Polarisierung

31.08.2007, 19:47	Wehm	Auf diesen Beitrag antworten »
Polarisierung Hallo Ich sitze hier bei folgender Aufgabe voll auf dem Schlauch Sei $\begin{eqnarray} \mathbb{K} = \mathbb{R} \end{eqnarray}$ oder $\begin{eqnarray} \mathbb{C}. \end{eqnarray}$ Zeigen Sie daß jede Matrix $\begin{eqnarray} A \in GL(n,\mathbb{K}) \end{eqnarray}$ eine Zerlegung A=PQ mit einer positiv definiten Matrix P und einer orthogonalen/unitären Matrix Q aus $\begin{eqnarray} M(n,\mathbb{K}) \end{eqnarray}$ besitzt. Diese Zerlegung ist eindeutig. Wie lautet die Polarzerlegung im Fall n=1, $\begin{eqnarray} \mathbb{K} = \mathbb{C} \end{eqnarray}$ Nehmen wir mal an ich hätte gezeigt, daß A=PQ ist, was ich nie hinkriegen würd, aber wenn ich das geschafft hätte, wie lautet die Polarzerlegung im Fall $\begin{eqnarray} \mathbb{K}=\mathbb{C}? \end{eqnarray}$ Könnt ihr mir hierfür ein paar Tipps geben? Möglichst Idiotensicher? Danke und Gruß Wehm
31.08.2007, 20:20	therisen	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} P\in\mathrm{GL}_n(\mathbb K) \end{eqnarray}$ ist diejenige positiv definite Matrix, die $\begin{eqnarray} P^2=\overline{A}^TA \end{eqnarray}$ erfüllt. Setze $\begin{eqnarray} U:=AP^{-1} \end{eqnarray}$ . EDIT: Für den Fall $\begin{eqnarray} n=1 \end{eqnarray}$ dürfte $\begin{eqnarray} \det A = \det P \det U = r\mathrm{e}^{i\varphi} \end{eqnarray}$ interessant sein, da dann $\begin{eqnarray} \det A = A \end{eqnarray}$ Gruß, therisen
01.09.2007, 19:45	Wehm	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo therisen, danke für den Tipp. Der hilft gut und ich bin zufrieden Grüße Wehm

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »