80% der Züge am Bahnhof

30.08.2007, 22:19

kunsel

80% der Züge am Bahnhof

Ich habe da mal eine Frage, bzw. zwei - habe nämlich das Problem, dass ich mit folgenden Aufgaben überhaupt nichts anzufangen weiß.

Die erste
Angenommen, 80% alles Züge an einem Bahnhof fahren ohne Verspätung ab.
Entwirf eine Simulation, mit der du herausfinden kannst, wie groß die Wahrscheinlichkeit ist, dass drei zufällig ausgewählte Züge rechtzeitig abfahren.

Die zweite
Gib je ein Zufallsexperiment an, bei dem man die Wahrscheinlichkeit für ein Ereignis
- als Schätzwert über die relative Häufigkeit
- theoretisch als Laplace-Wahrscheinlichkeit
bestimmen kann. Was sind die Vorraussetzung für die Berechnung bei beiden Fällen?

Würde mich sehr freuen, wenn mir da mal jemand hilft und mir das verständlich erklären kann. Danke sehr schonmal im Vorraus. smile

30.08.2007, 23:40

Leopold

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$\begin{eqnarray*} 80 \, % = \frac{4}{5} \end{eqnarray*}$

Nimm einen Behälter mit 5 verdeckten Kugeln, 4 davon grün (pünktlicher Zug) , 1 rot (verspäteter Zug). Jetzt ziehe ohne hinzuschauen drei Kugeln. Nach jedem Zug legst du die Kugel zurück. Wenn die drei gezogenen Kugeln alle grün waren, freust du dich und machst ein Pluszeichen auf dein Blatt. Wenn auch nur eine der drei Kugeln rot war, machst du ein Minuszeichen.

Und diesen Vorgang wiederholst du hundert-, nein!, hunderttausendmal. Du hast dann hunderttausend Plus- oder Minuszeichen auf deinem Blatt. Jetzt zählst du die Anzahl $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ der Pluszeichen. Dann ist die relative Häufigkeit $\begin{eqnarray*} k / 100000 \end{eqnarray*}$ ein Näherungswert für die gesuchte Wahrscheinlichkeit.

Und wenn du ein bißchen programmieren kannst, läßt du die Fleißarbeit am besten durch deinen Computersklaven machen ...

31.08.2007, 11:52

Zellerli

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Für Programmierlaien empfielt sich da Excel:

Vor dem Eingeben musst du über Extras-->Add-Ins die Analyse Funktion und die Analyse Funktion VBA ankreuzen.

Und hier die Anleitung (weil ich heute scheinbar zu viel Zeit habe Augenzwinkern

):

In eine Zelle (Bsp A1) schreibst du: =ZUFALLSBEREICH(1;5)
Damit werden gleichwahrscheinliche, ganzzahlige Zufallszahlen von [1;5] erstellt (jede hat also eine Wahrscheinlichkeit von 20%).
Jetzt ziehst du an diesem kleinen Quadrat unten rechts den Zelleninhalt von A1 in die benachbarten Zellen B1 und C1.

Als nächstes brauchst du eine Prüfezelle:
In eine Zelle (Bsp A2) schreibst du: =WENN(A1=1;1;0)
Der Befehl überprüft, ob der Inhalt der Zelle A1 gleich 1 ist (das steht für einen Zug mit Verspätung) und gibt dann eine 1 aus, sonst eine 0.
Auch den Inhalt dieser Zeller überträgst du mit "ziehen und erweitern" in die benachbarten Zellen B2 und C2. Die zu überprüfende Zelle passt sich automatisch an, so wird z.B. in B2 die Zelle B1 überprüft.

Nun soll überprüft werden ob alle drei Züge (alle drei Zellen) keine Verspätung hatten (ungleich 1 waren).
Dazu macht du eine Summenzelle. In D2 schreibst du: =SUMME(A2:C2)
Damit wird die Summe der drei Prüfzellen ausgegeben. Wenn sie 0 ist, ist der Durchgang frei von Verspätungen.

Weil wir hier Schritt für Schritt vorgehen machst du erst jetzt eine weitere Prüfzelle. Nehmen wir B4. Hier schreibst du: =WENN($D$2=0;1;0) durch diese $-Zeichen werden die zu überprüfenden Zellkoordinaten nicht mitverschoben, wenn du die Prüfausgabezelle verschiebst.

Schreibe nun noch in die Zelle C4 eine 1. Wirst nachher sehen warum.

Jetzt brauchst du ein Makro:
Versuche zuerst ganz am oberen, linken Rand mit der Ansicht zu sein. So verhinderst du später im MakroVB-Skript unschöne Scrolleffekte.
Gehe auf Extras --> Makro --> Aufzeichnen
Name: Stichprobe_drei Tastenkürzel: Strg + a
Alles was du jetzt machst wird aufgezeichnet.
Markiere die benachbarten Zellen B4 und C4. Wähle Rechtsklick --> kopieren
Markiere jetzt die leeren, benachbarten Zellen B6 und C6. Wähle Rechtsklick --> Inhalte einfügen Kreuze an: Einfügen: "Werte" und Vorgang: "Addieren".

Beende das Makro mit Klick auf das "Stop" Zeichen im kleinen Makrofenster.

Damit wärs dann getan Augenzwinkern

Jedesmal wenn du Strg+a drückst, wird eine Stichprobe gezogen. Die Zelle C6 zählt die Stichproben, die Zelle B6 zählt die verspätungslosen Stichproben.

Zurücksetzen ganz unspektakulär durch Löschen der Zellinhalte B6 und C6.

Für die von Leopold angesprochene relative Häufigkeit ergibt sich in dieser Simulation: $\begin{eqnarray*} \frac{Inhalt_{B6}}{Inhalt_{C6}} \end{eqnarray*}$

Alle Excel- und VisualBasic-Junkies mögen sich zurückhalten, denn eine elegantere Lösung erfordert Eingriff in das VB Makroskript, den ich hier weglassen wollte.

31.08.2007, 12:35

Zakum

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Eine möglichkeit, die Ergebnisse nachzuprüfen, bzw. leicht zu programieren ist übrigens sehr gut unter

http://de.wikipedia.org/wiki/Binomialverteilung

beschrieben.
Das ist so gut erklärt, dass ich es unterlasse das nochmal nach zu erzählen.

31.08.2007, 23:31

kunsel

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Erst einmal herzlichen Dank euch allen, habe die erste Aufgabe jetzt auch verstanden. smile

Habe das ganze im übrigen mit einem PHP-Skript gelöst.

Kurze Erläuterung:

Zitat:

Das Problem wurde mit Hilfe einer Computersimulation gelöst.
Die Simulation verwendet statt der oben 5 genannten Kugeln (4 grüne, 1 rote) 5 Zahlen.
Die Zahl 5 stellt dabei die rote Zahl dar, also den verspäteten Zug.

Die Computersimulation ist wie folgt programmiert:
- Erst einmal wird eine Zahl zwischen 1 und 5 gewählt.
- Ist die Zahl 5 (also rote Kugel) beginnt die Simulation erneut
- Ist die Zahl nicht 5 so fährt sie mit dem zweiten Durchgang fort und wählt erneut eine Zahl zwischen 1 und 5.
- Dies wiederholt sich bis zur dritten Auswahl.
- Ist keine der Zahlen 5, wird eine 1 notiert.

Die Simulation wiederholt sich von selbst 100.000 mal.
Die 1en welche die Simulation geschrieben hat werden in Microsoft Word kopiert.
Dort wird dann mit Hilfe der „Wort zählen“ – Funktion geprüft, wie viele Zeichen bzw. 1en das Dokument enthält.

Ich hoffe sehr, dass ich da jetzt auch keinen Denkfehler gemacht habe. smile

Und dann möchte ich das PHP-Skript für alle interessierten natürlich nochmal posten. Vielleicht braucht es ja mal jemand. Vorrausgesetzt ich habe keinen Denkfehler begangen. smile

php:

1:
2:
3:
4:
5:
6:
7:
8:
9:
10:
11:
12:
13:
14:
15:
16:
17:
18:
19:
20:
21:
22:
23:
24:
25:

<?php

while($count < 100000)
{
$count++;

/* Hier wird die Zufallsrechnung gemacht */
srand(microtime()*1000000);
$zufall1 = rand(1,5);
$zufall2 = rand(1,5);
$zufall3 = rand(1,5);

if($zufall1 == "5")
{ } else {

if($zufall2 == "5")
{ } else {

if($zufall3 == "5")
{ } else { echo "1"; }
/* Hier wird die Zufallsrechnung gemacht */
}
}
}
?>

Ich weiß, ist nicht die hübscheste Art, aber es ging schnell smile

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