[Aufgabensammlung] Fragen & Antworten 1

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31.08.2007, 22:33

tigerbine

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[Aufgabensammlung] Fragen & Antworten 1

Hier gibt es eine kleine Sammlung von 25 Aufgaben in "Frage & Antwort" Form. Lesen1

Themen

Polynominterpolation (1, 2, 3, 7, 10, 17, 18, 20, 23, 24, 25)
vollständiges Hornerschema, doppeltes Hornerschema (5, 6, 14)
trigonometrische Interpolation (19)
Hermite-Interpolation (9, 21)
Satz von Gerschgorin (11, 15)
Satz von Sturm (4, 16, 22)
Spline-Interpolation (8)
Methode der kleinsten Quadrate (12, 13)

31.08.2007, 22:41

tigerbine

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Aufgabe 1 - Polynominterpolation
$\begin{eqnarray*} \text{ Gegeben sei eine Funktion f mit }f(x) =\frac{1}{3+2x },~ x\in \mathbb R \neq \{ \frac{-3}{2} \} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \text{Ermitteln Sie nach Lagrange das Interpolationspolynom mit den Stützstellen } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} ((-0.5|f(-0.5), (0|f(0)), (0.5|f(0.5)) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \text{und machen Sie eine Fehlerabschätzung für das Intervall }[-0.5|0.5] \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \text{ Berechnen Sie mit Hilfe des Horner-Schemas den Wert des Interpolationspolynoms} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \text{an der Stelle }x_{0}=\frac{1}{6} \text{wie auch den Funktionswert }f(x_{0}) \text{und vergleichen Sie beide } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \text{Werte mit Ihrer Fehlerabschätzung.} \end{eqnarray*}$

01.09.2007, 00:31

tigerbine

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Lösung Aufgabe 1a

Teilaufgabe a

$\begin{eqnarray*} p_2(x) &&= f(x_0) \cdot l_0(x) + f(x_1) \cdot l_1(x) + f(x_2) \cdot l_2(x) \\ \\&& = \frac{1}{2} \cdot \frac{x-0}{-0.5-0} \cdot \frac{x-0.5}{-0.5-0.5} + \frac{1}{3} \cdot \frac{x+0.5}{0+0.5} \cdot \frac{x-0.5}{0-0.5}+ \frac{1}{4} \cdot \frac{x+0.5}{0.5+0.5} \cdot \frac{x-0}{0.5-0} \\\\&& = 1\cdot (x^2-0.5x) - \frac{4}{3}\cdot(x^2-0.25) + \frac{1}{2} \cdot (x^2+0.5x) \\\\&&=\frac{1}{6}x^2-\frac{1}{4}x + \frac{1}{3} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} |\varepsilon(x)| =|f(x)-p_2(x)| \leq |\prod_{j=0}^{2}(x-x_j)|\cdot \max_{t\in [-0.5,0.5]} \frac{|f^{(3)}(t)|}{|3!|} \leq (0.5+0.5)^{3} \cdot \max_{t\in [-0.5,0.5]} \frac{|f^{(3)}(t)|}{|3!|} \end{eqnarray*}$

für alle $\begin{eqnarray*} x \in [a,b] \end{eqnarray*}$

Diese Art der Fehlerabschätzung ist hier möglich, da die Funktion f genügend oft differenzierbar ist.

$\begin{eqnarray*} f^{(3)}(x) =\frac{-48}{(3+2x)^4 } \Rightarrow \max_{x \in [-0.5,0.5]}~|f^{(3)}(x)| = 3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} |\varepsilon(x)| \leq (x^3-0.25x) \cdot \frac{1}{2}\leq \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

01.09.2007, 00:55

tigerbine

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Lösung Aufgabe 1b
Zunächst einmal benötigt man das IP in der Monom-Darstellung:

$\begin{eqnarray*} p_2(x) = \frac{1}{6}x^2-\frac{1}{4}x + \frac{1}{3} \end{eqnarray*}$

Horner-Schema:

$\begin{eqnarray*} \begin{array} {|r||r|r|r|} \hline 1/6 & -1/4 & 1/3 \\ \hline 1/6 & -8/36&64/216\\ \hline \end{array} \end{eqnarray*}$

Die Funktioswerte lauten also:

$\begin{eqnarray*} p_2(\frac{1}{6}) = \frac{64}{216} \approx 0.30 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(\frac{1}{6}) = \frac{1}{3+\frac{1}{3}} = \frac{3}{10} \end{eqnarray*}$

Kommen wir zum Interpolationsfehler und den Abschätzungen:

$\begin{eqnarray*} |\varepsilon(\frac{1}{6})| = |\frac{3}{10} - \frac{64}{216}| = |\frac{324-320}{1080}|=|\frac{1}{270}| \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} |\frac{1}{270}| \leq \frac{1}{27} \cdot \frac{1}{2}\leq \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

03.09.2007, 11:51

tigerbine

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Aufgabe 2 - Polynominterpolation
Gegeben ist die Funktion $\begin{eqnarray*} f(x) = \frac{12}{x+2} \end{eqnarray*}$ und die Knoten $\begin{eqnarray*} (x_0,x_1,x_2,x_3) =(-1,0,1,2) \end{eqnarray*}$ .

Bestimmen Sie das IP $\begin{eqnarray*} p_3 \end{eqnarray*}$ in der Newton-Darstellung
Beweisen Sie für das IP aus (a) die Fehlerabschätzung

$\begin{eqnarray*} \max_{x \in [0,2]}~|f(x)-p_3(x)| \leq \frac{9}{2} \end{eqnarray*}$

18.09.2007, 03:52

tigerbine

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Lösung Aufgabe 2a

code:

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Dividierte Differenzen Schema
-----------------------------
 
DD =
           -1           12           -6            2         -0.5
            0            6           -2          0.5            0
            1            4           -1            0            0
            2            3            0            0            0
 
Interpolationspolynom
---------------------
 
p_ 3(x)= 
 
         +   12 
         -    6 * [x + 1]   
         +    2 * [x + 1] [x - 0]   
         -  0.5 * [x + 1] [x - 0] [x - 1]

18.09.2007, 04:39

tigerbine

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Lösung Aufgabe 2b
Aufstellen der bekannten Abschätzungen. Da die Abschätzung auf dem Intervall [0,2] erfolgen soll:

$\begin{eqnarray*} |\varepsilon(x)| = |f(x)-p_3(x)| =|\prod_{j=0}^{3}(x-x_j)\cdot \frac{f^{(4)}(\xi)}{4!}| \leq \max_{x \in [0,2]} |\omega(x)| \cdot \max_{x \in [0,2]} \frac{|f^{(4)}(x)|}{|24|} \end{eqnarray*}$

Nun müssen die Ableitungen bestimmt werden:

$\begin{eqnarray*} f(x) = 12 \cdot \frac{1}{x+2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f^{(1)}(x) = -12 \cdot \frac{1}{(x+2)^2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f^{(2)}(x) = 24 \cdot \frac{1}{(x+2)^3} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f^{(3)}(x) = -72 \cdot \frac{1}{(x+2)^4} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f^{(4)}(x) = -288 \cdot \frac{1}{(x+2)^5} \end{eqnarray*}$

Das BetragsMaximum der vierten Ableitung auf dem vorgegebenen Intervall für x=0 angenommen.

$\begin{eqnarray*} |f^{(4)}(0)| = 9 \end{eqnarray*}$

Nun muss noch das Knotenpolynom untersucht werden:

$\begin{eqnarray*} |\omega(x)| = |(x+1)|\cdot |(x-0)| \cdot |(x-1)| \cdot |(x-2)| \end{eqnarray*}$

Maximiert man nun jeden Faktor, erhält man

$\begin{eqnarray*} |\omega(x)| =3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 2 = 12 \end{eqnarray*}$

Somit ergibt sich die gesuchte Abschätzung:

$\begin{eqnarray*} |\varepsilon(x)| \leq 12 \cdot \frac{9}{4!} = \frac{9}{2} \end{eqnarray*}$

18.09.2007, 04:57

tigerbine

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Aufgabe 3 - Polynominterpolation
Gegeben ist der Datensatz
$\begin{eqnarray*} (x_0,x_1,x_2,x_3,x_4,x_5) = (-2,-1,0,2,3,4) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (y_0,y_1,y_2,y_3,y_4,y_5) = (4,2,1,0,-1,-3) \end{eqnarray*}$

Zeigen Sie, dass keine Funktion $\begin{eqnarray*} f(x)=a+bx,~a,b \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ existiert die den Datensatz interpoliert.
Bestimmen sie die Koeffizienten a* und b* so, dass die Funktion
$\begin{eqnarray*} \Phi(a,b) : = \sum_{i=0}^5~|y_i - (a+bx_i)|^2,\quad, a,b \in \mathbb R \end{eqnarray*}$
für a* und b* ihr Minimum annimmt und berechnen Sie dies.

18.09.2007, 05:07

tigerbine

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Lösung Aufgabe 3a
Aus dem [WS] Polynominterpolation-Theorie wissen wir, dass dieser Datensatz eindeutig ein IP vom Höchstgrad 5 festlegt. Nun lautet hier die Frage, ob dass IP dann den Maximalgrad 1 hat, was ja durchaus möglich wäre.

Sollte es also eine Gerade geben, auf der alle diese Punkte liegen, so wäre diese schon durch 2 der 6 Punkte eindeutig bestimmt. Wählt man nun gleich die ersten beiden Datensätze und stellt die Newton-Form auf, so erhält man

$\begin{eqnarray*} f(x) &&= \frac{2-4}{-1+2} \cdot (x + 2) + 4 =\\&& = -2 \cdot (x+2) + 4 \\&& = - 2x \end{eqnarray*}$

Nun ist aber

$\begin{eqnarray*} f(0) = 0 \neq 1 \end{eqnarray*}$

Und somit ist gezeigt, dass keine Funktion f mit den geforderten Eigenschaften existiert.

18.09.2007, 05:47

tigerbine

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Lösung Aufgabe 3b
Nachdem nun in a) gezeigt wurde, dass man nicht alle Datenpunkte durch eine Gerade verbinden kann, soll hier nach der "Methode der kleinsten Quadrate" eine Ausgleichsfunktion durch den Datensatz gelegt werden. Hier ist eine lineare Ausgleichsfunktion zu bestimmen.

Es gilt also das äquivalente Minimierungsproblem zu lösen:

$\begin{eqnarray*} \min~\begin{Vmatrix}\begin{pmatrix}1 & -2 \\1 & -1 \\ 1 & 0 \\ 1 & 2 \\ 1 & 3 \\1 & 4 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}-\begin{pmatrix}4\\2\\1\\0\\-1\\-3 \end{pmatrix} \end{Vmatrix}_2^2 \end{eqnarray*}$

Dazu hatten wir als Lösungsverfahren z.B. die Normalengleichungen kennengelernt.

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1&1&1&1&1&1 \\ -2 & -1 & 0 &2 & 3 & 4 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}1 & -2 \\1 & -1 \\ 1 & 0 \\ 1 & 2 \\ 1 & 3 \\1 & 4 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1&1&1&1&1&1 \\ -2 & -1 & 0 &2 & 3 & 4 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}4\\2\\1\\0\\-1\\-3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 6 & 6 \\ 6 & 34 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3 \\ -25 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 6 & 6 \\ 0 & 28 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3 \\ -28 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow b* = -1, a* = 1.5 \end{eqnarray*}$

Nun soll noch das Minimum berechnet werden. Einsetzen in die Funktion $\begin{eqnarray*} \Phi \end{eqnarray*}$ liefert:

$\begin{eqnarray*} \Phi(a*,b*) = 1.5 \end{eqnarray*}$

18.09.2007, 06:14

tigerbine

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Aufgabe 4 - Satz von Sturm (Nullstellen)
Gegeben sei das Polynom $\begin{eqnarray*} g(x)=x^3-3x^2-x+3 \end{eqnarray*}$ . Verwenden Sie den Satz von Sturm, um die Anzahl der Nullstellen von q im Intervall [-2; 0] und [0,2] zu bestimmen.

18.09.2007, 20:37

tigerbine

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Lösung Aufgabe 4
Im ersten Schritt berechnet man eine Sturmsche Kette. Dazu benötigen wir die Startpolynome:

$\begin{eqnarray*} p_0(x):=g(x)=x^3-3x^2-x+3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} p_1(x):=g'(x)=3x^2-6x-1 \end{eqnarray*}$

Lehrer

Hierbei darf man die Polynome nur mittels Multiplikation mit einem positiven Faktor vereinfachen. Ich verwende das Tool von Arndt-Bruenner. Also Achtung, ob mit (-1) gekürzt wurde!

Weiter geht es mit dem Euklidscher Algorithmus. Die Polynomdivision kann hier überprüft werden.

$\begin{eqnarray*} p_0(x)~ :~p_1(x) =:q_1(x) + \text{Rest} \end{eqnarray*}$

code:

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9:
10:

Polynomdivision
==========
(x^3  - 3x^2  -    x  +   3) : (3x^2 - 6x - 1)  =  1/3x - 1/3   Rest  -8/3x + 8/3  
 x^3  - 2x^2  - 1/3x       
 ——————————————————————————
       - x^2  - 2/3x  +   3
       - x^2  +   2x  + 1/3
       ————————————————————
              - 8/3x  + 8/3

Es ist nun

$\begin{eqnarray*} p_2(x) = -\text{Rest} = \frac{8}{3}x - \frac{8}{3} \end{eqnarray*}$

Damit lautet die neue Polynomdivision $\begin{eqnarray*} p_1(x)~:~p_2(x) \end{eqnarray*}$

code:
1: 2: 3: 4: 5: 6: 7: 8: 9:	(3x^2 - 6x - 1) : (8/3x - 8/3) = 9/8x - 9/8 Rest -4 3x^2 - 3x ——————————————— - 3x - 1 - 3x + 3 ————————— - 4

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow p_3(x)=4 \end{eqnarray*}$

Damit lautet die Sturmsche Kette:

$\begin{eqnarray*} p_0,~p_1,~p_2,~p_3 \end{eqnarray*}$

Nun untersuchte man diese auf Vorzeichenwechsel. Dazu Wertet man die Kette an den Stellen x=-2,0,2 aus (Intervalle [-2,0] und [0,2] sollen ja untersucht werden) und notiert die Vorzeichen.

$\begin{eqnarray*} \begin{array} {|c||c|c|c|c|c|} \hline x & p_0(x) & p_1(x) & p_2(x) & p_3(x) & VZW \\ \hline \hline -2 &- & + & - & + & 3 \\ \hline 0 & +& -& - &+&2 \\ \hline 2 & - & -& + & + & 1\\ \hline \end{array} \end{eqnarray*}$

Nach dem Satz von Sturm gilt dann für die Anzahl der Nullstellen:

$\begin{eqnarray*} Z_{-2}^{0} = 3 - 2 = 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} Z_{0}^{2} = 2 - 1 = 1 \end{eqnarray*}$

Somit liegt in den beiden Intervallen je eine Nullstelle.

18.09.2007, 21:34

tigerbine

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Aufgabe 5 - Horner-Schema

Verwenden Sie das Horner-Schema, um den linearen Faktor $\begin{eqnarray*} (x+2) \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} p(x)=2x³+3x²+7 \end{eqnarray*}$ abzuspalten
Spalten sie mit Hilfe des Horner-Schemas den quadratischen Faktor $\begin{eqnarray*} (x²-4x+5) \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} q(x)=3x^5-13x^4+21x^3-14x^2+16x-8 \end{eqnarray*}$ ab.
Gegeben sei das Polynom $\begin{eqnarray*} p(x)=2x^4-12x^3+16x^2+8x-7 \end{eqnarray*}$ . Berechnen sie mit Hilfe des vollst. Horner-Schemas die Ableitungen $\begin{eqnarray*} p^{(v)}(3) \end{eqnarray*}$ für v = 0,1,...,4 und entwickeln Sie damit p(x) nach Potenzen von $\begin{eqnarray*} (x-3) \end{eqnarray*}$ .

19.09.2007, 00:22

tigerbine

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Lösung Aufgabe 5a, 5b
Nun können wir diese Aufgabe nutzen, um den Kommentar in [WS] Polynominterpolation-Theorie zu verifizieren.

$\begin{eqnarray*} p_3(x)=p_{2}(x)\cdot (x+2) + p_3(-2) \end{eqnarray*}$

Wobei $\begin{eqnarray*} p_2 \end{eqnarray*}$ das Polynom zweiten Grades mit den aus dem Horner-Schema erhaltenen Koeffizienten ist.

code:

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18:
19:
20:
21:

Es wird ein vollst. Hornerschema berechnet.
 
Beachte: Der Datensatz hat die Form
         Monom-Koeffizienten: a_n,...,a_0
         Auszuwertende Stelle: xi
 
Monom-Koeffizienten eingeben:   [2 3 0 7]
Auszuwertende Stelle eingeben:   -2
 
--------------------------------------------------------------------------------------------
 
vollständiges Hornerschema
==========================
H =
     2     3     0     7
     2    -1     2     3
     2    -5    12     0
     2    -9     0     0
     2     0     0     0

Somit erhalten wir:

$\begin{eqnarray*} p_3(x)=(2x^2-x+2)\cdot (x+2) + 3 \end{eqnarray*}$

Zur Abspaltung eines Quadratischen Faktors benötigt man das doppelte Hornerschema:

code:
1: 2: 3: 4: 5: 6: 7:	3 -13 21 -14 16 -8 -5 0 0 -15 5 -10 5 4 0 12 -4 8 -4 0 ------------------------------- 3 -1 2 -1 2 -3

Somit gilt:

$\begin{eqnarray*} q(x)=(x^2-4x+5)(3x^3-x^2+2x-1)+2x-3 \end{eqnarray*}$

19.09.2007, 00:36

tigerbine

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Lösung Aufgabe 5c
Diese Aufgabe spielt auf die Bedeutung der Einträge in Horner-Schema an. Hat man das vollständige Schema berechnet, so kann man die Faktoren des Taylor-Polynoms ablesen (Entwicklungspunkt $\begin{eqnarray*} \xi \end{eqnarray*}$ ). Damit lassen sich auch leicht die gesuchten Ableitungen bestimmen.

Hier gilt also:

code:

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30:
31:
32:
33:
34:
35:

Es wird ein vollst. Hornerschema berechnet.
 
Beachte: Der Datensatz hat die Form
         Monom-Koeffizienten: a_n,...,a_0
         Auszuwertende Stelle: xi
 
Monom-Koeffizienten eingeben:   [1 0 -2 3 -1 1]
Auszuwertende Stelle eingeben:   -1
 
--------------------------------------------------------------------------------------------
 
vollständiges Hornerschema
==========================
H =
     1     0    -2     3    -1     1
     1    -1    -1     4    -5     6
     1    -2     1     3    -8     0
     1    -3     4    -1     0     0
     1    -4     8     0     0     0
     1    -5     0     0     0     0
     1     0     0     0     0     0
 
Auswertung der Funktion und ihrer Ableitungen
---------------------------------------------
p^(0)_5(-1)=        6 
p^(1)_4(-1)=       -8 
p^(2)_3(-1)=       -2 
p^(3)_2(-1)=       48 
p^(4)_1(-1)=     -120 
p^(5)_0(-1)=      120 
 
Taylor-Polynom-Darstellung von p
--------------------------------
p_5(x)= 6 - 8 (x + 1)^1 - 1 (x + 1)^2 + 8 (x + 1)^3 - 5 (x + 1)^4 + 1 (x + 1)^5

19.09.2007, 02:02

tigerbine

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Aufgabe 6 - vollständiges Horner-Schema
Gegeben sei das Polynom $\begin{eqnarray*} p(x)=x^5-2x^3+3x^2-x+1 \end{eqnarray*}$ . Berechnen Sie mit Hilfe des vollständigen Horner-Schemas die Ableitungen $\begin{eqnarray*} p^{(v)}(-1) \end{eqnarray*}$ für v = 0,1,...,4 ,5 und entwickeln Sie damit p(x) nach Potenzen von (x+1).

19.09.2007, 02:06

tigerbine

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Lösung Aufgabe 6

code:

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6:
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12:
13:
14:
15:
16:
17:
18:
19:
20:
21:
22:
23:
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27:
28:
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30:
31:
32:
33:
34:

Es wird ein vollst. Hornerschema berechnet.
 
Beachte: Der Datensatz hat die Form
         Monom-Koeffizienten: a_n,...,a_0
         Auszuwertende Stelle: xi
 
Monom-Koeffizienten eingeben:   [1 0 -2 3 -1 1]
Auszuwertende Stelle eingeben:   -1
 
--------------------------------------------------------------------------------------------
 
vollständiges Hornerschema
==========================
H =
     1     0    -2     3    -1     1
     1    -1    -1     4    -5     6
     1    -2     1     3    -8     0
     1    -3     4    -1     0     0
     1    -4     8     0     0     0
     1    -5     0     0     0     0
     1     0     0     0     0     0
 
Auswertung der Funktion und ihrer Ableitungen
---------------------------------------------
p^(0)_5(-1)=        6 
p^(1)_4(-1)=       -8 
p^(2)_3(-1)=       -2 
p^(3)_2(-1)=       48 
p^(4)_1(-1)=     -120 
p^(5)_0(-1)=      120 
 
Taylor-Polynom-Darstellung von p
--------------------------------
p_5(x)= 6 - 8 (x + 1)^1 - 1 (x + 1)^2 + 8 (x + 1)^3 - 5 (x + 1)^4 + 1 (x + 1)^5

19.09.2007, 02:33

tigerbine

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Aufgabe 7 - Polynominterpolation

Bestimmen die die dividierten Differenzen und die Newton-Form des Interpolationspolynoms p für den Datensatz

$\begin{eqnarray*} (x_0,x_1,x_2) = (-1,0,1) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (y_0,y_1,y_2) = (-3,5,9) \end{eqnarray*}$
Wie groß kann der Fehler $\begin{eqnarray*} \max_{x \in [-1,1]}~|f(x)-p_2(x)| \end{eqnarray*}$ unter der zusätzlichen Voraussetzung $\begin{eqnarray*} f^{(3)}(x) \leq 1 \end{eqnarray*}$ höchstens sein?

19.09.2007, 02:50

tigerbine

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Lösung Aufgabe 7a

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 Dividierte Differenzen Schema
-----------------------------
 
DD =
    -1    -3     8    -2
     0     5     4     0
     1     9     0     0
 
Interpolationspolynom
---------------------
 
p_ 2(x)= 
 
         -    3 
         +    8 * [x + 1]   
         -    2 * [x + 1] [x - 0]

19.09.2007, 03:13

tigerbine

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Lösung Aufgabe 7b
Es gilt für den Interpolationsfehler

$\begin{eqnarray*} |\varepsilon(x)| = |f(x)-p_2(x)| = |\omega(x) \cdot \frac{f^{(2)}(\xi)}{3!}|,~\quad \xi \in [-1,1] \end{eqnarray*}$

Dabei ist:

$\begin{eqnarray*} \omega(x) = (x+1)(x-0)(x-1) = x^3 - x \end{eqnarray*}$

Eine grobe Abschätzung für das Intervall [-1,1] wäre:

$\begin{eqnarray*} |\omega(x)| \leq 2 \cdot 1 \cdot 2 = 4 \end{eqnarray*}$

Eine genauere Untersuchung (->Kurvendiskussion, glob. Max.) liefert:

$\begin{eqnarray*} |\omega(-1)| = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} |\omega(1)| = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \omega'(x) = 3x^2-1 \stackrel{!} = 0\Rightarrow x_{1,2} = \pm \frac{1}{\sqrt{3}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} |\omega(x_1)| = |\omega(x_2)| = \frac{2}{3\sqrt{3}} \end{eqnarray*}$

Somit erhalten wir die gesuchte Abschätzung:

$\begin{eqnarray*} |\varepsilon(x)| \leq \frac{2}{3\sqrt{3}} \cdot \frac{1}{3!} = \frac{1}{9\sqrt{3}} \end{eqnarray*}$

19.09.2007, 05:55

tigerbine

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Aufgabe 8 - Spline-Interpolation
Gegeben sei die Funktion $\begin{eqnarray*} s_{a, b, c}:~[-1,2] \to \mathbb R \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} s_{a, b, c}(x):=\begin{cases} (x+1)^4+a(x-1)^4+1 & -1 \leq x \leq 0 \\ -x^3 - 8ax + c & ~0 < x \leq 1 \\ bx^3 + 8x^2- \frac{11}{3} & ~1 < x \leq 2 \end{cases} \end{eqnarray*}$

Bestimmen sie a,b,c aud IR so, dass s ein kubischer Spline bzgl. des Gitters $\begin{eqnarray*} \vartriangle :=\{-1,0,1,2\} \end{eqnarray*}$ ist.

19.09.2007, 06:33

tigerbine

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Lösung Aufgabe 8
Bei einem kubischen Spline auf einem Gitter gilt es normalerweise 4n Bedingungen zu bestimmen. Hier sind es "nur" die 3 Variablen a,b,c.

Stetigkeitsbedingung 1 innere Knoten

$\begin{eqnarray*} R_0(0) = a + 2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} R_1(0) = c \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} R_1(1) = -1-8a+c \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} R_2(1) =b+8+\frac{11}{3} \end{eqnarray*}$

Stetigkeitsbedingung 2 innere Knoten

$\begin{eqnarray*} R_0'(0) =4-4a \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} R_1'(0) =-8a \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} R_1(1)' =-3-8a \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} R_2(1)' =3b+16 \end{eqnarray*}$

Berechnung von a,b,c

$\begin{eqnarray*} 4-4a = -8a \Rightarrow a = -1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -3+8 = 3b +16 \Rightarrow b = -\frac{11}{3} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -1+2 = c \Rightarrow c =1 \end{eqnarray*}$

Lehrer

Somit konnten wir den kubischen Spline aufgrund der hohen Anzahl an Vorgaben alleine über die Stetigkeitsbedingungen 1& 2 eindeutig bestimmen. Jedoch ist die Aufgabe schlecht formuliert, da es "den kubischen Spline" nicht gibt. Vergleiche dazu [Workshop-Spline-Interpolation-Theorie] Nun wollen wir noch schauen, um welchen kub. Spline es sich handelt.

$\begin{eqnarray*} R_0''(x) = 12(x+1)^2+12a(x-1) = 12(x+1)^2-12(x-1)^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} R_0''(-1) \neq 0 \end{eqnarray*}$

Somit handelt es sich nicht um einen natürlichen Spline. Aus diesen Angaben (keine zu Approximierende/Interpolierende Funktion f bekannt) können wir auch nicht sagen, ob es sich um einen Vollständigen Spline handelt. Bleibt als letzter bekannter Kandidat noch der periodische Spline. Doch es ist:

$\begin{eqnarray*} R_0'(-1) =32 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} R_2'(2) = 60 \end{eqnarray*}$

So dass wir nicht wissen, wie hier die 2 freien Bedingungen gewählt wurden.

19.09.2007, 18:25

tigerbine

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Aufgabe 9 - Hermite-Interpolation

Bestimmen Sie für f(x) = cos(x) die dividierten Differenzen zu der Punktfolge $\begin{eqnarray*} (x_0,x_1,x_2,x_3) = (0,0,\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}) \end{eqnarray*}$ und die Newton-Form des kubischen Hermite-Interpolationspolynoms $\begin{eqnarray*} p_3 \end{eqnarray*}$ .
Schätzen Sie den Fehler $\begin{eqnarray*} |f(\frac{\pi}{4}) - p(\frac{\pi}{4})| \end{eqnarray*}$ ab.

19.09.2007, 18:58

tigerbine

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Lösung Aufgabe 9a
Es ist

$\begin{eqnarray*} f(x)=\cos(x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'(x)=-\sin(x) \end{eqnarray*}$

Somit lauten die für das Schema der div. Differenzen benötigen Starteinträge:

$\begin{eqnarray*} f(0)=\cos(0) = 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(\frac{\pi}{2})=\cos(\frac{\pi}{2}) = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'(0)=-\sin(0) = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'(\frac{\pi}{2})=-\sin(\frac{\pi}{2}) =-1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \begin{array} {|r||r|r|r| r|} \hline 0 &1 & 0 & -\frac{4}{\pi^2} & -\frac{16-4\pi}{\pi^3} \\ \hline 0 & 1 & -\frac{2}{\pi} & \frac{-2\pi +4}{\pi^2} & \\ \hline \frac{\pi}{2} & 0 &-1 & & \\ \hline \frac{\pi}{2} & 0 & & & \\ \hline \end{array} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} p_3(x)=1 - \frac{4}{\pi^2} \cdot (x-0)^2 - \frac{16-4\pi}{\pi^3} \cdot (x-0)^2 \cdot (x-\frac{\pi}{2}) \end{eqnarray*}$

19.09.2007, 21:33

tigerbine

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Lösung Aufgabe 9b
Hier gilt es nun wieder die beiden Faktoren Knotenpolynom und dividierte Differenz abzuschätzen.

$\begin{eqnarray*} |\varepsilon(x)| = |\omega(x) \cdot \frac{f^{(4)}(\xi)}{4!}|,~\quad \xi \in [0,\frac{\pi}{2}] \end{eqnarray*}$

Nun geht es ja konkret um dem Fehler an der Stelle $\begin{eqnarray*} x = \frac{\pi}{4} \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} |\varepsilon(\frac{\pi}{4})| = |\omega(\frac{\pi}{4}) \cdot \frac{f^{(4)}(\xi)}{4!}| \leq |\omega(\frac{\pi}{4})| \cdot \max_{x \in [0, \frac{\pi}{2}]}~\frac{f^{(n)}(x)}{24} \end{eqnarray*}$

Es ist dabei

$\begin{eqnarray*} \omega(\frac{\pi}{4}) = (\frac{\pi}{4})^2\cdot (\frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{2})^2 = (\frac{\pi}{4})^4 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} |f^{(4)}(x)| = |\cos(x)| \leq 1 \end{eqnarray*}$

Somit lautet die gesuchte Abschätzung:

$\begin{eqnarray*} |\varepsilon(\frac{\pi}{4})| \leq \frac{1}{24} \cdot (\frac{\pi}{4})^4 \end{eqnarray*}$

19.09.2007, 21:36

tigerbine

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Aufgabe 10 - Interpolationspolynom
?Wahr oder falsch?

Das Interpolaitonspolynom positiver Daten ist positiv.

19.09.2007, 21:39

tigerbine

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Lösung Aufgabe 10
falsch

Einfaches Gegenbeispiel ist die Gerade durch die Punkte (1,1), (2,2)

20.09.2007, 03:46

tigerbine

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Aufgabe 11 - Lage und Anzahl von Nullstellen
Gegeben sei das Polynom $\begin{eqnarray*} p(x) = -x^4+2x^3-x^2+1 \end{eqnarray*}$

Bestimmen Sie mit Hilfe des Satzes von Gerschgorin einen Kreis um 0, in dem alle Nullstellen von p liegen
Verwenden sie den Satz von Sturm, um die Anzahl der Nullstellen von p in den Intervallen [-2,1], [-1,0], [0,1], [1,2] zu bestimmen

20.09.2007, 04:03

tigerbine

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Lösung Aufgabe 11a
Im ersten Schritt normalisiert man das Polynom. Die Nullstellen verändern sich dadurch nicht:

$\begin{eqnarray*} p(x) \cdot (-1) = x^4-2x^3+x^2-1 \end{eqnarray*}$

Es gelten die Abschätzungen:

$\begin{eqnarray*} r \leq \max(1,\sum_{j=0}^{3}~|a_j|) = \max(1,4) = 4 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} r \leq \max(1,1,2,3) = 3 \end{eqnarray*}$

Somit liegen die Nullstellen von p in $\begin{eqnarray*} K_3(0) \end{eqnarray*}$ .

20.09.2007, 04:25

tigerbine

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Lösung Aufgabe 11b
Hier muß zuerst die Sturmsche Kette bestimmt werden. Dazu benötigt man als Startpolynome p und p'.

$\begin{eqnarray*} p_0(x) := -x^4+2x^3-x^2+1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} p_1(x) := -2x^3+3x^2-x \end{eqnarray*}$

Lehrer

Hierbei darf man die Polynome nur mittels Multiplikation mit einem positiven Faktor vereinfachen. Ich verwende das Tool von Arndt-Bruenner. Also Achtung, ob mit (-1) gekürzt wurde!

Nun kommt die 1te Polynomdivision $\begin{eqnarray*} p_0~:~p_1 \end{eqnarray*}$ :

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ACHTUNG (-1)

(x^4  -   2x^3  +    x^2          - 1) : (2x^3 - 3x^2 + x)  =  1/2x - 1/4   Rest  -1/4x^2 + 1/4x - 1  
 x^4  - 3/2x^3  + 1/2x^2             
 ————————————————————————————————————
      - 1/2x^3  + 1/2x^2          - 1
      - 1/2x^3  + 3/4x^2  - 1/4x     
      ———————————————————————————————
                - 1/4x^2  + 1/4x  - 1

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow p_2(x)=-x^2+x -4 \end{eqnarray*}$

Nun kommt die 2te Polynomdivision $\begin{eqnarray*} p_1~:~p_2 \end{eqnarray*}$ :

code:

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ACHTUNG (-1)

(2x^3  - 3x^2  +  x     ) : (x^2 - x + 4)  =  2x - 1   Rest  -8x + 4  
 2x^3  - 2x^2  + 8x     
 ———————————————————————
        - x^2  - 7x     
        - x^2  +  x  - 4
        ————————————————
               - 8x  + 4

$\begin{eqnarray*} p_3(x)=-2x+1 \end{eqnarray*}$

code:

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ACHTUNG (-1)

(x^2  -    x  +    4) : (2x - 1)  =  1/2x - 1/4   Rest  15/4  
 x^2  - 1/2x        
 ———————————————————
      - 1/2x  +    4
      - 1/2x  +  1/4
      ——————————————
                15/4

$\begin{eqnarray*} p_4(x) = \frac{15}{4} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \begin{array} {|c||c|c|c|c|c|c|} \hline x & p_0(x) & p_1(x) & p_2(x) & p_3(x) &p_4(x) & VZW \\ \hline \hline -2 &- & + & - & + & + & 3 \\ \hline -1 & -&+&-&+&+&3 \\ \hline 0 & +&0&-&+&+&2\\ \hline 1 & +&0&-&-&+&2\\ \hline 2 & -&-&-&-&+&1\\ \hline \end{array} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} Z_{-2}^{-1} = 3 - 3 = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} Z_{-1}^{0} = 3 - 2 = 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} Z_{0}^{1} = 2 - 2 = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} Z_{1}^{2} = 2 - 1 = 1 \end{eqnarray*}$

Damit hat p in [-2,1] und [0,1] keine Nullstelle und in [-1,0] und [1,2] jeweils eine Nullstelle.

20.09.2007, 04:43

tigerbine

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Aufgabe 12 - Methode der kleinsten Quadrate
Gegeben sei der Datensatz

$\begin{eqnarray*} (x_0,x_1,x_2, x_3) = (-1,0,1,2) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (y_0,y_1,y_2, y_3) = (3,0,5,-2) \end{eqnarray*}$

Bestimmen Sie dasjenige Polynom zweiten Grades $\begin{eqnarray*} p \in \Pi_2 \end{eqnarray*}$ , welches die Summe der Fehlerquadrate

$\begin{eqnarray*} \pi(p):=\sum_{i=0}^{3}~|y_i-p(x_i)|^2 \end{eqnarray*}$

minimiert.

20.09.2007, 05:18

tigerbine

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Lösung Aufgabe 12
Gesucht ist also

$\begin{eqnarray*} p_2(x) = ax^2 + bx + c \end{eqnarray*}$

Man stellt das äquivalente Minimierungsproblem auf:

$\begin{eqnarray*} \min~\begin{Vmatrix}\begin{pmatrix}1 & -1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 4 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} c \\ b \\a \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 3\\0\\5\\-2 \end{pmatrix} \end{Vmatrix}_2^2 \end{eqnarray*}$

Und löst es über die Normalengleichung:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}1&1&1&1 \\ -1 &0 & 1 & 2 \\ 1 & 0&1 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}1 & -1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 4 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} c \\ b \\a \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&1&1&1 \\ -1 &0 & 1 & 2 \\ 1 & 0&1 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3\\0\\5\\-2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 4 & 2 & 6 \\ 2 & 6 & 8 \\ 6 & 8 & 18\end{pmatrix} \begin{pmatrix} c \\ b \\a\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 \\ -2 \\ 0\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 & 1 & 3 \\ 0 & 5 & 5 \\ 0 & 5 & 9\end{pmatrix} \begin{pmatrix} c \\ b \\a \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ -5 \\ -9\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 & 1 & 3 \\ 0 & 5 & 5 \\ 0 & 0& 4\end{pmatrix} \begin{pmatrix}c \\ b \\a \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ -5 \\ -4\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} p_3(x) =-x^3+3 \end{eqnarray*}$

20.09.2007, 06:04

tigerbine

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Aufgabe 13
Gegeben sei der folgende Datensatz

$\begin{eqnarray*} (x_0,x_1,x_2,x_3) = (-2, -1 , 0, 1) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (y_0,y_1,y_2,y_3) = (-1,1,-1,2) \end{eqnarray*}$

Zeigen Sie, dass kein Polynom zweiten Grades existiert, dass den Datensatz interpoliert.
Bestimmen Sie die wErte a*,b*,c* so, dass die Funktion

$\begin{eqnarray*} \pi(a,b,c):= \sum_{i=0}^{3}~(y_i - (a+bx_i+cx_i^2))^2,~a,b,c \in \mathbb R \end{eqnarray*}$

für a*, b*, c* ihr Minimum annimmt.

20.09.2007, 06:19

tigerbine

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Lösung Aufgabe 13a
Da der Datensatz keine "doppelten" Informationen enthält, legt er eindeutig ein IP vom Höchstgrad 3 fest. Nun gilt es zu prüfen, ob ggf. alle 4 Punkte auf dem Graph einer Quadratischen Funktion liegen.

Allgemein könnte man so vorgehen, dass IP zu den ersten 3 Datenpaaren zu bestimmen und dann zu prüfen, ob der dritte Punkt auf der Parabel liegt. In der konkreten Aufgabe kann man es sich (scharf Hinsehen) einfacher machen.

Es ist $\begin{eqnarray*} y_0 = y_2 = -1 \end{eqnarray*}$ . Somit hat der Scheitelpunkt die x-Koordinate $\begin{eqnarray*} \frac{x_0 + x_2}{2} = -1 = x_1 \end{eqnarray*}$ .

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow p(x)=c(x+1)^2+1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow p(0)=c+1 = -1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow p(x)=-2(x+1)^2+1 \end{eqnarray*}$

Einsetzen zeigt, dass der vierte Punkt nicht auf der Parabel liegt.

20.09.2007, 06:48

tigerbine

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Lösung Aufgabe 13b
Da man eine interpolierende Quadratische Funktion durch den Datensatz legen konnte, wird hier nun eine quadr. Funktion nach der Methode der kleinsten Quadrate durch den Datensatz gelegt.

Man stellt die Normalengleichung auf:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}1&1&1&1 \\ -2&-1 & 0 & 1\\ 4&1 & 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1&-2 & 4 \\ 1 & -1 & 1 \\ 1&0&0 \\ 1&1&1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1&1&1&1 \\ -2&-1 & 0 & 1\\ 4&1 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ -1 \\-2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 4 & -2 & 6\\ -2 & 6 & -8 \\ 6 & -8 & 18 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 \\ -1 \\ -5 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 & -1 & 3\\ -2 & 6 & -8 \\ 6 & -8 & 18 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1.5 \\ -1 \\ -5 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 & -1 & 3\\ 0 & 5 & -5 \\ 0 & -5 & 9 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1.5 \\ -2.5 \\ -0.5 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 & -1 & 3\\ 0 & 5 & -5 \\ 0 & 0 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1.5 \\ -2.5 \\ -3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} p_2(x) = -\frac{1}{4} - \frac{5}{4}x - \frac{3}{4}x^2 \end{eqnarray*}$

20.09.2007, 17:17

tigerbine

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Aufgabe 14 - Horner-Schema
Gegeben sei das Polynom $\begin{eqnarray*} p(x)=-x^4+4x^3-8x^2+8x-2 \end{eqnarray*}$ .

Verwenden Sie das Horner-Schema um den quadratischen Faktor $\begin{eqnarray*} (x^2-2x+2) \end{eqnarray*}$ von p(x) abzuspalten.

20.09.2007, 18:47

tigerbine

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Lösung Aufgabe 14
$\begin{eqnarray*} p(x)=-x^4+4x^3-8x^2+8x-2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(x) = x^2-2x+2 \end{eqnarray*}$

Vorzeichen umdrehen!
Nullen einfügen

code:
1: 2: 3: 4: 5: 6: 7: 8: 9: 10:	-1 +4 -8 8 -2 -2 0 0 2 -4 4 +2 0 -2 4 -4 0 -------------------------- -1 2 -2 0 2

$\begin{eqnarray*} p(x) = (x^2-2x+2)(-x^2+2x-2)+2 \end{eqnarray*}$

20.09.2007, 19:42

tigerbine

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Aufgabe 15 - Satz von Gerschgorin
Gegeben sei das Polynom $\begin{eqnarray*} p(x)=-x^4+4x^3-8x^2+8x-2 \end{eqnarray*}$ .

Bestimmen Sie mit Hilfe des Satzes von Gerschgorin einen Kreis um 0, in dem alle Nullstellen von p liegen.

20.09.2007, 19:45

tigerbine

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Lösung Aufgabe 15
Im ersten Schritt normalisiert man das Polynom. Die Nullstellen verändern sich dadurch nicht:

$\begin{eqnarray*} p(x) \cdot (-1) = x^4-4x^3+8x^2-8x+2 \end{eqnarray*}$

Es gelten die Abschätzungen:

$\begin{eqnarray*} r \leq \max(1,\sum_{j=0}^{3}~|a_j|) = \max(1,22) = 22 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} r \leq \max(2, 9,9,5) = 9 \end{eqnarray*}$

Somit liegen die Nullstellen von p in $\begin{eqnarray*} K_9(0) \end{eqnarray*}$ .

20.09.2007, 19:49

tigerbine

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Aufgabe 16 - Satz von Sturm
Gegeben sei das Polynom $\begin{eqnarray*} p(x)=-x^4+4x^3-8x^2+8x-2 \end{eqnarray*}$

Verwenden Sie den Satz von Sturm, um die Anzahl der Nullstellen von p in den Intervallen [-1,0], [0, 1] und [1,2] zu bestimmen.

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