Gleichgroße Flächen von Dreiecken und Kreisteilen

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kingbamboo Auf diesen Beitrag antworten »
Gleichgroße Flächen von Dreiecken und Kreisteilen
Ich habe folgende Aufgabe aufbekommen:

http://www.directupload.net/images/050303/r44VvW8I.jpg

Also ich habe mir bei a) folgendes überlegt.

Man rechnet zuerst das grüne Dreieck aus und dann den Kreisausschnitt. Die weiße und die gelbe Fläche ergeben ein Halbkreis, also rechnet man davon den Flächeninhalt aus.
Danach subtrahiert man vom Kreisauschnitt das Dreieck und man erhält die weiße Fläche, diese zieht man dann vom Flächeninhalt des Halbkreises ab.

Aber meine Frage ist, wie komme ich auf die Grundseite des Dreickecks? Ich habe nur eine Seite gegeben nämlich r! Ich hoffe ihr könnt mir das erklären.

Bei b finde ich irgendwie keinen Ansatz! Hammer

Schon mal danke für eure Hilfe!
babelfish Auf diesen Beitrag antworten »

die rechte seite des dreiecks ist ja auch r lang und du hast schon einen rechten winkel eingezeichnet... also kannst du mit dem satz des pythagoras die grundseite ausrechnen!
KingBamboOO Auf diesen Beitrag antworten »

Wie soll das denn mit dem Pythagoras gehen? Ich habe doch nur r!
Denjell Auf diesen Beitrag antworten »

bei b ist es sinnvoll die formeln zur flächenberechnung des 3-ecks, des halbkreises vom mittelpunkt von a mit dem Radius a/2, des halbkreises vom mittelpunkt von b mit dem radius b/2 und des halbkreises von c mit dem radius c/2 aufzustellen.

Damit kann man dann zeigen warum die flächen gleich sind
brunsi Auf diesen Beitrag antworten »
antwort
du hast zwar nur r, aber da es sich um ein gleichschenklich rechtwinkliges dreieck bei a) handelt, lautet der pythagoras:

2*r²= seite die dem rechten winkel gegenüberliegt
kingbamboo Auf diesen Beitrag antworten »

Die Seite die dem Rechten Winkel gegenüber liegt wäre die Grundseite.
Aber wie groß wäre denn jetzt die Grundseite?
Doch nicht 2r² oder? Boar ich kann das nicht!
 
 
brunsi Auf diesen Beitrag antworten »
antwort
du musst jetzt einfach noch die wurzel draus ziehen und hast dann die länge der gesuchten seite.

nun ergänze den gelben halbkreis zu einem gesamten kreis und du stellst fest, dass deine gesuchte seite der durchmesser des gelben kreises ist. Damit berechnest du nun den gesamten kreis und dividierst durch 2. Dann hast du die angegebene gelbe kreishälfte ienschließlich des weißen stücks bestimmt.
kingbamboo Auf diesen Beitrag antworten »

Also ich habe für die Höhe auf g 0,840896415 rausgekriegt.

h² + 0,70710r²=r²

h = Wurzel aus: 0,70710

h= 0,8409........

Ist das richtig?
brunsi Auf diesen Beitrag antworten »
antwort
ist das jetzt für a) oder b)? und was hast du da jetzt gemacht? ich glaube du hast da einen gravierenden fehler gemacht, wenn du die grund seite, also die seite ausrechnen möchtest, die dem rechten winkel gegenüberliegt!!


die gleichung für die grundseite g des dreiecks ist:

2*r²=g²

also wenn du die wurzel ziehst, dann erhälst du

kingbamboo Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist die Aufgabe a)

Für die Grundseite habe ich 1,412r² rausbekommen aber für die Höhe, also die hälfte der Graden die durch die beiden Figuren geht, habe ich 0,8408 rausbekommen!
brunsi Auf diesen Beitrag antworten »
antwort
das geht nicht, wenn du die wurzel draus ziehst, dann steht da kein r² mehr sondern nur ein r
brunsi Auf diesen Beitrag antworten »
RE: antwort
so wenn du mein obiges ergebnis verwendest, dann setzt du



in folgende gleichunge in und berechnest die gelbe fläche einschließlich der weißen:

kingbamboo Auf diesen Beitrag antworten »

Ich weiß nicht wie du draufgekomme bist!

Die Höhe auf der Grundseite ist: 0,840896415r ---> richtig?
Die Grundseite ist: 1,414213562r

Somit ergibt sich folgender Flächeninhalt für das Dreieck:

0,5 * 1,414.... * 0,8408....r

= 0,594603557r²

Stimmt das so?

Kann mir denn keiner helfen!? Hilfe
brunsi Auf diesen Beitrag antworten »
antwort
hast du die höhe auf der grundseite mit dem kathetensatz berechnet? wenn du da alles richtig eingesetzt hast, dann wird es richtig sein. aber ich kann gerade nicht nachvollziehen, wie du überhaupt auf diese werte gekommen bist.

kannst du mir das mal erklären???


nehmen wir an du ahst das richtig berechnet (die höhe meine ich!!) dann kannst du das dreieck ausrechnen und hättest in diesem fall richtig gerechnet.


aber wie gesagt. ich weiß nicht, wie du die höhe ausgerechnet hast. erkläre mir das bitte!
kingbamboo Auf diesen Beitrag antworten »

Also erstmal dei Grundseite ausgerechnet und zwar so:

r² * r² = g²

2r² = g²

Wurzel aus 2r² = g

g= 1,414213562r


Dann die Höhe ausgerechnet mit dem PYTHAGORAS:
Mit der hälfte der Grundseite:

h² + (0,707106781r)² = r²

h = Wurzel aus: 0,707106781r² -----> stimmt das r² hier oder kommt da kein r mehr vor?

h = 0,840896415r
kingbamboo Auf diesen Beitrag antworten »

Kann mir bitte jemand sagen ob das so richtig ist? Das ist dringend ich brauche das bis morgen! Gott
Danke
etzwane Auf diesen Beitrag antworten »

deine Rechnung für die Höhe ist falsch, rechne hier mal weiter:

h² + (0,707106781r)² = r²

h² = r² - (0,707106781r)² = .....
brunsi Auf diesen Beitrag antworten »
antwort
hast du jetzt die summanden, die ein r² beinhalten zusammengerechnet? wenn ja, dann ziehste die wurzel draus und erhälst deine Höhe h auf g.

Damit kannst du dann den Flächeninhlt berechnen.


also mit meinen ergebnissen lässt sich h so bestimmen:

daraus folgt:




das ist gleich:



damit sit die höhe:

brunsi Auf diesen Beitrag antworten »
RE: antwort
Zitat:
Original von brunsi
hast du jetzt die summanden, die ein r² beinhalten zusammengerechnet? wenn ja, dann ziehste die wurzel draus und erhälst deine Höhe h auf g.

Damit kannst du dann den Flächeninhlt berechnen.


also mit meinen ergebnissen lässt sich h so bestimmen:

daraus folgt:




das ist gleich:



damit sit die höhe:





P.S.:
Zitat:
r² * r² = g²


Zitat:
2r² = g²


das ist falsch, denn nach deinem wäre es und nicht
Zitat:
2r² = g²
etzwane Auf diesen Beitrag antworten »

Wozu muss man hier überhaupt die Höhe ausrechenen:

Man nehme als Grundseite r und als Höhe ebenfalls r, und das dort, wo der rechte Winkel eingezeichnet ist, die Fläche ist damit r²/2 entsprechend der halben Fläche eines Quadrates mit Seitenlänge r.
brunsi Auf diesen Beitrag antworten »
@etzwane
@etzwane:

schon kalr, aber er wollte hier die höhe des dreiecks haben, da hab ich ihm das eben mal gesagt.außerdem muss er noch den flächeninhalt des gelben sichelbogens ausrechnen.dafür braucht er doch die höhe.
kingbamboo Auf diesen Beitrag antworten »

Man muss doch die Flächen vergleichen!

Ich rechen das hier mal weiter:

h² = r² - (0,707106781r)²

h = Wurzel aus (r²-0,5r²)

Stimmt doch so oder?

Die Fläche des Kreisauschnitts wäre dann:

90/360 * r² * pi = 0,25pi * r²
brunsi Auf diesen Beitrag antworten »
RE: antwort
Zitat:
Original von brunsi
Zitat:
Original von brunsi
hast du jetzt die summanden, die ein r² beinhalten zusammengerechnet? wenn ja, dann ziehste die wurzel draus und erhälst deine Höhe h auf g.

Damit kannst du dann den Flächeninhlt berechnen.


also mit meinen ergebnissen lässt sich h so bestimmen:

daraus folgt:




das ist gleich:



damit sit die höhe:





P.S.:
Zitat:
r² * r² = g²


Zitat:
2r² = g²


das ist falsch, denn nach deinem wäre es und nicht
Zitat:
2r² = g²
brunsi Auf diesen Beitrag antworten »
antwort
das müsste richtig sein. anschließend ziehste dann den flächeninhalt des dreiecks von dem des kreisausschnitts ab und erhälst den weißen kreisausschnitt.

dann ziehst du noch den flächeninhalt des weißen von dem des halbkreises ab und erhälst den flächeninhalt des gelben stücks.


P.S.: der flächeninhalt des dreiecks müsste genauso groß sein wie der des gelben stücks. wenn für den flächeninhalt des dreiecks A= r² rauskommt, dann hat ein gleichflächiges Quadrat die Seitenlänge r.
kingbamboo Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe es geschafft! geschockt

Ich habe für beide Flächen jeweils 0,35355339r² rausbekommen! Hammer

Aber was ist jetzt mit der b) ? traurig
brunsi Auf diesen Beitrag antworten »
RE: antwort
so und nun noch schnell zu b):

die grüne fläche erhälst du, wenn du einfach den flächeninhalt des rechtecks mit den seitenlängen a und b ausrechnest:

A(grüne fläche)= (a*b):2


so zu dem gelben muss ich mir noch eben schnell gedanken machen!!
brunsi Auf diesen Beitrag antworten »
RE: antwort
ich bin mir nicht sicher, aber ich glaube das deine lösung falsch ist. denn wenn du die höhe nach dem, was du mir in deinem beitrag von 18:22 Uhr geschrieben hast, berechnet hast, dann ist der flächeninhalt deines dreiecks falsch. denn

allgemein gesagt ergibt:

h²+t*r²=r² (t sei eine beliebige zahl)

also h²=r²-t*r²

und daraus dann die wurzel gezogen. lies mal meinen beitrag von 20:30 (den mit den ganzen zitaten, dann kommst du vielleicht auch von selbst auf die lösung) von a)!!
brunsi Auf diesen Beitrag antworten »
RE: antwort
so zu b):


das dreieck haste ja schon berechnet. jetzt zu den beiden halbkreisen oberhalb von seite b und seite a:

die halbkeise berechnest du wie folgt einschließlich der weißen fläche:

bzw.


so jetzt bestimmst du noch mal alle winkel des dreiecks, indem du entweder den kosinussatz oder den sinussatz anwendest. musst schauen, was du am einfachsten anwenden kannst (Tipp: schau was du gegeben hast. es macht mehr sinn mit dem kosinussatz zu verfahren, weil du alle drei setien und einen winkel gegeben hast. damit kannst du dann auch die übrigen winkel bestimmen).

hast du nun alle drei winkel bestimmt, so berechnest du wieder den kreisausschnitt (mit deiner schon einmal angewendeten formel, siehe deinen beitrag!) (Tipp dafür: der für alpha zu verwendene winkel ist jeweils der winkel der einmal der seite a und dann der seite b gegenüberliegt).

Dann haste die Kreisauschnitte einschließlich der weißen Fläche sowie der Grünen Fläche bestimmt und ziehst (weil du nur die weiße Fläche haben willst) die grüne wieder ab.

anschließend ziehst du die weiße fläche jeweils von den halbkreisen ab, die du schon berechnet hast (si. diesen beitrag oben!!!)

es müsste sich nun zeigen, dass die gelben flächen addiert genauso groß sind wie die des grünen Stücks.


P.S.: allgemein sind die flächen so gewählt, dass du leicht die seitenflächen des gewünschten quadrates angeben kannst.
etzwane Auf diesen Beitrag antworten »
RE: antwort
Zitat:
Original von brunsi
...
so jetzt bestimmst du noch mal alle winkel des dreiecks, indem du entweder den kosinussatz oder den sinussatz anwendest. musst schauen, was du am einfachsten anwenden kannst (Tipp: schau was du gegeben hast. es macht mehr sinn mit dem kosinussatz zu verfahren, weil du alle drei setien und einen winkel gegeben hast. damit kannst du dann auch die übrigen winkel bestimmen).
...

Es ist nicht erforderlich, die Winkel des Dreiecks zu bestimmen.

Die beiden Kreisausschnitte über a und b können zusammengefasst werden zu einem einzigen Halbkreis über c.

Und dann gilt noch der Satz des Pythagoras im rechtwinkligen Dreieck, auch für die Halbkreisflächen über den Seiten.
brunsi Auf diesen Beitrag antworten »
RE: antwort
@etzwane:

stimmt so habe ich das noch gar nicht betrachtet, denn du hast recht die quadrate über den katheten sind gleich dem quadrat der hypothenuse.

du hast recht, man kennt ja den rechten winkel und kann dann darüber das kreissegment berechnen.

das ist einfacher und spart viel zeit, die man in der klausur schließlich nicht hat.


danke, hab auch noch was dazu gelernt!


gruß dennis
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