folgen geht. Diese verändern sich unter Umständen gänzlich, wenn der Startwert anders gewählt wird.
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von WebFritzi
@tigabiene: Vielleicht suchst du eine Funktion g, für die gilt:



Ist x* ein Fixpunkt von g und dann ist die Bedingung offensichtlich erfüllt. Jetzt suchst du weiter einen Startwert x_0, so dass die Folge (x_k) nicht konvergiert. Ist das so richtig?


Jain. Die Abschätzung soll so aussehen.




Da es um ein Beispiel im Rahmen des Newton-Verfahrens geht, wäre eine Rekursion, mit



und x* als Fixpunkt von g natürlich am besten. Nun soll gezeigt werden, dass wenn man den Startwert zu weit weg von von x* , dann ist die Ungleichung zwar erfüllt, aber die Folge konvergiert nicht mehr gegen x*.
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von tigerbine
Jain. Die Abschätzung soll so aussehen.




Haben wir eine solche Funktion g, dann gilt



Das hatte ich auch eigentlich schon geschrieben...
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Ich sagte doch "jain" Mit Zunge Sollte heißen, deine Angabe passt rein, ist aber nicht die Vorschrift.


Nennst mir nun eine Funktion g, das C und den unpassenden Startwert x0, büdde?

http://www.smileygarden.de/smilie/Liebe/36.gif
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von tigerbine
Ich sagte doch "jain" Mit Zunge Sollte heißen, deine Angabe passt rein, ist aber nicht die Vorschrift.


Du meinst, wenn man so ein g hat, dann passt das wunderbar bei dir rein; ist zwar eigentlich zu viel, aber wenn's passt, ist es gut? So? Du siehst: ich verstehe dich noch immer nicht richtig...


Zitat:
Original von tigerbine
Nennst mir nun eine Funktion g, das C und den unpassenden Startwert x0, büdde?


Öh, so auf Anhieb? Fällt mir grad nichts ein. Aber ich denke drüber nach, versprochen.

EDIT: Auf was für einer Menge soll das g denn definiert sein?
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Soll heißen, es ist nicht vorgeschrieben, dass man die Folge auf diese Weise erhalten hat.




Auch wenn ich den Satz über die Konvergenzgeschwindigkeiten von konvergenten Folgen gerade in diesem Zusammenhang (Fixpunktiterationen) betrachte.

Der Satz sagt folgendes:

Gegeben ist eine konvergente Folge.

=>

Genügt die der Abschätzung, hat sie die Konvergenzordnung 2.



Nun ist die eine Folge gegeben, die der Abschätzung genügt.

=> ???

Konvergiert die Folge auch (für jeden Startwert)


Antwort:
Nein. Man muss sich nahe genug beim x* aus der Abschätzung befinden. (#)


Das möchte ich an einem Beispiel illustrieren. Such also g,C,x*, x0, am besten für eine Funktion g: IR -> iR


Beweis zur (#)

Zitat:
Original von tigerbine
Allgemein spricht man bei einem Iterationsverfahren zur Berechnung einer Größe x* von Konvergenz mit der "Ordnung" q, , wenn gilt:



Genügt eine Folge dieser Abschätzung, so muß man jedoch erst einmal prüfen, ob wirklich Konvergenz vorliegt. Dazu macht man die folgende Fallunterscheidung:


  1. Lineare Konvergenz, q=1




    Folgerung:




    Es gelte nun:




    Dann folgt:




    Damit ist auch für alle k > K und somit folgt die Konvergenz der Folge gegen x*.


  2. Konvergenz der Ordnung q > 1




    Folgerung:



    Gilt dann , so konvergiert die Folge gegen x*. D.h. der Startwert muss nahe genug bei x* liegen.



Im Fall (a), also der linearen Konvergenz sollte noch folgendes bemerkt werden:

  • Lineare Konvergenzrate

    Darunter versteht man die "beste Konstane" c für die Abschätzung in (a). also den Grenzwert



  • Superlineare Konvergenz

    Gilt die Abschätzung für eine Nullfolge



    so spricht man von superlinearer Konvergenz.

    Folgerung:

    Ist nun von einer Folge diese Eigenschaft bekannt, so kann man folgende Aussage über ihre Konvergenz treffen.

    Es gibt ein K, ab dem für alle gilt . Es folgt dann:



    Somit folgt ab diesem K aus der linearen Konvergenz, die Konvergenz der Folge (siehe a).


    Liegt superlineare Konvergenz vor, so gilt:



WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

OK, eine solche Funktion g ist immer konstant. Das kann man sich dadurch klarmachen, indem man in der Ungleichung durch |x - y| teilt und dann y gegen x laufen lässt. So kommen wir also nicht weiter. unglücklich
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Langsam dämmert's mir, warum der Prof seinem Kommentar kein Beispiel folgen ließ. böse

Dann muss ich morgen eben mal Danone kaufen... früher oder später... Teufel Big Laugh
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