Konvergenz Fibonaccifolge gegen Phi

30.08.2007, 22:16

Snowfan

Konvergenz Fibonaccifolge gegen Phi

Die Fibonacci-Folge ist ja eng mit der Verhältnisszahl des Goldenen Schnittes verwandt. Dividiert man die jeweils größere Zahl durch die kleinere, vorhergehende Zahl, so nähern sich die Quotienten immer mehr der Zahl 1,618... (im Folgenden genannt "G") an. Diese Konvergenz soll im folgenden Beweis gezeigt werden.
Bin mir nicht sicher, ob ich das nun so alles richtig verstanden habe bzw. obs logisch aufgebaut ist. Könnte bitte mal einer (oder mehrere) drüberschauen, ob der Beweis so logisch geführt ist?
Danke!

Here we go:

Von der Folge $\begin{eqnarray*} \frac{f_{2}}{f_{1}} , \frac{f_{3}}{f_{2}}, \frac{f_{4}}{f_{3}}... \end{eqnarray*}$ soll gezeigt werden, dass sie gegen G konvergiert.

Anders dargestellt:

$\begin{eqnarray*} x_{n}=\frac{f_{n+1}}{f_{n}} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} n\geq 1 \end{eqnarray*}$

1. Schritt:
Zu zeigen: $\begin{eqnarray*} x_{n}=1+\frac{1}{x_{n-1}} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} n \geq 2 \end{eqnarray*}$

Diese Behauptung gilt, denn:

$\begin{eqnarray*} 1+\frac{1}{x_{n-1}} = 1+\frac{f_{n-1}}{f_{n}}=\frac{f_{n}+f_{n-1}}{f_{n}}=\frac{f_{n+1}}{f_{n}}=x_{n} \end{eqnarray*}$

2. Schritt:
zu zeigen: $\begin{eqnarray*} \mid G-x_{n} \mid = \frac{\mid G-x_{n-1} \mid }{(G*x_{n-1}) } \end{eqnarray*}$

Diese Behauptung gilt, denn:

$\begin{eqnarray*} G-x_{n} = 1+\frac{1}{G}- (1+\frac{1}{x_{n-1}}) = \frac{1}{G} - \frac{1}{x_{n-1}} = \frac{(x_{n-1}-G)}{G*x_{n-1} } \end{eqnarray*}$

Diese Gleichung liefert die zu zeigende Gleichung, da G und $\begin{eqnarray*} x_{n-1} \end{eqnarray*}$ positiv sind.

Des Weiteren folgt durch $\begin{eqnarray*} x_{n-1}\geq 1 \end{eqnarray*}$ die Ungleichung $\begin{eqnarray*} \mid G-x_{n} \mid \leq \frac{\mid G-x_{n-1} \mid}{G} \end{eqnarray*}$ . Diese wird in Schritt 3 benötigt:

3. Schritt:
zu zeigen: $\begin{eqnarray*} \mid G-x_{n} \mid \leq \frac{\mid G-x_{2} \mid}{G^{n-2}} \end{eqnarray*}$

Druch die oben erwähnte Ungleichung ergibt sich:

$\begin{eqnarray*} \mid G-x_{n} \mid \leq \frac{\mid G-x_{n-1} \mid}{G} \leq \frac{\mid G-x_{n-2} \mid}{G*G}\leq \frac{\mid G-x_{n-3} \mid}{G*G*G}\leq ...\leq \frac{\mid G-x_{2} \mid}{G^{n-2}} \end{eqnarray*}$

Da $\begin{eqnarray*} G > 1 \end{eqnarray*}$ ist, wird so $\begin{eqnarray*} \mid G-x_{n} \mid \end{eqnarray*}$ mit wachsendem $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ beliebig klein. Dadurch nähert sich $\begin{eqnarray*} x_{n} \end{eqnarray*}$ der Zahl $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ beliebig nahe an. Dies bedeutet aber nichts anderes, als das die Folge $\begin{eqnarray*} x_{n}=\frac{f_{n+1}}{f_{n}} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} n\geq 1 \end{eqnarray*}$ den Grenzwert $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ hat und damit gegen $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ konvergiert.

30.08.2007, 23:42

Calvin

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RE: Konvergenz Fibonaccifolge gegen Phi
Ich habe mal drübergeschaut. Bin nicht ganz so fit mit Fibonacci und dem GS. Deshalb fehlen für mich ein paar Anmerkungen. Nach kurzen Ausflügen zu wikipedia war es aber verständlich.

Im Beweis des zweiten Schritts würde ich noch Betragsstriche drumsetzen. Dann hast du gleich die Aussage aus der Behauptung.

Ansonsten kann ich keine Fehler entdecken. Hast du das genau so in deiner Arbeit geschrieben?

31.08.2007, 02:35

WebFritzi

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Und Schulmathe ist das mal gar nicht...

31.08.2007, 14:01

Snowfan

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RE: Konvergenz Fibonaccifolge gegen Phi

Zitat:

Original von Calvin
Im Beweis des zweiten Schritts würde ich noch Betragsstriche drumsetzen. Dann hast du gleich die Aussage aus der Behauptung.

Alles klar, hab ich gemacht.

Zitat:

Original von Calvin
Ansonsten kann ich keine Fehler entdecken. Hast du das genau so in deiner Arbeit geschrieben?

Den Beweis? Ja, schon. Den habe ich so geschrieben. Klar gibts da etwas Vor- und Nachgeplänkel.

Zitat:

Original von WebFritzi
Und Schulmathe ist das mal gar nicht...

Ich dachte wegen Konvergenz und Folge. Naja, dann eben danke fürs Verschieben.

Danke auch an Calvin fürs drübergucken.
Wink

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