komplexe zahlen

02.03.2005, 19:02

matze2002

komplexe zahlen

ich habe eine frage zu einer klausur aufgabe von mir
ich habe zwar die muster lösung komme damit aber nur so halb klar
eine kopie der lsg findet ihr unter
http://mitglied.lycos.de/ma0003448972415.../analysis12.JPG

die aufgabe war
Bestimmen Sie alle z € C, die die gilt e^(3z)=-8
gut den zweiten teil der lösung verstehe ich also der is klar
ungefähr die mitte des blattes... aber beim ersten teil happerst schon.
wenn ich das nachreche komme ich zum bsp bei z^3=-8 nur auf die lsg k*pi.....
und warum ich das jetzt mache verstehe ich auch nicht so genau

02.03.2005, 19:27

Mathespezialschüler

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Verschoben

z^3=-8 liefert doch nur die dritten Einheitswurzeln multipliziert mit $\begin{eqnarray*} -\sqrt[3]{8}=-2 \end{eqnarray*}$ für z! Oder anders: Es sind die Lösungen der Gleichung $\begin{eqnarray*} z^3=-1 \end{eqnarray*}$ multipliziert mit $\begin{eqnarray*} \sqrt[3]{8}=2 \end{eqnarray*}$ .
Das dürfte kein Problem sein.

edit: Hab mir jetzt mal deinen Link genauer angeguckt:
Ich denke, es sind dort zwei verschiedene Lösungswege gegeben! Nämlich eben der erste Teil bis zu dem von dir angesprochenen Mittelpunkt des Blattes und der zweite Teil danach.
Im zweiten Teil ist mMn ein kleiner Fehler:
Dort steht, aus $\begin{eqnarray*} \sin(3y)=0 \end{eqnarray*}$ folge $\begin{eqnarray*} y=k\pi\ \ \ \ \ \ \ \ k\in \mathbb Z \end{eqnarray*}$ . Das ist nicht korrekt, es folgt $\begin{eqnarray*} y=\frac{k\pi}{3}\ \ \ \ \ \ \ \ k\in \mathbb Z \end{eqnarray*}$ !!! Das ändert zwar nichts an der Lösung, allerdings wäre der Lösungsweg mit der falschen Folgerung ebenfalls falsch.

Zum ersten Lösungsweg: Wie kommst du auf die Lösungen k*pi?? Meinst du vielleicht eher $\begin{eqnarray*} e^{k\cdot \pi} \end{eqnarray*}$ oder etwas ganz anderes?? Wie kommst du darauf? Wie man auf die Lösungen $\begin{eqnarray*} z_1,\ z_2,\ z_3 \end{eqnarray*}$ kommt, habe ich ja oben schon beschrieben.
Ist sonst alles klar?

07.03.2005, 10:46

matze2002

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puh, bin erstmal froh das du das auch so siehst, das es zwei verschiedene lösungswege sind...
und ja ich habe e^k*pi gemeint....
sonst ist erstmal alles klar..
vielen dank für die mühe, das du dir die aufgabe durchgelesen hast!
war echt am verzweifeln, weil ich einfach nicht gecheckt habe, warum wir den ersten und den zweiten teil gemacht haben... DANKE

07.03.2005, 16:45

Mathespezialschüler

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mmmh, ich versteh nicht, wie du auf e^(k*pi) kommst, erklär das mal bitte! verwirrt

07.03.2005, 18:31

matze2002

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durch die nullstellenbestimmung... ich suche doch bei sin alle werte die null werden können.....

07.03.2005, 19:13

Mathespezialschüler

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Und warum suchst du die?? Wer sagt denn, dass der Imaginärteil 0 wird? Das stimmt nicht! unglücklich

Hast du denn schon mal was von Einheitswurzeln gehört?

09.03.2005, 14:52

matze2002

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einheistwurzel... das war doch reelalanteil hoch zwei plus imaginäranteil hoch zwei und aus dem dann die wurzel... richtig odeR?
die einheitswurzel mal e^iy ist dann gleich der komplexen zahl
wobei dann e^iy = sin(y)+icos(y)
ja und das kann man dann berechnen

09.03.2005, 15:42

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von matze2002
einheistwurzel... das war doch reelalanteil hoch zwei plus imaginäranteil hoch zwei und aus dem dann die wurzel... richtig odeR?
die einheitswurzel mal e^iy ist dann gleich der komplexen zahl
wobei dann e^iy = sin(y)+icos(y)

Nein, wovon du hier redest, ist der Betrag einer komplexen Zahl!
Die n-ten Einheiswurzeln sind alle (komplexen) Lösungen der Gleichung $\begin{eqnarray*} z^n=1 \end{eqnarray*}$ .
Aber wie kommst du denn darauf, dass der Imaginärteil 0 wird?

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