funktionen 11.klasse

03.03.2005, 18:19

abc123456789

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funktionen 11.klasse

hallo leute!
wir haben von unserem mathelehrer jetzt mal ne übungsarbeit bekommen aber ich steig da echt nicht durch...
eine aufgabe lautet wie folgt:

gegeben sei die funktion f(x)=4x^2. Bestimmen Sie mithilfe der Nullfolge a=(1/n) und des Differenzenquotienten f'(-1).

die andere Aufgabe lautet:
Ein Wanderer macht nach einen zweistündigen Marsch eine Pause. Anschließend läuft er 4 stunden weiter. Vernachlässigt man die Pausenzeit hat er 5Km pro Stunde zurückgelegt. Nun soll die Pausenzeit aber mit eingerechnet werden: wie lange muss der wanderer pausieren um im Mittel nur noch auf 4Km pro Stunde zu kommen?
(ich weiß nur das man dafür ne ableitungsfunktion errechnen muss)

falls irgendeiner ne ahnung hat wie das funktioniert, wäre ich euch sehr dankbar!
vielen dank!

03.03.2005, 19:45

Teutone

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Mit Hilfe des Differenzenquotienten sieht das so aus:
$\begin{eqnarray*} \lim_{h \to 0 } \frac{4(x+h)^{2}-4x^{2}}{h}=\lim_{h \to 0 } \frac{4x^{2}+8xh+4h^{2}-4x^{2}}{h}=\lim_{h \to 0 } \frac{8xh+4h^{2}}{h}=\lim_{h \to 0 }8x+4h =8x \end{eqnarray*}$

Zu der 2. Aufgabe wird ich einfach sagen $\begin{eqnarray*} v=\frac{s}{t} \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} 4=\frac{30}{6+t} \end{eqnarray*}$ . Dann ist t=1,5h...

03.03.2005, 19:49

etzwane

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Zur 2. Aufgabe:

Der Wanderer läuft in (2+4) Stunden jeweils 5 km/h. Wieviel km läuft er insgesamt ?

Die Durchschnittsgeschwindigkeit soll jetzt 4 km/h sein, wie lange muss er dafür insgesamt unterwegs sein, und wie lange ist jetzt die Pausenzeit ?

03.03.2005, 19:51

Deakandy

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Teutone
Meinst du echt, es gilt für h gegen unendlich?
Andy

03.03.2005, 19:53

Teutone

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ups, peinlich... letzen 2 posts mal bitte löschen...

03.03.2005, 19:53

Deakandy

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und an etzwane... liefer bitte erst eigene ansätze
und es wird bitte nichts verraten...
Andy

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03.03.2005, 19:59

abc123456789

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@Teutone was du da errechnet hast ist doch die ableitungsfunktion oder nicht?....

und wofür steht die 30 im zähler....

@etzwane die aufgabe hab ich schon verstanden Augenzwinkern

Augenzwinkern

kann man das aber auch irgendwie mit funktionen berechnen..denn das ist unser thema....

nochmal ne andere frage....wie ermittle ich jetzt genau die ableitungsfunktion und woran erkenne ich was der Definittionsbereich ist?
z.B. bei folgenden aufgaben:
a.) f(t)=5t
b.) f(x)=(1/x^3)
c.)f(t)=5-3t^2

die ableitungsfunktion berechne ich doch so wie teutone gerechnet hat oder?

03.03.2005, 20:23

Teutone

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Jo, das ist die Ableitung und immer mit Hilfe des Differenzenquotienten.
Frage:

Zitat:

Der Wanderer läuft in (2+4) Stunden jeweils 5 km/h. Wieviel km läuft er insgesamt ?

Antwort:

Zitat:

und wofür steht die 30 im zähler....

Hier nochmal nen Beispiel für die Ableitung von $\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{1}{x^{3}} \end{eqnarray*}$ :
Differenzenquotient aufstellen:
$\begin{eqnarray*} \lim_{h \to 0} \frac{1}{h}( \frac{1}{(x+h)^{3}}- \frac{1}{x^{3}} )= \end{eqnarray*}$
Brüche subtrahieren durch Hauptnenner bilden und erweitern:
$\begin{eqnarray*} \lim_{h \to 0} \frac{1}{h}( \frac{x^{3}-(x+h)^{3}}{x^{3}(x+h)^{3}})= \end{eqnarray*}$
Zähler und Nenner einfach ausmultiplizieren und im Zähler entfällt das $\begin{eqnarray*} x^{3} \end{eqnarray*}$ :
$\begin{eqnarray*} \lim_{h \to 0} \frac{1}{h}(\frac{-3x^{2}h-3xh^{2}-h^{3}} {x{3}(x^{3}+x^{2}h+3xh^{2}+h^{3})})= \end{eqnarray*}$
Nun im Zähler h ausklammern und kürzen:
$\begin{eqnarray*} =\lim_{h \to 0} \frac{-3x^{2}-3h-h^{2}} {x^{3}(x^{3}+x^{2}h+3xh^{2}+h^{3})}= \end{eqnarray*}$
Nun geht h gegen 0 und somit entfallen alle Summanden, die ein h enthalten. Übrig bleibt:
$\begin{eqnarray*} -\frac{3x^{2}}{x^{3}(x^{3})} \end{eqnarray*}$
Nun bloß noch $\begin{eqnarray*} x^{2} \end{eqnarray*}$ kürzen:
$\begin{eqnarray*} -\frac{3}{x^{4}} \end{eqnarray*}$

03.03.2005, 20:31

abc123456789

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gut ich habs verstanden.....beides....
und das mit dem defintionsbereich kann ich ja einfach aus meinem taschenrechner ablesen an der x achse oder?
z.b. bei teutones beispiel (ableitungsfunktion) Defintionsbereich = alle reelen Zahlen /0
gut vielen dank!

03.03.2005, 20:36

Teutone

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Mal davon abgesehen, dass man x-Werte immer an der x-Achse abliest, stimmts schon. Halt da nicht definiert, wo in diesem Falle, der Bruch nicht definiert ist. Aber ich denke es geht eher um den Zusammenhang zwischen Definitionsbereich von f(x) und f'(x). Was fällt dir dabei auf?

03.03.2005, 20:38

etzwane

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Zitat:

Original von Deakandy
und an etzwane... liefer bitte erst eigene ansätze
und es wird bitte nichts verraten...
Andy

da geb ich mir alle Mühe. mit wohlüberlegten Fragen dem Aufgabensteller zu helfen und dabei bloß nicht zu viel zu verraten, und dann so was .... verwirrt

verwirrt

03.03.2005, 20:41

Teutone

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Deine Frage war außerdem auch noch nützlich im vorigen post. Also Tadel zu unrecht... traurig

traurig

03.03.2005, 20:48

abc123456789

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@teutone
ist der definition bereich nicht bei beiden gleich?

meintest du das mit der x-achse ironisch oder hast du was falsch verstanden?

03.03.2005, 20:55

Teutone

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hmm, ich glaub beides. Ich denke du verwechselst Nullstelle mit Definitionslücken, also es ist nicht der Schnittpunkt mit der x-Achse gemeint, sondern die x-Werte, für die es keine y-Werte gibt...

03.03.2005, 21:16

abc123456789

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@teutone
ja bei x=0 gibt es bei beiden (ableitungsfunktion+standard funktion) kein y-wert....was ist denn z.B. der definitionsbereich bei deinem beispiel?

so hab ich gerechnet bei f(x)= 1/x^3

f(x)=1/x^3

$\begin{eqnarray*} \lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{(x+h^3)}- \frac{1}{x^3}}{h} \end{eqnarray*}$

wenn ich nun den nenner aus multipliziere habe ich doch:

(1/x^3) + (1/2x²h) + (1/xh²) + (1/x²h) + (1/2xh²) + (1/h3) - (1/x^3)
im zähler stehen....oder nicht....und wenn ich jetzt noch mit dem h multipliziere kommt doch was ganz anderes raus als du hast....
sry ich kann nicht so gut umformen (ausklammern) und mache es daher ganz genau...verstehe z.B. nicht wie du von ersten auf den zweiten schritt kommst...so wie ich es jetzt geschrieben hab ist doch richtig oder nicht?

03.03.2005, 21:20

abc123456789

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nach dem 2schritt ist ja klar aber ich versteh nicht was du da gemacht hast...den nenner in den zähler gesetzt?!? was ist mit den 1 aus den zähler passiert?
ich ich weiß es macht arbeit aber wie kommt man denn so schnell vom letzten schritt zum ergebnis....und welche schritte hast du jetzt genau weggelassen verwirrt

verwirrt

nenner ausmultiplizieren)
vielen dank!

03.03.2005, 21:36

Teutone

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Ich hab die Schritte mal kommentiert. Ich hoffe es hilft...

03.03.2005, 21:51

abc123456789

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tut mir leid ich versteh es immer noch nicht...
vom ersten zum zweiten schritt....wahrscheinlich ne simple regel aber wie kommt das ganze in den zähler verwirrt

verwirrt

also warum verschwinden die 1en und in den zähler kommt plötzlich das x^3 - (x+h)^3)

und ist das 1/h jetzt das gleiche als wenn ich unter allem noch durch h teile(also h im nenner)?

03.03.2005, 22:02

Teutone

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Ja, ich hab nur einfachhalber alles mit $\begin{eqnarray*} \frac{1}{h} \end{eqnarray*}$ multipliziert, statt alles nochmal durch h zu teilen.
Was das Subtrahieren der Brüche angeht, hab ich nix weiter gemacht als:
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{a} -\frac{1}{b}=\frac{b}{ab} -\frac{a}{ab}=\frac{b-a}{ab} \end{eqnarray*}$
Also erst erweitern, damit der Nenner gleich wird und dann kann man alles in einen Bruch schreiben, d.h. die Zähler zusammenziehen, da der Nenner gleich ist. Probiers mit einfachen Zahlen, wie 1/2-1/4 aus...

03.03.2005, 22:10

abc123456789

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hab ich mir gedacht , dass das sone regel ist....ich müsste mir mal dringenst wieder die regeln angucken, die beim auflösen alle gelten...kennst du da vielleicht ne seite? ansonsten vielen dank für deine mühe!!sehr nett von dir, dass du dir die zeit nimmst solche fragen zu beantworten!
gute nacht

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