Teiler von ...

31.08.2007, 13:20

Bill

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Teiler von ...

Hallo,

ich sitze gerade vor einer aufgabe und ich verstehe sie von der Logik nicht.

gegeben : x,y,q,t € Z (ganze zahlen) Ich soll alle x,y in eine Menge reintun für die gilt . q ist ein teiler von x - y . Ich habe mir das so überlegt:

(x - y) / q = t . Jetzt zu dem problem. Soll das jetzt heißen das es für alle 'x - y'- ausdrücke ein q in Z gibt ? oder hab ich da was nicht bedacht.

Ich würde mich freuen wenn mir jemand helfen könnte

grüßle bill

31.08.2007, 13:23

therisen

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Poste mal die genaue Aufgabenstellung.

31.08.2007, 13:36

Bill

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x,y,q,t € Z

Wir definieren eine Relation B, indem wir xBy setzen, wenn q ein Teiler von

x -y ist.

Gesucht sind x und y die in der Relation enthalten sind
______________________________________

mein ansatz war über die gleichung (x - y) / q = t

aber da kommt glaube ich raus das für jeden 'x-y' ausdrück ein solches q existiert

31.08.2007, 13:39

WebFritzi

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Ich würd's so schreiben:

$\begin{eqnarray*} B = \{(y + kq, y) : y,k\in\mathbb{Z}\}. \end{eqnarray*}$

31.08.2007, 13:42

Bill

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mir gehts jetzt speziell um die gleichung. Das ist doch die aussage der gleichung das es zu jedem ausdruck ein q gibt . mir gehts weniger um die aufgabe

31.08.2007, 13:43

WebFritzi

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Zitat:

Original von Bill
Das ist doch die aussage der gleichung das es zu jedem ausdruck ein q gibt .

Deutsche Sprache, schweeere Sprache...

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31.08.2007, 13:43

therisen

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Nein, q ist fest.

31.08.2007, 13:51

Bill

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wie kann q fest sein? wenn man z.b. annimmt das q=4 gilt .es gilt für (7-3)/4

aber (7-2)/4 gilt es nicht

31.08.2007, 13:56

therisen

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Ja und wo ist das Problem?

31.08.2007, 14:05

Bill

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das würde heißen: je nach dem wie ich mein q wähle sieht die Menge anders aus oder?

ich versteh irgentwie grad net ,woraus folgen soll das q fest ist

31.08.2007, 14:09

therisen

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Zitat:

Original von Bill
das würde heißen: je nach dem wie ich mein q wähle sieht die Menge anders aus oder?

Ja, natürlich.

Zitat:

Original von Bill
ich versteh irgentwie grad net ,woraus folgen soll das q fest ist

Nun, da kann man dir nicht helfen. Das steht so in der Aufgabenstellung. Wie Webfritzi schon sagte: Du hast ein sprachliches Problem, nicht unbedingt ein mathematisches Augenzwinkern

Augenzwinkern

31.08.2007, 14:18

Bill

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na gut dann halt net...

31.08.2007, 14:30

therisen

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Liegt aber auch daran, dass die Aufgabenstellung miserabel ist. Ich kann mir kaum vorstellen, dass die im Original so lautet. Die Variable t wird überhaupt nicht verwendet.

01.09.2007, 16:06

Bill

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$\begin{eqnarray*} B = \{(y + kq, y) : y,k\in\mathbb{Z}\}. \end{eqnarray*}$

Ist die Relation die der WebFritzi hingeschrieben hat wenigstens eine Äquivalenzrelation? Meiner Meinung nach nicht da sie nicht Symmetrisch sondern Antisymmetrisch ist.

Wenn (kq +b,b) € B ist kann doch (b,kq +b) nicht element der Relation B sein,oder etwa doch?

01.09.2007, 16:51

therisen

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Doch, es ist eine Äquivalenzrelation. Man kann B auch so schreiben:

$\begin{eqnarray*} B=B_q=\{(x,y)\in\mathbb Z^2|~ \exists t\in\mathbb Z: x-y=tq\} \end{eqnarray*}$

Reflexivität und Symmetrie sind klar. Bleibt nur noch die Transitivität zu zeigen.

Gruß, therisen

01.09.2007, 17:33

Bill

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ich muss doch hier zeigen das (x,y) element der Relation ist, also die gleichung erfüllt(und das ist genau dann der fall wenn (qk+y,y)=(x,y)) . Dann muss ich das auch für (y,x) zeigen. aber für (y,qk+y) geht die gleichung nicht auf.

da kommt raus k = - k und das ist nur der fall wenn k = 0 und somit x und y gleich?!?!

01.09.2007, 17:43

WebFritzi

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Beachte, dass k nicht fest ist.

01.09.2007, 19:28

Bill

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... schon wieder das mit dem k. ich verstehe irgentwie nicht das es so einen großen unterschied macht ob das k fest ist oder nicht. Könnte mir bitte jemand erklären was es mit diesem k auf sich hat. ich glaube nicht das ich von selber darauf komme.

01.09.2007, 19:30

Bill

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kann es sein das bis zu der stelle wo steht das k = 0 ist alles stimmt?

01.09.2007, 19:47

therisen

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Setzt man $\begin{eqnarray*} k=0 \end{eqnarray*}$ , dann folgt $\begin{eqnarray*} (y,y)\in B \end{eqnarray*}$ (Reflexivität).

Gilt $\begin{eqnarray*} (y+kq,y)\in B \end{eqnarray*}$ , dann ist auch $\begin{eqnarray*} (y,y+kq)=(\underbrace{y+kq}_z\underbrace{-k}_mq, \underbrace{y+kq}_z)=(z+mq, z)\in B \end{eqnarray*}$ .

Die Transitivität solltest du jetzt zeigen können.

Gruß, therisen

01.09.2007, 23:35

Bill

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Also so wie du das in deiner 2 zeile gemacht hast hab ich das auch gemacht. Bloß dachte ich das meins falsch wäre wegen -k. Als du -k durch m ersetzt hast meintest du da das es sich nicht um das gleiche k wie in $\begin{eqnarray*} (y+kq,y)\in B \end{eqnarray*}$ handelt?

Meinte WebFritzi das damit, das k nicht fest ist?

gruß bill.iard

01.09.2007, 23:59

therisen

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Zwischen -k und k ist i.a. ein Unterschied - also $\begin{eqnarray*} m\neq k \end{eqnarray*}$ (das ist damit gemeint, dass k variabel ist). Das m habe ich so gewählt, damit ein + davor steht.

02.09.2007, 00:14

Bill

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Ich habe die Symmetrie so verstanden: wenn (a,b) € R dann folgt daraus das (b,a) € R und das a im 1.sten paar ist gleich dem aus dem 2 paar und das b ist aus dem 1.sten ist das gleiche wie im 2.ten. Wenn man jetzt aber soviel

an dem paar $\begin{eqnarray*} (y+kq,y)\in B \end{eqnarray*}$ verändert , ergibt das für mich keinen Sinn das man damit die Symmetrie gezeigt hat. Das ist das problem für mich.

noch etwas: Was hat das q so besonderes an sich das es als fest angesehen wird und das k ist variabel . Was ist der Unterschied zwischen den beiden. Ich weiß nicht vielleicht habt ihr sehr viel mehr erfahrung als ich das es für euch irgentwie gleich klar ist aber ich sehe den Sinn eben nicht.

viele grüße

Bill

02.09.2007, 00:20

therisen

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Zitat:

Original von Bill
Ich habe die Symmetrie so verstanden: wenn (a,b) € R dann folgt daraus das (b,a) € R und das a im 1.sten paar ist gleich dem aus dem 2 paar und das b ist aus dem 1.sten ist das gleiche wie im 2.ten.

Ja. Das habe ich auch oben geschrieben (schau ganz links von $\begin{eqnarray*} \in B \end{eqnarray*}$ ).

Zitat:

Original von Bill
Wenn man jetzt aber soviel

an dem paar $\begin{eqnarray*} (y+kq,y)\in B \end{eqnarray*}$ verändert , ergibt das für mich keinen Sinn das man damit die Symmetrie gezeigt hat. Das ist das problem für mich.

Das ist alles im Bereich des Erlaubten. Die Definition der Relation gibt das her.

Zitat:

Original von Bill
noch etwas: Was hat das q so besonderes an sich das es als fest angesehen wird und das k ist variabel . Was ist der Unterschied zwischen den beiden. Ich weiß nicht vielleicht habt ihr sehr viel mehr erfahrung als ich das es für euch irgentwie gleich klar ist aber ich sehe den Sinn eben nicht.

Das hat algebraische Gründe.

02.09.2007, 00:22

Bill

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ok dann werd ich mal bis morgen gucken das ich den rest verstehe
gute nacht!

02.09.2007, 00:27

Soliton

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Zitat:

Original von Billnoch etwas: Was hat das q so besonderes an sich das es als fest angesehen wird und das k ist variabel . Was ist der Unterschied zwischen den beiden. Ich weiß nicht vielleicht habt ihr sehr viel mehr erfahrung als ich das es für euch irgentwie gleich klar ist aber ich sehe den Sinn eben nicht.

Der Unterschied ergibt sich aus der Aufgabenstellung:

q ist dadurch ausgezeichnet, daß es Teiler der besagten Differenz sein soll. Man muß die - insoweit unklare - Aufgabenstellung so auslegen, daß q ein beliebiger, aber fester Wert (aus IN) sein soll, weil andernfalls, worauf Du selbst anfangs bereits hingewiesen hattest, die Bedingung, welche die Relation definiert, trivial wäre: Denn jede Differenz natürlicher Zahlen läßt sich durch irgendeine natürliche Zahl teilen. Die Relation wäre dann IN x IN (oder IZ x IZ).

k hingegen tritt erst als willkürlich eingeführter Hilfsparameter im Beweis auf. Wenn Du es verfolgst, stellst Du fest, daß WebFritzi ihn erstmalig eingeführt hat. Also mußt Du gucken, mit welcher Intention er das getan hat - bzw. welche Eigenschaften WebFritzi dem k bei Einführung mitgegeben hat. WebFritzi ging es darum, die Teilbarkeit zu formalisieren. Wann ist eine natürliche Zahl a (oder das hier betrachtete x-y) durch eine natürliche Zahk q teilbar, was heißt Teilbarkeit? Wenn das Ergebnis wieder eine natürliche bzw. ganze Zahl ist, wenn die Division aufgeht. Also genau dann, wenn es eine natürliche Zahl k gibt (bzw. eine ganze Zahl, falls negative Divisoren betrachtet werden, wenn also x-y auch negativ sein kann), so daß

a = kq.

An dieser Stelle wird k zwar festgelegt, und zwar durch den Wert von a:

k = a/q.

Für ein anderes a (oder ein anderes x-y) ergibt sich aber ein anderes k.

Auf den jeweiligen Wert von k kommt es nicht an, solange wir nur über Teilbarkeit reden. Lediglich darauf, daß k immer ganz ist. Darum, weil wir also nicht nur über eine Differenz x-y reden wollen, sondern über viele, müssen wir für jede Differenz ein anders k ermöglichen.

Dann ist z. B.

x-y = kq, also k = (x-y)/q, und

y-x = k'q, also k' = (y-x)/q.

Zusammen: k = - k'.

An dieser Stelle hast Du irrtümlich geschlossen, daß k = 0 sein müsse, weil Du - stillschweigend - k = k' gesetzt hast.

02.09.2007, 14:17

Bill

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@ Soliton danke für die ausführliche Erklärung . Das hab ich jetzt begriffen.

das was mir noch fehlt ist:

@Zitat:
Original von Bill
Wenn man jetzt aber soviel
an dem paar $\begin{eqnarray*} (y+kq,y)\in B \end{eqnarray*}$ verändert , ergibt das für mich keinen Sinn das man damit die Symmetrie gezeigt hat. Das ist das problem für mich.
Das ist alles im Bereich des Erlaubten. Die Definition der Relation gibt das her.

Also ich hab schon verstanden das diese umformungen keine Regeln verletzten. (Gilt $\begin{eqnarray*} (y+kq,y)\in B \end{eqnarray*}$ , dann ist auch $\begin{eqnarray*} (y,y+kq)=(\underbrace{y+kq}_z\underbrace{-k}_mq, \underbrace{y+kq}_z)=(z+mq, z)\in B \end{eqnarray*}$ )

Es gilt : $\begin{eqnarray*} (y+kq,y) \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \neq \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} (z+mq,z) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (y,y+kq) \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} (z+mq,z) \end{eqnarray*}$

Also du hast praktisch das Paar (y,y+kq) äquivalent umgeschrieben in die Form der paare die auf jeden Fall in der Menge liegen. Daraus folgt dann das es in der Menge liegt.

02.09.2007, 14:52

therisen

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Zitat:

Original von Bill
Also du hast praktisch das Paar (y,y+kq) äquivalent umgeschrieben in die Form der paare die auf jeden Fall in der Menge liegen. Daraus folgt dann das es in der Menge liegt.

Ja, genau.

02.09.2007, 15:00

Soliton

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EDIT: @Therisen: Sorry, hat sich überschnitten.

Auch wenn ich nicht gefragt war:

Zitat:

Original von Bill
Also du hast praktisch das Paar (y,y+kq) äquivalent umgeschrieben in die Form der paare die auf jeden Fall in der Menge liegen. Daraus folgt dann das es in der Menge liegt.

Richtig. Streng genommen also so:

Gegeben ist (a; b) aus B. Zu zeigen: (b; a) aus B.

Wenn (a; b) aus B ist, dann wissen wir, daß es so aussieht:

(a; b) = (y + kq; y)

mit geeigneten y (nämlich b) und k (dazu passend, ganze Zahl).

Dann ist

(b; a) = (y; y + kq) (wegen oben), und das ist = ... (s. o.) = (z + mq, z)

mit geeignetem z (nämlich y + kq) und m (nämlich -k).

(Man hätte es auch bei (z -kq, z) lassen können, also hätte man -k nicht durch m ersetzen müssen).

Der rechten Seite sehen wir aber sofort an, daß sie in B liegt.

- Also genau so, wie Du es verstanden hast.

Es geht bei Aufgaben dieser Art immer darum, dem allgemeinen Element (a; b) zunächst eine detailliertere Struktur zu geben, damit dann zu arbeiten und mit Hilfe irgendwelcher Umformungen am Ende eine Darstellung zu haben, der man sofort ansehen kann, daß sie eine gewisse Definition erfüllt.

03.09.2007, 11:35

Bill

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ich probiers mal:

Aufgabe: Gegeben ist eine Relation R = { (p,q) € IN x IN | Es existiert ein D € IN mit p*D = q }

D.h. p teilt q wenn (p,q) € R.

Frage : Ordnungsrelation?

Ordnungsrelation <=> reflexiv, antisymmetrisch, transitiv

_____________________________________________________

Zuerst: Ich denke das dieses mal D fest ist, da es die paare der Menge festlegt.

1.) xRx <=> (x,x) € R
Das ist der Fall für D = 1 (Ich denke es reicht wenn es für ein D erfüllt ist, bin mir aber nicht sicher)

2.) z.Z. (a,b) € R und (b,a) € R => a=b

(p,D*p) € R z.Z. (D*p,p) € R

Laut * (* = p*D = q )

gilt ( D*p,p) = (q,(1/D)*q) = (q,c*q) es gilt auch (c=1/D)

gilt aber nur wenn D=1,da für c>1 c nicht Element von IN ist ,Das ist ein Widerspruch zur Definition des D in der Relation oben somit gilt q=p =>
antisymmetrie

3.) z.Z. Wenn (a,b) € R und (b,c) € R => (a,c) € R

(a,b) € R liegt in R wenn es die Gleichung b=D1*a

(b,c) € R liegt in R wenn es die Gleichung c=D2*b

(a,c) liegt demnach drin wenn es beide Gleichungen erfüllt c =D1*D2*a

ich hoffe das es so stimmt

gruß bill

03.09.2007, 13:48

Soliton

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Ich find's etwas unschön aufgeschrieben, aber ich will nicht wieder über den Stil meckern.

Zitat:

Original von Bill
Zuerst: Ich denke das dieses mal D fest ist, da es die paare der Menge festlegt.

Nein, hier ist gerade nicht fest. Für jedes (p, q) i. a. ein anderes D.

Zitat:

Original von Bill
Das ist der Fall für D = 1 (Ich denke es reicht wenn es für ein D erfüllt ist, bin mir aber nicht sicher)

Es kann nur für ein D erfüllt sein. Für jedes (p, q) ist D eindeutig. Nämlich q/p.

Zitat:

Original von Bill
2.) z.Z. (a,b) € R und (b,a) € R => a=b

(p,D*p) € R z.Z. (D*p,p) € R

Bißchen knapp (für Anfängervorlesung?), und das "z. Z." macht da keinen Sinn.

Zitat:

Original von Bill gilt aber nur wenn D=1,da für c>1 c nicht Element von IN ist

c < 1, wenn D nicht 1. Sonst richtig.

Zitat:

Original von Bill
(a,c) liegt demnach drin wenn es beide Gleichungen erfüllt c =D1*D2*a

So würde ich das nicht ausdrücken. (a, c) liegt drin, wenn es ein natürliches D' mit a*D' = c. Daß es das gibt, hast Du aus den beiden Gleichungen gewonnen. Aber (a,c) "erfüllt" nicht beide Gleichungen.

Sonst richtig.

03.09.2007, 15:23

Bill

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ok bis auf das oberste kann ich alles nachvollziehen.

ich denk mir das so das wenn ich ein festes D nehme ich dann eine Menge von paaren bekomme.

z.b. D = 1 => M ={ (1,1) , (2,2) , (3,3) , (4,4) , ...}

D = 2 => M ={ (1,2) , (2,4) , (3,6) , (4,8) , ...}

Beim Voherigen hast du ja so argumentiert dass die Vorschrift von der Menge sonst trivial wird. Ich denke das ist hier doch auch der Fall ?

gruß Bill

03.09.2007, 19:37

Soliton

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Gut aufgepaßt smile

smile

. Ist hier aber nicht das Problem. Die Relation ist so definiert:

xRy :<=> x teilt y.

D. h. z. B

2R4, 3R6, 7R21 usw.

Aber nicht:

2R3, 3R7, 7R22.

Also ist R nicht trivial.

EDIT: Es wäre anders, wenn das "D" außerhalb der Relation fest definiert wäre. (So war es bei Deinem anderen Beispiel mit dem q.) Dann würde innerhalb der Relation kein Existenzquantor mehr stehen. Der Existenzquantor macht aber die Existenz (und den konkreten Wert) von D von dem jeweils betrachteten (p, q) abhängig.

03.09.2007, 21:51

Bill

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du willst sagen : weil der Existenzquantor da steht(innerhalb der menge) gibt es zu jedem paar (p,q) ein D

beim anderen war es so das es zu jedem q viele paare gab?

03.09.2007, 22:13

Bill

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ich nochmal eine andere Frage: Kann es eine Relation geben die gleichzeitig

Äquivalenzrelation und Ordnungsrelation ist? Wenn ja müsste doch

Antisymmetrie und Symmetrie gelten.

gruß Bill

03.09.2007, 22:34

Soliton

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Zitat:

Original von Bill
du willst sagen : weil der Existenzquantor da steht(innerhalb der menge) gibt es zu jedem paar (p,q) ein D
beim anderen war es so das es zu jedem q viele paare gab?

Sozusagen. Wenn Dich interessiert, ob eine Variable einen festen oder wechselnde Werte hat, oder wenn Dich Abhängigkeiten interessieren, mußt Du als erstes danach suchen, wo die Variable ins Leben gerufen wird. In irgendeiner Form benutzt man dafür immer einen Existenzquantor. Die Variable ist an den Quantor gebunden, der Quantor klammert alles weitere.

Im ersten Fall stand ganz außen: Es existiert ein q aus IZ. "Klammer auf". Relation wird definiert, darin taucht das q - ohne zugehörigen Existenzquantor - auf. Es bezieht sich also auf das eine, das äußere q. "Klammer zu".

Im zweiten Fall: Relation wird definiert. "Relationsklammer auf". "Irgendwas". Existenzquantor D. "Klammer auf". "Irgendwas anderes". "Klammer zu". "Relationsklammer zu".

D. h., daß grundsätzlich D immer wieder erzeugt wird, also mehrere verschiedene Werte haben KANN (nicht: muß).

Lies es, wie ein Compiler einen Programmcode. "Ein ..., für das gilt: es existiert ein D ... ist in der Relation enthalten."

Die Abhängigkeit des "jeweiligen" D - und damit die prinzipielle Möglichkeit unterschiedlicher Werte - ergibt sich aus "ein ..., für das gilt: es existiert".

Eben nur "für das". Nicht: "für alle".

03.09.2007, 22:39

Soliton

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Zitat:

Original von Bill
ich nochmal eine andere Frage: Kann es eine Relation geben die gleichzeitig

Äquivalenzrelation und Ordnungsrelation ist? Wenn ja müsste doch

Antisymmetrie und Symmetrie geltenl

Dann hast Du die Antwort doch fast. Wie müßte so eine Relation denn aussehen? Was würde denn immer gelten, wenn aRb? (Es gibt sie.)

03.09.2007, 23:11

Bill

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naja die gleichheitsrelation hab ich schon gefunden. da stand aber es um "relationen" geht, also min 2

03.09.2007, 23:16

Soliton

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Siehst Du, genau das ist die Frage: Kann es außer der Gleichheit noch eine andere Relation dieser Art geben? Die Antwort lautet: i. w. nicht. Jedenfalls dann nicht, wenn die Ordnung als totale vorausgesetzt wird. Andernfalls kann man natürlich Teilmengen der Gleichheitsrelation betrachten; dies wären, wenn ich es richtig sehe, auch partielle symmetrische Ordnungsrelationen. Aber nur triviale Unterfälle der "totalen" Gleichheit.

03.09.2007, 23:26

Bill

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ok dann danke nochmals smile

smile

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