quadratische Matrix, diverse Prozesse

29.08.2007, 14:33

_Tina_

quadratische Matrix, diverse Prozesse

Hey,

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0,2 & 0,05 & 0,655 & 0 \\ 0 & 0,5 & 0,005&0,06 \\ 0,7& 0 & 0 &0 \\ 0,1&0,45&0,34&0,94\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} A \\ B \\ C \\D\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

dies Matrixendarstellung beschreibt einen täglichen Austauschprozess zwischen den Zuständen A,B,C und D.

Was stellt hier der $\begin{eqnarray*} \vec{y} \end{eqnarray*}$ bzw. der "ABCD-Vektor" dar?

$\begin{eqnarray*} \vec{y} \end{eqnarray*}$ müsste demnach die Anzahl von Etwas sein, zum Beispiel von Besuchern nach einem Tag und der Vektor ABCD stellt die Anzahl an Tag 0 dar.

a)ZU Beginn der Beobachtung sind die Zustände A mit 10%, B mit 30% und C mit 5% belegt. Berechnen Sie die Anteile der Zustände nach einem Tag und nach 3 Tagen.

also
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} A \\ B \\ C \\ D \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0,1 \\ 0,3 \\ 0,05 \\ 0,55\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

dan einfach eingesetzt ergibt sich der Anteil der ZUstände nach einem Tag.

um das nach 3 tagen zu berechnen muss man die MAtrix entweder *3 oder ³ nehmen, kann das sein?

vielen dank smile

29.08.2007, 14:43

WebFritzi

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³, ja.

29.08.2007, 14:54

_Tina_

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wie kann ich den überleitenden kommenat formulieren?
also zu a)

und ich nehme die quadratische matrix ³...?

29.08.2007, 15:09

klarsoweit

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Zitat:

Original von _Tina_
wie kann ich den überleitenden kommenat formulieren?
also zu a)

Ähh? Wie, wo, was?

Zitat:

Original von _Tina_
und ich nehme die quadratische matrix ³...?

Du kannst auch das Ergebnis des ersten Tages mit der Matrix multiplizieren und dann das ganze nochmal.

29.08.2007, 15:55

NiemehrSchule

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Interpretation
Hallo,
der Vektor ABCD stellt die Zustände dar. Sei Deine Matrix bzw. Übergangsmatrix definiert mit

$\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} \vec{x_k} = \begin{pmatrix} A_k \\ B_k \\ C_k \\ D_k \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

der Anteil der vier Zustände am k-ten Tag. Dann ist

$\begin{eqnarray*} \vec{x_0} = \begin{pmatrix} A_0 \\ B_0 \\ C_0 \\ D_0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0,1 \\ 0,3 \\ 0,05 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

der Anteil der Zustände zu Beginn. Nach dem ersten Tag ist:

$\begin{eqnarray*} A \cdot \vec{x_0} = \vec{x_1} \end{eqnarray*}$

Nach dem 2. Tag

$\begin{eqnarray*} A \cdot \vec{x_1} = \vec{x_2} \end{eqnarray*}$

oder

$\begin{eqnarray*} A \cdot A \cdot \vec{x_0} = \vec{x_2} \end{eqnarray*}$

wie man leicht sieht.

Die Austauschmatrix (Übergangsmatrix) beschreibt den Zufluss bzw. Abfluss (Zustandsübergang). Die erste Zeile beschreibt den Zufluss zu Zustand A, also 0,2A + 0,05B + 0,655C + 0D bedeutet:
20% verbleibt bei Zustand A, 5% fliesst von B nach A, 65,5% fliesst von C nach A und von D nichts.
Die 2. Zeile beschreibt den Zufluss zu B usw.
Die Spalten geben Auskunft über den Abfluss.
Spalte 1 gehört zu Zustand A, also 20% fliesst von A nach A, von A nach B fliesst nichts, 70% fliesst von A nach C und 10% von A nach D. Zu bemerken ist noch dass die Summe der einzelnen Spalten gleich 1 (100%) ist. Aus diesen Informationen lässt sich ein Zustandsgraph zeichnen, der bei der Lösung der Aufgabe hilfreich sein kann.

29.08.2007, 16:04

_Tina_

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danke, das ist lieb, besonders die erklärung der einzelnen zeilen ;

EDIT: also handelt es sich bei diesem vorgang auch nicht um eine stationäre verteilung, korrekt?

29.08.2007, 17:45

WebFritzi

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Zitat:

Original von _Tina_
EDIT: also handelt es sich bei diesem vorgang auch nicht um eine stationäre verteilung, korrekt?

Dasmusst du schon selber ausrechnen. Stationär wäre die Verteilung IMHO, wenn $\begin{eqnarray*} Ax_0 = x_0 \end{eqnarray*}$ wäre.

30.08.2007, 18:44

Ben Sisko

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Zitat:

Original von WebFritzi

Zitat:

Original von _Tina_
EDIT: also handelt es sich bei diesem vorgang auch nicht um eine stationäre verteilung, korrekt?

Dasmusst du schon selber ausrechnen. Stationär wäre die Verteilung IMHO, wenn $\begin{eqnarray*} Ax_0 = x_0 \end{eqnarray*}$ wäre.

Und beachte dabei, dass dies natürlich von $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ abhängt, m.a.W.: Für eine bestimmte Anfangsverteilung kann der Prozess stationär sein, für eine andere nicht.

Gruß vom Ben

30.08.2007, 19:46

_Tina_

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danke für die posts smile

-> spaltensumme ist 1
-> quadratische matrix
-> rechnung liefert den beweis dafür, dass es sich idf um stationäre verteilung handelt

vielen dank

edit: @ ben, danke, das musste ich noch gar nicht, kannst du mir ein gegenbeispiel geben?

wenn ihr sonst noch schöne Matrizenaufgaben habt, auch gern welche, die mit weiterverarbeitungsprozessen zu tun haben, immer her damit Augenzwinkern

30.08.2007, 19:52

Ben Sisko

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Probiers doch einfach mal mit einer anderen Anfangsverteilung, z.B. $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ Augenzwinkern

30.08.2007, 19:57

_Tina_

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ok, das passt nciht.

kannst du mir auch noch erklären, warum das so ist bzw woran man das schnell erkennen kann

30.08.2007, 20:19

Ben Sisko

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schnell erkennen, ob eine Verteilung stationär ist? Einfach ausprobieren...

Bestimmen ob es eine stationäre Verteilung gibt, wird etwas komplizierter, das macht man über Eigenwerte. Aber vielleicht führt das für dich schon zu weit, in welchem Rahmen behandelst du das Thema?

Gruß vom Ben

30.08.2007, 20:25

_Tina_

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Abitur 2008 smile

wir haben allerdings auch gerade erst mit dem Thema begonnen und ich hoffe nicht, dass wir das zusehr vertiefen werden...

Immerhin steht noch die ganze Stockastik aus.

30.08.2007, 20:27

Ben Sisko

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Denk ich auch nicht. Wichtig ist v.a. dass du dir unter den Begriffen etwas vorstellen kannst und weißt, was inhaltlich hinter dem steckt, was du da rechnest.

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quadratische Matrix, diverse Prozesse

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