Linearkombinationen

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Soulmate Auf diesen Beitrag antworten »
Linearkombinationen
Hallo! Hilfe
In Mathe bahandeln wir gerade analytische Geometrie.
Jedoch hab ich damit ziemliche Probleme.
Wir schreiben morgen eine Arbeit und ich komm nicht mehr klar, da ich die letzten 5 mathestunden verpasst habe (war krank).
ich weiß allerdings, dass wir solche aufgaben, die ich gleich stellen werde, für die klausur können müssen.
vielleicht könnt ihr mir ja heöfen, denn ich kann diese aufgaben nicht lösen.


1) Welches Gleichungssystem ist zu lösen, wenn man den
Vektor (2 1 7) als Linearkombination der Vektoren ( 1 2 1), (3 -1 5),
(2 1 3) darstellen möchte?

Die Zahlen der Vektoren stehen eigentlich untereinander, nicht nebeneinander.
Und was ist eigentlich eine Linearkombination?


2) Stelle den gegebenen Vektor als Linearkombination der Vektoren
(2 1 0) , (-1 0 3) , (1 2 4) dar.

a) (-2 -2 -1)

b) (8 8 9)

c) (-1 6 14)

danke schonmal für eure hilfe!
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Linearkombinationen
einen Vektor als Linearkombination aus anderen Vektoren darzustellen, meint folgendes:

Letztlich gibt das ein Gleichungssystem mit drei Gleichungen. OK?
Gehört aber eher in die Algebra. Augenzwinkern

EDIT: Jetzt stimmts, dieses Latex.
 
 
Soulmate Auf diesen Beitrag antworten »

hmmm...ist mir noch nicht klar geworden.
wie lautet denn jetzt z.B. die lösung von 1)?
ich kann diese aufgaben nicht lösen traurig
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hoffe, du hast meine korrigierte Version gelesen.
Also: der Vektor hat ja drei Komponenten. Für jede Kompoinente kannst du eine Gleichung schreiben:
1. Gleichung: 2 = 1 * a + 3 * b + 2 * c
2. + 3. Gleichung: bitte selbst schreiben
Jetzt hast du ein Gleichungssystem. Kannst du das lösen?
Soulmate Auf diesen Beitrag antworten »

hatte noch deine alte version gelesen.
ich kann das gleichungssystem immer noch nicht lösen.
wieviele lösungen sollen da denn rauskommen?

2.Gleichung: 1= 2 * a + (-1) * b + 1 * c

3.Gleichung: 7= 1 * a + 5 * b + 3 * c

ich weiß nicht wie es weitergeht.


kann man es eigentlich auch wie folgt lösen? :

2 = x1 + x2 + x3
1 = 0+ x2 + x3
7= 0+ 0+ x3

x1 = 1
x2 = -6
x3 = 7


was hab ich denn hier gemacht?
richtig sein kann das ja eigentlich nicht, da ich die vektoren ( 1 2 1), (3 -1 5) und (2 1 3) außer acht gelassen habe.
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Also tragen wir mal zusammen:
1.Gleichung: 2 = 1 * a + 3 * b + 2 * c
2.Gleichung: 1 = 2 * a - b + 1 * c
3.Gleichung: 7 = 1 * a + 5 * b + 3 * c
Jetzt muß man dieses System geeignet umformen. Z.B.: Addiere das -2-fache der 1. Gleichung zur 2. Gleichung und das -1-fache der 1. Gleichung zur 3. Gleichung. Das ergibt:
1.Gleichung: 2 = 1 * a + 3 * b + 2 * c
2.Gleichung: -3 = -7 * b - 3 * c
3.Gleichung: 5 = 2 * b + c
Du diese Umformung habe ich es geschafft, dass das a aus den letzten beiden Gleichungen verschwunden ist. Klar?
Jetzt kannst du eine ähnliche Umformung mit der 2. und 3. Gleichung machen, so dass eine Variable in einer Gleichung verschwindet.
Soulmate Auf diesen Beitrag antworten »

ist das die einzige methode um dieses gleichungssystem zu lösen?

ich weiß nämlich nicht wie ich weitermachen soll...
darf man auch die erste gleichung verändern und ist es völlig egal wieviel des -fachen man nimmt?
muss man denn immer - nehmen?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Im Prinzip gibt es auch andere Methoden, die aber letztlich ähnlich sind. Das von mir gewählte Verfahren nennt man Gaußsches Eliminationsverfahren. Bei diesem Verfahren addiert man Vielfache einer Gleichung zu den anderen, so dass in den anderen Gleichungen eine Variable verschwindet. (Das Vielfache kann auch mal positiv sein, je nachdem). Dieses Verfahren halte ich für das einfachste. Wenn du Gleichungssysteme nicht lösen kannst, sieht es natürlich übel aus. Das war garantiert im Unterricht dran.
Schauen wir uns die 2 letzten Gleichungen an. Da hatten wir:
2.Gleichung: -3 = -7 * b - 3 * c
3.Gleichung: 5 = 2 * b + c
Jetzt addieren wir das 3-fache der 3. Gleichung zur 2. Das ergibt:
2.Gleichung: 12 = - b
3.Gleichung: 5 = 2 * b + c
Aus der 2. Gleichung erhalten wir also, dass b = -12. Das kannst du jetzt in die 3. Gleichung einsetzen, dann c ausrechnen, das ganze dann in die 1. Gleichung und a ausrechnen. Dann hast du deine Linearkombination.
Soulmate Auf diesen Beitrag antworten »

a= -20
b= -12
c= +29

(-20 ; -12 ; +29)

wie schreibt man das ergebnis denn richtig auf?

ich werde jetzt mal 2a) versuchen. mal sehen wie ich damit alleine klarkomme.
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Man könnte eine Ergebnisantwort wie folgt schreiben:
Der Vektor .... ist eine Linearkombination aus den Vektoren ...., .... und .... und zwar wie folgt:

Wenn man das nochmal hinschreibt und überprüft, ist das ein guter Test, ob die gefundene Lösung auch richtig ist.
Soulmate Auf diesen Beitrag antworten »

hab probleme bei der nächsten aufgabe.
habe das prinzip verstanden, aber irgendwie bringen mich die negativen zahlen des vektors durcheinander.

2) Stelle den gegebenen Vektor als Linearkombination der Vektoren
(2 1 0) , (-1 0 3) , (1 2 4) dar.

a) (-2 -2 -1)

(-2 -2 -1)= a*(2 1 0) + b*(-1 0 3) + c*(1 2 4)


-2 = 2*a - 1*b + 1*c
-2= 1*a + 2*c
-1= 3*b + 4*c

Ich sehe auch was ich machen muss, eigentlich muss ich bloß, dass -2fache der 1.Gleichung zur 2.Gleichung addieren und das -4fache der 1. Gleichung zur 3. Gleichung.
Dann hätte ich in der 2.+3. Gleichung kein c mehr.

aber was passiert mit -2 der 2. Gleichung und -1 der 3.Gleichung?

wird aus der -2 z.B. dann -6 oder 2?
und aus der -1 dann -9 oder 7?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Also: das -2fache der 1.Gleichung zur 2.Gleichung ergibt:
2. Gl: -2 + 4 = 2 = -3*a + 2*b
das -4fache der 1. Gleichung zur 3. Gleichung ergibt:
3. Gl: -1 + 8 = 7 = -8*a + 7*b
Das -2-fache der 2. Gleichung zur 1. wäre auch gut gegangen.
Soulmate Auf diesen Beitrag antworten »

versteh ich nicht. warum sind da so viele gleichzeichen?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Entschuldigung: ich wollte nur darstellen, wie ich auf der linken Seite zu der 2 bzw. der 7 gekommen bin, weil das ja deine Frage war. Ohne das heißt es:
2 = -3*a + 2*b
7 = -8*a + 7*b

Noch ein Satz zum Gaußschen Eliminationsverfahren. Man darf die Reihenfolge der Gleichungen vertauschen und Gleichungen mit einem Faktor multiplizieren, damit die Faktoren vor den Variablen etwas angenehmer sind.
Soulmate Auf diesen Beitrag antworten »

-2 = 2*a - 1*b + 1c
2= -3*a + 2*b / *(8)
7= -8*a + 7*b / *(-3)

-2= 2*a - 1*b + 1*c
16= -24*a + 16*b
-21= 24*a - 21*b

dann hab ich das -1fache der 2. gleichung zur 2.Gleichung genommen.

-2 = 2*a - 1*b + 1*c
-5= -5*b
-21 = 24*a - 21*b

b=1
a=0
c= -1

ist das richtig???
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Soulmate
dann hab ich das -1fache der 2. gleichung zur 2.Gleichung genommen.

richtig bis auf diesen Satz. Du hast die 3. Gleichung zur 2. addiert. Aber sonst Freude
Soulmate Auf diesen Beitrag antworten »

oh...meine konzentration Augenzwinkern
ich denk jetzt hab ich es verstanden. smile
danke!!
werde jetzt mehrere aufgaben zur übung machen und nachher welche zur kontrolle posten.
Soulmate Auf diesen Beitrag antworten »

sorry, für den doppel-post.
war unbeabsichtigt.
Soulmate Auf diesen Beitrag antworten »

gibt es eigentlich auch linearkombinationen aus 4 vektoren?
wenn ja, wie rechnet man das aus?

hab jetzt ein paar übungsaufgaben gemacht.
hier mal ein paar davon. hoffe mir kann jemand sagen, ob das so richtig ist.

7 = 2a - 1b + 1c
11= 1a +2c
-5= 3b + 4c

nehme das +3fache der 1.Gleichung zur 3.Gleichung

7= 2a - 1b + 1c
11= 1a + 2c /*(-6)
16=6a +7c

7= 2a - 1b + 1c
-66= -6a -12c
16=6a +7c

nehme das +1fache der 3.Gleichung zur 2. Gleichung

7= 2a - 1b + 1c
-50= -5c /: (-5)
16=6a + 7c

a= -9
b= -15
c=10
-------------------------

3= 2a - 1b + 1c
5= 1a +2c
0= 3b+4c

nehme das +3fache der 1. Gleichung zur 3.Gleichung

3=2a - 1b + 1c
5=1a +2c/*(-6)
9=6a +7c

3=2a - 1b + 1c
-30= -6a -12c
9= 6a +7c

nehme das +1fache der 3.Gleichung zur 2. Gleichung

3= 2a - 1b + 1c
-21= -5c/: (-5)
9= 6a +7c

a= -3,4
b= -5,6
c= 4,2
-----------------------------

1 = 2a - 1b + 1c
0 = 1a +2c
0 = 3b+4c

nehme das +3fache der 1. Gleichung zur 3.Gleichung

1 = 2a - 1b + 1c
0 = 1a +2c/*(-6)
3 = 6a +7c

1 = 2a - 1b + 1c
-6 = -6a -12c
3 = 6a +7c

nehme das +1fache der 3.Gleichung zur 2.Gleichung

1 = 2a - 1b + 1c
-3 = -5c/: (-5)
3 = 6a +7c

a= -0,2
b= -0,8
c= 0,6
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Soulmate
gibt es eigentlich auch linearkombinationen aus 4 vektoren?
wenn ja, wie rechnet man das aus?

Bei den Aufgaben habe ich keinen Fehler gefunden, müssten daher richtig sein. Freude
Jetzt zur Frage: Es gibt auch Lineazkombinationen aus 4 Vektoren oder auch mehr. Da gibt es keine Beschränkung. Das Problem ist nur, dass 4 oder mehr Vektoren im sogenannten R³ (also Vektoren mit 3 Komponenten) garantiert linear abhängig sind. Das heißt, ich kann garantiert mindestens einen Vektor als Linearkombination aus den anderen Vektoren schreiben. Von daher kann man diesen Vektor auch unbeachtet lassen.
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