Kein Assoziativgesetz bei Skalarprodukt

02.03.2005, 23:30

omnivorously

Kein Assoziativgesetz bei Skalarprodukt

Hallihallo,
ich bin schon wieder bei einem nächsten Problem angekommen. In einer Übung für die Mündliche Prüfung wird gefragt, warum das Assoziativgesetz, das bei der Multiplikation reeller Zahlen gilt, im allgemeinen für das Skalarprodukt von Vektoren nicht richtig ist...
Ehrlich gesagt, kann ich mir das leider mal wieder gar nicht erklären... Vielleicht isses auch en bisschen spät oder ich steh auf em Schlauch, aber en Tipp würde mir bestimmt weiterhelfen...
Hat das was mit dem Kosinus zu tun??? verwirrt

Lg, omni

02.03.2005, 23:36

JochenX

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wie sol denn dieses ass.gesetz bei skalarprodukten aussehen?!
denk da mal drüber nach....

03.03.2005, 09:04

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JO, das kann da nicht so ganz funktionieren, überleg mal, das bekommt man raus.

03.03.2005, 12:13

omnivorously

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Eure Antworten helfen mir leider überhaupt nicht weiter... Verstehe das ganze einfach gar nicht, es geht doch nur darum, Klammern zu setzen und umzusetzen oder? Wo is da das Problem? unglücklich

Würde mich freuen, mal ne Antwort zu bekommen, in der was erklärt wird und nicht nur steht, dass MAN das ganz einfach kann. Ich kanns nämlich gar nicht... traurig

03.03.2005, 12:29

kurellajunior

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Ok, dann schreib doch mal das Assoziativgesetz für Reelle Zahlen hier hin. Dann setz doch mal allgemeine dreidimensionale Vektoren ein und versuche dies mit und ohne angewandtes Assoziativgesetz auszurechnen. Am besten hier im Board, damit wir Fehler schneller finden.

Augenzwinkern

Jan

PS: Bitte Latex verweden:
$\begin{eqnarray*} \vec{p}=\begin{pmatrix}p_1\\p_2\\p_3\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ macht man mit

code:
1:	\vec{p}=\begin{pmatrix}p_x\\p_y\\p_z\end{pmatrix}

03.03.2005, 12:34

Calvin

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Beim Assoziativgesetz geht es darum, dass man Klammern vertauschen darf. Bei 3 Vektoren ist es durchaus von Bedeutung, ob man $\begin{eqnarray*} (\vec{a}\cdot \vec{b})\vec{c} \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} \vec{a}(\vec{b}\cdot \vec{c}) \end{eqnarray*}$ rechnet.

Die Begründung ist relativ einsichtig. $\begin{eqnarray*} \vec{a}\cdot \vec{b} \end{eqnarray*}$ ist eine Zahl. Nennen wir sie s. Wenn du diese Zahl mit $\begin{eqnarray*} \vec{c} \end{eqnarray*}$ multiplizierst, bekommst du einen Vektor, der in die gleiche Richtung wie $\begin{eqnarray*} \vec{c} \end{eqnarray*}$ zeigt, aber üblicherweise eine andere Länge hat. Soweit einsichtig?

Wenn du erst $\begin{eqnarray*} \vec{b}\cdot \vec{c} \end{eqnarray*}$ rechnest, bekommst du wieder eine Zahl. Nennen wir sie t. Wenn du diese dann mit $\begin{eqnarray*} \vec{a} \end{eqnarray*}$ multiplizierst, bekommst du einen Vektor, der in die gleiche Richtung wie $\begin{eqnarray*} \vec{a} \end{eqnarray*}$ zeigt, aber üblicherweise eine andere Länge hat. Soweit immer noch einsichtig?

Zusammengefasst hast du also $\begin{eqnarray*} (\vec{a}\cdot\vec{b})\vec{c}=s\vec{c} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \vec{a}(\vec{b}\cdot\vec{c})=\vec{a}t=t\vec{a} \end{eqnarray*}$ .

Im Normalfall zeigen aber $\begin{eqnarray*} \vec{a} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \vec{c} \end{eqnarray*}$ in verschiedene Richtungen. Also ist üblicherweise $\begin{eqnarray*} (\vec{a}\cdot\vec{b})\vec{c}\neq\vec{a}(\vec{b}\cdot\vec{c}) \end{eqnarray*}$

Um das ganze nochmal an einem Beispiel klarzumachen:
$\begin{eqnarray*} \left[\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}\right] \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} =3\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} \left[\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \right]=\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} 1=\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

03.03.2005, 13:55

Leopold

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@ Calvin

Ich würde die Sache anders anpacken.

Du benutzt hier den Malpunkt in unterschiedlicher Bedeutung, einmal als Zeichen für das Skalarprodukt von Vektoren, einmal als Zeichen für die skalare Multiplikation, also die Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar. Welche Gesetzmäßigkeiten aber zwischen Skalarprodukt und skalarer Multiplikation gelten, darum geht es in der Aufgabe nicht. Es ist vielmehr gefragt, warum das Assoziativgesetz beim Skalarprodukt nicht gilt. Von anderen Operationen ist also gar nicht die Rede.

Multipliziert man einen Vektor mit einem Vektor im Sinne des Skalarprodukts, so ist, wie es der Name schon sagt, das Ergebnis ein Skalar. Zwischen einem Skalar und einem Vektor kann man aber überhaupt kein Skalarprodukt bilden. Wenn man aber schon kein Dreier-Skalarprodukt bilden kann, ist die Frage nach dem Assoziativgesetz von vorneherein hinfällig. Für nichtexistente Dinge kann es auch keine Regeln geben.

Und noch etwas: Strenggenommen hat ein Skalar links vom Vektor zu stehen: $\begin{eqnarray*} \lambda \vec{a} \end{eqnarray*}$ . Das andere gibt es nicht, einfach weil es nicht definiert ist. So hat es sich jedenfalls in den letzten Jahrzehnten durchgesetzt. In manchen, oft älteren Büchern findet man auch die Schreibweise $\begin{eqnarray*} \vec{a} \lambda \end{eqnarray*}$ , aber dann konsequent nur so. Die Skalare nach Lust und Laune einmal links, einmal rechts zu schreiben, ist eine unzulässige Analogiebildung zum Rechnen mit Zahlen. Natürlich könnte man die Vereinbarung treffen: "den Skalar schreiben wir links oder rechts hin" - und so verstehe ich auch deinen Beitrag - aber das ist dann eine Frage der Definition und nicht eines Beweises. In der abstrakten Algebra kann es aber durchaus vorkommen, daß über einem Vektorraum mit der skalaren Multiplikation als Linksmultiplikation noch eine zusätzliche Multiplikation erklärt ist, und zwar von rechts, die aber nichts mit der skalaren Multiplikation zu tun hat.

03.03.2005, 14:29

omnivorously

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Vielen lieben Dank für die Antworten, die endlich mal weiterhelfen!!! smile

War irgendwie voll auf dem falschen Dampfer dachte, man müsse von der Gleichung
$\begin{eqnarray*} \cos(\gamma )= \frac{a_1b_1 + a_2b_2}{\sqrt{a_1^2 + a_2^2 }* \sqrt{b_1^2 + b_2^2 }} \end{eqnarray*}$
ausgehen... Wobei ich nicht so richtig verstehe, warum ich die nicht nehmen muss... Nehme ich die nur, wenn ich einen Winkel ausrechnen muss?
Ich hab jetzt doch nochmal eine klitzekleine Frage: gibt denn bei dem Beispiel die erste Aufgabe nicht
$\begin{eqnarray*} \left[\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}\right] \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} =3\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ statt $\begin{eqnarray*} \\ 2\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ?

Leider konnte ich die Argumentation von Leopold widerum überhaupt nicht nachvollziehen... Stimmt denn Calvins Erklärung (mit der ich dachte es verstanden zu haben) nicht?

Lg Omni

03.03.2005, 14:34

Calvin

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@Leopold

Ich habe die Aussage

Zitat:

warum das Assoziativgesetz, das bei der Multiplikation reeller Zahlen gilt, im allgemeinen für das Skalarprodukt von Vektoren nicht richtig ist...

so verstanden, dass es um das "Produkt" von 3 Vektoren geht, also $\begin{eqnarray*} (\vec{a}\cdot \vec{b})\vec{c}\neq\vec{a}(\vec{b}\cdot \vec{c}) \end{eqnarray*}$ gilt. Wo das Skalarprodukt und wo die skalare Multiplikation angewendet werden, ergibt sich dann aus dem Zusammenhang (ich mache das durch den Punkt $\begin{eqnarray*} \cdot \end{eqnarray*}$ bzw. weglassen des Malpunktes deutlich). Ansonsten macht für mich der Zusatz "im allgemeinen" keinen Sinn verwirrt

Das klingt für mich nach "es gibt Ausnahmen". Aber für etwas, das nicht definiert ist (Skalarprodukt von Zahl und Vektor), kann es natürlich auch keine Ausnahmen geben.

Zitat:

Original von Leopold
Und noch etwas: Strenggenommen hat ein Skalar links vom Vektor zu stehen: $\begin{eqnarray*} \lambda \vec{a} \end{eqnarray*}$ . Das andere gibt es nicht, einfach weil es nicht definiert ist.

Ehrlich? Danke für den Hinweis. Ich kann mich zwar nicht daran erinnern, wie ich das in der Vergangenheit gehandhabt habe, aber in Zukunft werde ich darauf achten. Hier war es aber dann aber definitiv schlampig ausgedrückt smile

Wobei mir gerade auffällt, dass dann auch $\begin{eqnarray*} \vec{a}(\vec{b}\cdot\vec{c}) \end{eqnarray*}$ nicht defniert ist und es somit für $\begin{eqnarray*} (\vec{a}\cdot \vec{b})\vec{c}\neq\vec{a}(\vec{b}\cdot \vec{c}) \end{eqnarray*}$ auch keine Ausnahmen geben kann.

Jetzt bin ich völlig verwirrt Augenzwinkern

EDIT

@omnivorously
Stimmt, du hast recht. Ich werde es gleich verbessern smile

03.03.2005, 14:47

Calvin

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Ausnahmensweise mal ein Doppelpost smile

Zitat:

Original von omnivorously
Leider konnte ich die Argumentation von Leopold widerum überhaupt nicht nachvollziehen... Stimmt denn Calvins Erklärung (mit der ich dachte es verstanden zu haben) nicht?

Leopold und ich haben die Aufgabenstellung unterschiedlich interpretiert. Zum Verdeutlichen des Unterschieds werde ich für das Skalarprodukt einen Malpunkt [latex}\cdot[/latex] schreiben und für die skalare Multiplikation (zwischen Zahl und Vektor) den Punkt weglassen.

Ich habe erklärt, dass $\begin{eqnarray*} (\vec{a}\cdot\vec{b})\vec{c}=\vec{a}(\vec{b}\cdot\vec{c}) \end{eqnarray*}$ im allgemeinen nicht stimmt. Wobei Leopold noch eine Bemerkung machte, dass es die rechte Seite strenggenommen nicht definiert ist, da bei der Multiplikation einer Zahl mit einem Vektor die Zahl links vom Vektor stehen muß.

Leopold meinte, es ginge um $\begin{eqnarray*} (\vec{a}\cdot\vec{b})\cdot\vec{c} \end{eqnarray*}$ . Diese Rechnung ist aber gar nicht möglich, da es kein Skalarprodukt zwischen einer Zahl und einem Vektor gibt.

Alle Klarheiten beseitigt? Augenzwinkern

EDIT
Leopolds Einwand war übrigens durchaus berechtigt. Ich vermute mal, dass auch LOED und pk in diese Richtung gedacht haben. Und je länger ich darüber nachdenke, desto eher vermute ich auch, dass es darum ging.

03.03.2005, 14:50

kurellajunior

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Ich versuch mal Leos Beitrag anders aufzuräufeln:

Das Assoziativgesetz beschreibt die Verwendung einer Rechenoperation zwischen 3 Termen, wobei durch Klammern angegeben wird, was zuerst gerechnet werden soll zB:
$\begin{eqnarray*} (a+b)+c \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} a+(b+c) \end{eqnarray*}$
Damit jetz das Assoziativgesetz gilt muss jede Operation "+" für jeden Fall ausführbar und definiert sein. Bei diesen Beispiel funktioniert das, da "+" sich über Summand + Summand = Summe definiert und Summand und Summe $\begin{eqnarray*} \in \mathbb R \end{eqnarray*}$

Das Skalarprodukt $\begin{eqnarray*} \vec{v_1} \odot\vec{v_2}=a \end{eqnarray*}$ ist für Vektor skalarmal Vektor Gleich Skalar definiert.

Damit ist eine Rechnung vom Typ $\begin{eqnarray*} b\cdot(\vec{v_1} \odot\vec{v_2})=a \end{eqnarray*}$ möglich da Faktor mal Faktor = Produkt definiert ist.

Die Untersuchung auf Assoziativgesetz beim Skalarprodukt würde bedeuten:
$\begin{eqnarray*} \vec{v_3}\odot(\vec{v_1} \odot\vec{v_2})=\vec{v_3}\odot a \end{eqnarray*}$ oder
$\begin{eqnarray*} (\vec{v_3}\odot\vec{v_1})\odot\vec{v_2}= b\odot\vec{v_2} \end{eqnarray*}$
und Vektor skalarmal Skalar ist halt nicht definiert. Also kann kein Assoziativgesetz gelten, da die Voraussetzung für das Assoziativgesetz nicht erfüllt ist.

Jetzt klar?

Jan

Edit: Danke an Leo für den Hinweis mit der irritierenden Verknüpfung.

03.03.2005, 16:38

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Nur so als Ergänzung: Im "Spezialfall" dreier gleicher Vektoren hatten wir das Problem erst kürzlich

http://www.matheboard.de/thread.php?threadid=12872

03.03.2005, 17:35

Leopold

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@ kurellajunior

Du hast meinen Beitrag schon richtig interpretiert, aber ich finde es verwirrend, wenn du jetzt das Kreuz als Zeichen für das Skalarprodukt verwendest, wo das Kreuz doch gerade in diesem Zusammenhang gemeinhin eine festgelegte Bedeutung hat. Ich verstehe natürlich, daß du hier die Körpermultiplikation vom Skalarprodukt graphisch unterscheiden wolltest, aber da hätte LATEX doch andere Zeichen angeboten, z.B. $\begin{eqnarray*} \odot \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} \star \end{eqnarray*}$ .

03.03.2005, 18:43

kurellajunior

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@Leopold. Völlig richtiger Hinweis.

Dat Kreuz steht wohl fürs Vektorprodukt... Naja, wenn man aus der Übung ist.

Danke, Jan

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