Diskrete Topologie |
| 29.08.2007, 15:15 | Firefox2000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
| Diskrete Topologie Ich hab eine Frage: Ist die diskrete Topologie die einzige Hausdorffsche Topologie auf einer endlichen Menge? Ich würde sagen nein: Als Gegenbeispiel wähle man einen einelementigen Raum, so dass diskrete und triviale Topologie übereinstimmen. Aber: Kann ein einelementiger Raum überhaupt noch ein Hausdorff-Raum sein? Ich kann ja nicht zwei Punkte trennen, da ich ja nur einen Punkt habe? Danke und Gruß Firefox2000 |
||||||||
| 29.08.2007, 17:20 | WebFritzi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Es gibt keine zwei Punkte, die zu trennen sind. Also ist der Raum Hausdorffsch. |
||||||||
| 30.08.2007, 15:24 | Soliton | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: Diskrete Topologie
M. E. jo. Du mußt nur zeigen, daß auf einer endlichen Menge M in einer Topologie, die hausdorffsch ist, für jedes x aus M die Menge {x} offen ist. Nimm Dir einen Punkt x. Bilde den Durchschnitt über alle offenen Umgebungen von x. Dieser ist endlich, also offen. Wie muß der Durchschnitt aber n. V. aussehen? |
||||||||
| 31.08.2007, 17:35 | Firefox2000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Ich glaube so richtig verstehe ich deine Frage nicht. Vielleicht meinst du, dass der Durschnitt genau die Menge {x} ergibt, begründen kann ich dies allerdings nicht. Und falls das richtig wäre, dann weiss ich nicht wie damit die Frage beantwortet wird, ob nun die diskrete Topologie die einzige Hausdorffsche Topologie auf einer endlichen Menge ist? Kann ich denn nicht einfach mit dem Gegenbeispiel von oben argumentieren? Danke |
||||||||
| 31.08.2007, 18:32 | WebFritzi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Nimm an, dass es noch einen zweiten Punkt y ausser x in diesem Durchschnitt gibt. Nun benutze die Hausdorff-Eigenschaft, um zu zeigen, dass das nicht sein kann. |
||||||||
| 31.08.2007, 20:59 | Soliton | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Ja, genau das meine ich. Begründung: siehe WebFritzis Hinweis.
Nun, bis hierhin hättest Du dann gezeigt, daß in jeder Topologie auf einem endlichen Raum, die hausdorffsch ist, alle einelementigen Mengen offen sind. Jetzt mußt Du dies nur noch mit Deiner Definition von "diskrete Topologie" vergleichen, dazwischen dürfte wirklich nicht mehr viel liegen.
Das ist hier kein Gegenbeispiel. In Deinem Beispiel ist die Topologie gerade die diskrete. Daß sie zusätzlich auch noch einer anderen Topologie entspricht, die nicht i. a. die diskrete ist, hilft Dir nicht. Du bräuchtest als Beispiel einen endlichen HDR, dessen Topologie NICHT (auch) die diskrete ist. Ein solches Beispiel kann es aber nicht geben. 
|
||||||||
| Anzeige | ||||||||
|
|
||||||||
| 31.08.2007, 21:28 | Firefox2000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Vielen Dank für eure Hilfe
Ich hoffe der Beweis ist in Ordnung: Sei X endlich und trage eine Topologie, die Hausdorffsch ist. Sei und alle offenen Umgebungen von x. Es gilt: ist offen in X (I ist endlich, da X endlich, also ein endlicher Durschnitt). z.z.: Annahme: Da X Hausd. ist, existieren offene disjunkte Umgebungen . Aber: . Ok, jetzt weiß man, dass in X alle einelementigen Mengen offen sind, und damit auch alle anderen (als Vereinigung der einelem. Mengen). Das heißt X trägt die diskrete Topologie. |
||||||||
| 31.08.2007, 21:34 | Soliton | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Abgesehen davon, daß ich die Formulierung als Widerspruchsbeweis etwas umständlich finde (man kann einfach y <> x nehmen und direkt zeigen, daß dann y nicht im Durchschnitt liegt, aber das ist für mich nur eine Stilfrage): Yippie!
|
||||||||
| 01.09.2007, 00:50 | Soliton | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Ergänzung: Dein "aber" paßt so nicht wirklich. Entscheidend ist ja nicht, daß (Dein) U_x auch eine Umgebung von x ist, sondern daß es y nicht entrhält, so daß y nicht in dem Schnitt liegen kann. Das ist der "Widerspruch" bzw. w. z. z. w. Wenn Du andererseits mit dem "aber"-Teil zeigen willst, daß zumindest x im Schnitt liegt, dann ist das weder nötig und, wenn Du dies demnach nicht für trivial hälst, ist auch nicht ausreichend, daß U_x eine Umgebung von x ist. Ich würde es daher doch lieber so formulieren:
Ich würde unnötige Objekte bzw. Bezeichner (wie hier U_y) vermeiden. |
||||||||
| 01.09.2007, 01:30 | WebFritzi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Ich finde, es ist schon OK, wie er /sie es geschrieben hat. |
||||||||
| 01.09.2007, 12:53 | Soliton | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Über Geschmack läßt sich nicht streiten.
|
||||||||
|
|
Verwandte Themen
| Die Beliebtesten » |
| Die Größten » |
| Die Neuesten » |
|
